崔恒劉
解答“統(tǒng)計與概率”方面的考題,關鍵是通過閱讀題目,獲取盡可能多的信息,然后利用獲取的信息進行解答。下面以部分2018中考題為例,歸納、分析幾類給出信息的方式,以幫助同學們提高獲取數(shù)據(jù)信息的能力。
例1(2018·江蘇南京)甲口袋中有2個白球、1個紅球,乙口袋中有1個白球、1個紅球,這些球除顏色外無其他差別,分別從每個口袋中隨機摸出一個球。
(1)求摸出的2個球都是白球的概率。
(2)下列事件中,概率最大的是( )。
A.摸出的2個球顏色相同
B.摸出的2個球顏色不相同
C.摸出的2個球中至少有1個紅球
D.摸出的2個球中至少有1個白球
【解析】(1)把甲口袋中的2個白球、1個紅球分別記為白1、白2、紅1,乙口袋中1個白球、1個紅球分別記為白3、紅2,利用列舉法得到所有可能的結果,再根據(jù)概率公式計算;(2)分別計算四個選項所對應事件的概率,再比較即可。
解:(1)把甲口袋中的2個白球、1個紅球分別記為白1、白2、紅1,乙口袋中1個白球、1個紅球分別記為白3、紅2,分別從每個口袋中隨機摸出一個球,所有可能的結果有:(白1,白3),(白1,紅2),(白2,白3),(白2,紅2),(紅1,白3),(紅1,紅2),共有6 種等可能的結果,其中摸出的2個球都是白球的結果有2種,∴P(摸出的2個球都是白球)
例2(2018·甘肅武威)如圖,在正方形方格中,陰影部分是涂黑3個小正方形所形成的圖案。
(1)如果將一粒米隨機地拋在這個正方形方格上,那么米粒落在陰影部分的概率是多少?
(2)現(xiàn)將方格內(nèi)空白的小正方形(A、B、C、D、E、F)中任取2個涂黑,得到新圖案。請用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對稱圖形的概率。
【解析】(1)陰影部分的面積占總面積的比例即為所求的概率;(2)利用列表或者樹狀圖得到涂黑兩個空白的所有情況,再根據(jù)軸對稱圖形定義,得到新圖案是軸對稱圖形的情況數(shù),即可求出概率。
解:(1)米粒落在陰影部分的概率
(2)列表:
共有30種等可能的情況,其中新圖案是軸對稱圖形的有10種,故圖案是軸對稱圖形的概率注:畫樹狀圖或列表正確均可得分。)
例3(2018·廣西桂林)某校為了解高一年級住校學生在校期間的月生活支出情況,從高一年級600名住校生中隨機抽取部分學生,對他們今年4月份的生活支出情況進行調(diào)查統(tǒng)計,并繪制成如下的統(tǒng)計圖表。
請根據(jù)圖表中所給的信息,解答下列問題:
(1)這次調(diào)查共隨機抽取了________名學生,圖表中的m=_______,n=_______。
(2)請估計該校高一年級600名住校學生中今年4月份生活支出低于350元的學生人數(shù)。
(3)現(xiàn)有一些愛心人士有意愿資助該校家庭困難的學生,學校在本次調(diào)查的基礎上,經(jīng)過進一步核實,確定高一(2)班有A、B、C三名學生家庭困難,其中A、B為女生,C為男生。李阿姨申請資助他們中的兩名,于是學校讓李阿姨從A、B、C三名學生中依次隨機抽取兩名學生進行資助,請用列表法(或樹狀圖法)求恰好抽到A、B兩名女生的概率。
【解析】(1)由第一組的頻數(shù)、頻率可求得總人數(shù),進而求得m、n的值。(2)用第一、二組的頻率之和乘600即可求解。(3)可列表或畫樹狀圖求出所有可能出現(xiàn)的結果,然后再根據(jù)圖表中的信息計算概率。
解:(1)4÷0.10=40(名),這次調(diào)查共隨機抽取了40名學生。m=40×0.30=120.40。
(2)600×(0.10+0.05)=90(人)。所以該校高一今年4月份生活支出低于350元的學生有90人。
(3)列表如下:
畫樹狀圖如下:
由列表或樹狀圖可知,所有等可能的情況共有6種,其中恰好抽到A、B兩名女生的結果有2種,所以恰好抽到A、B兩名女生的概率
例4(2018·山東菏澤)為了發(fā)展學生的核心素養(yǎng),培養(yǎng)學生的綜合能力,某中學利用“陽光大課間”,組織學生積極參加豐富多彩的課外活動,學校成立了舞蹈隊、足球隊、籃球隊、毽子隊、射擊隊等,其中射擊隊在某次訓練中,甲、乙兩名隊員各射擊10發(fā)子彈,成績用下面的折線統(tǒng)計圖表示:(甲為實線,乙為虛線)
(1)依據(jù)折線統(tǒng)計圖,得到下面的表格:
其中a=_______,b=_______。
(2)甲成績的眾數(shù)是_______環(huán),乙成績的中位數(shù)是_______環(huán)。
(3)請運用方差的知識,判斷甲、乙兩人誰的成績更為穩(wěn)定?
(4)該校射擊隊要參加市組織的射擊比賽,已預選出2名男同學和2名女同學,現(xiàn)要從這4名同學中任意選取2名同學參加比賽,請用列表或畫樹狀圖法,求出恰好選到1男1女的概率。
【解析】(1)根據(jù)折線圖標注的數(shù)據(jù)信息直接得到a與b的值。(2)甲的十次射擊成績中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);把乙的十次射擊成績按大小順序排列,處于中間的第5、6個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù)。(3)利用方差公式計算這兩組數(shù)據(jù)的方差,方差小的成績更為穩(wěn)定。(4)利用樹狀圖或列表,找出隨機選中兩人的所有情況數(shù),再確定1男1女的情況數(shù),利用概率公式計算結果。
(4)畫樹狀圖如下:
共有12種結果,符合條件的結果有8種,所以,恰好選到1男1女的概率列表(略)。
例5(2018·山東淄博)“推進全科閱讀,培育時代新人”。某學校為了更好地開展學生讀書節(jié)活動,隨機調(diào)查了八年級50名學生最近一周的讀書時間,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
(1)寫出這50名學生最近一周讀書時間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。
(2)根據(jù)上述表格補全下面的條形統(tǒng)計圖:
(3)學校從這50名學生中,隨機抽取1名學生參加上級部門組織的讀書活動,其中被抽到學生的讀書時間不少于9小時的概率是多少?
【解析】(1)分別按照三類數(shù)的定義解答;(2)依據(jù)表格數(shù)據(jù)補圖;(3)利用概率公式計算。
解:(1)眾數(shù)是:9。中位數(shù)是=8.5。平均數(shù)是(6×5+7×8+8×12+9×15+10×10)=8.34(小時)。
(2)補全條形統(tǒng)計圖:
從上面列舉的例題中,我們可以發(fā)現(xiàn):統(tǒng)計與概率方面的題目大多都有生活背景,這體現(xiàn)出“數(shù)學來源于生活”的道理。我們在平時的學習中也要多關注生活,學會用所學知識解決生活、學習中的實際問題,提高自己的問題意識、應用意識。