丁 潔

幾何問(wèn)題如果加上“運(yùn)動(dòng)”元素，就會(huì)由于圖形的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生許多“變量”?！斑\(yùn)動(dòng)中變量的最值問(wèn)題”或“運(yùn)動(dòng)中的不變量”往往是中考命題的熱點(diǎn)。解這類(lèi)幾何最值問(wèn)題，如果缺少必要的基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力儲(chǔ)備，往往難以找到突破口。下面我們就通過(guò)一道幾何最值問(wèn)題的解析，來(lái)追本溯源。

例 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與y軸的正半軸的夾角為20°，點(diǎn)A在直線l上，OA=2，M為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，P、N是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求AP+PM+MN的最小值。

圖1

【錯(cuò)解】從“最小值”出發(fā)，認(rèn)為：過(guò)點(diǎn)A作PA⊥y軸于點(diǎn)P，這樣AP就取得最小值；在此基礎(chǔ)上，過(guò)P作PM⊥l于點(diǎn)M，這樣PM就取得最小值；然后在此基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，此時(shí)的MN取得最小值。最后，將所求得的AP、PM、MN三條線段相加，得出結(jié)果。

【錯(cuò)因】上述“解法”立足于孤立的線段去思考最值，忽視了“AP+PM+MN”的整體性，這樣一來(lái)，思考就片面化了，隱含的錯(cuò)誤就是“AP+PM+MN”這個(gè)整體取得最小值時(shí)，AP并非一定同時(shí)取得最小值。

【正解】對(duì)于多條折線求和問(wèn)題，我們應(yīng)將“代數(shù)求和”轉(zhuǎn)化為“幾何求和”，先借助“軸對(duì)稱(chēng)”，將同側(cè)線段轉(zhuǎn)變到異側(cè)，再“化折為直”，完成求和。

圖2

如圖2，以點(diǎn)P所在直線（y軸）為對(duì)稱(chēng)軸作點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，則PM′=PM。以點(diǎn)M′所在的直線OM′為對(duì)稱(chēng)軸作點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N′，則M′N(xiāo)′=M′N(xiāo)=MN。∴AP+PM+MN=AP+PM′+M′N(xiāo)′。

這樣就可“化折為直”，最值一定是當(dāng)A、M′、N′在一條直線上時(shí)取到。再根據(jù)“垂線段最短”，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ON′于H，當(dāng)點(diǎn)N′落在點(diǎn)H處時(shí)，AP+PM+MN取得最小值。

由題意，不難得到∠AON′=60°，再根據(jù)OA=2，可求得AH=，即AP+PM+MN的最小值為。

【點(diǎn)評(píng)】本題難度較大，對(duì)同學(xué)們的思維能力要求較高。同學(xué)們不妨嘗試以下變式訓(xùn)練，以加深相關(guān)理解。

變式1如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（2，0），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值。

圖3

變式2在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值。

變式3在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與x軸的正半軸的夾角為30°，P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，Q是直線l上一定點(diǎn)，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值。

變式4在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與x軸的正半軸的夾角為20°，P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，Q是直線l上一定點(diǎn)，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值。

【解析】變式2、3、4沒(méi)有直接給出圖形，同學(xué)們可以自己試著畫(huà)圖。此外，這組題由易到難，同學(xué)們?cè)诳淳唧w解析之前，可以先獨(dú)立嘗試解決。

變式1屬經(jīng)典的“將軍飲馬”模型，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，將同側(cè)兩線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩線段，從而“化折為直”，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”求得最小值。

變式2延續(xù)了變式1的思維，再結(jié)合“垂線段最短”可得最小值。

變式3、變式4由“兩條線段之和的最小值”拓展為“三條線段之和的最小值”，可繼續(xù)沿用“將軍飲馬”模型，多次作對(duì)稱(chēng)線段以求解。這兩題與前面的例題解法類(lèi)似，同學(xué)們不妨試一試，以檢驗(yàn)自己對(duì)例題的理解程度。

【點(diǎn)評(píng)】例題難度較大，也許你不能一下子理解。而變式可以幫助你更好地理解與掌握解決此類(lèi)問(wèn)題的途徑。變式1對(duì)你而言估計(jì)沒(méi)有難度。變式2中，定點(diǎn)B變?yōu)閤軸上一動(dòng)點(diǎn)，難度略有提升。根據(jù)“點(diǎn)動(dòng)成線”的思路，x軸即為所有動(dòng)點(diǎn)B的集合，所以作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A′B的最小值就是A′到x軸上的點(diǎn)的距離的最小值，“垂線段最短”的“加盟”，使得問(wèn)題走向深入。變式3、變式4由“兩條線段之和的最小值”拓展為“三條線段之和的最小值”，有了變式1、變式2的鋪墊，相信同學(xué)們一定能想到通過(guò)類(lèi)似方法去“化折為直”。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要一定的連貫性與靈活性，上面的一組變式訓(xùn)練題由易到難，一脈相承。相信同學(xué)們?cè)谥鹨唤獯鸬倪^(guò)程中，一定會(huì)感受到其中的關(guān)聯(lián)，從而領(lǐng)悟到“化定為動(dòng)”的命題思路及解題過(guò)程中“化折為直”的奧秘。這個(gè)案例給我們這樣的啟示：經(jīng)典題猶如題根，抓住題根，就等于抓住了整個(gè)題系。我們要追本溯源，進(jìn)行變式拓展及生長(zhǎng)。切實(shí)理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，可以追求大道至簡(jiǎn)，實(shí)現(xiàn)“做一題，會(huì)多題”“會(huì)一法，得通法”，這樣一來(lái)，我們的復(fù)習(xí)就更有效，從而收到事半功倍的效果。