余建國

圓錐曲線因運(yùn)動而精彩紛呈.在定性證明和求最值類問題中，選取什么參變量表示運(yùn)動，通過代數(shù)運(yùn)算得到定值或建立目標(biāo)函數(shù)呢？這里不僅是計算問題，更是算法的優(yōu)化問題.本文和同學(xué)們探討如何選取參數(shù)，簡化運(yùn)算.請看下面問題：

例如圖1，已知橢圓0：+y2=1，點(diǎn)B，C分別是橢圓O的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l：y=-2上的一個動點(diǎn)（與y軸交點(diǎn)除外），直線PC交橢圓于另一點(diǎn)M.

（1）記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值.

（2）求PB·PM的取值范圍.

先解決問題（1）.

分析一根據(jù)“點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)”，可以設(shè)P坐標(biāo)為（m，-2），這樣用m表示直線BM，BP的斜率，計算k1·k2為定值，即k1·k2的值與參數(shù)m無關(guān).

證明一P坐標(biāo)為（m，-2），則直線BP的斜率k2=-3/m.

直線PM，即PC的斜率為-1/m，方程為

分析二事實上，我們也可以將問題表述為“M是橢圓，上的一個動點(diǎn)（與B，C不重合），直線CM與l交于點(diǎn)P”.這樣我們可以設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），將它作為參數(shù).

證明二設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），則x02+4y02=4，即y02-1=-x02/4.

直線BM的斜率

直線PM，即PC的斜率為

分析三既然我們認(rèn)為“主動點(diǎn)”為M，當(dāng)然就可以選擇直線BM的斜率為參數(shù).

證明三直線BM的方程為y=k2x+1.

顯然，我們也可以用直線PM，即PC的斜率kpc為參變量，一方面求點(diǎn)P的坐標(biāo)，另一方面求點(diǎn)M的坐標(biāo)，證明過程類似.

歸納總結(jié)在圓錐曲線定性證明中，不同的視角決定我們選取不同的參變量，通過代數(shù)運(yùn)算，計算k1·k2的值，最終這個值中參變量被消去了，我們就實現(xiàn)了“定”的目的.比較而言，還是設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法運(yùn)算量較小，這里省去了聯(lián)立直線與橢圓方程解交點(diǎn)的計算.同學(xué)們在平時的解題中是否有這種感覺呢？

事實，上，如果我們對橢圓的性質(zhì)比較熟悉的話，先看出

而直線PB，PC的斜率也有關(guān)系

①②兩式相乘，得k1·k2=-3/4.

基于上面的分析和求解，第（2）問解法就自然了，一是設(shè)點(diǎn)P（m，-2），二是設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），三是以斜率為參變量.

解法一

解法二

以斜率為參變量的方法留給同學(xué)們自已去解決.

解析幾何的思想就是用代數(shù)的方法研究幾何問題.如何表示平面上點(diǎn)或線的運(yùn)動變化？點(diǎn)的變化用坐標(biāo)描述，線的變化用斜率（旋轉(zhuǎn)）或截距（平移）表示.在復(fù)雜的運(yùn)動過程中，我們往往從“主動”開始，依次描述“從動”，就能將運(yùn)動變化的過程表達(dá)清楚，定性證明、求最值類問題迎刃而解.正如我們只有抓住舞動彩練的棒子，彩練才能隨心而動，舞出絢麗的色彩！