高慧明　張琦

一、概率統(tǒng)計(jì)的基本介紹

現(xiàn)代社會是一個(gè)信息化的社會，生活中人們常常需要收集各種數(shù)據(jù)，之后對所收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而提取有價(jià)值的信息，作出合理的決策。統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見，概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，它為人們認(rèn)識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法，同時(shí)為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。因此，統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識已經(jīng)成為一個(gè)未來公民的必備常識。

1.概率和統(tǒng)計(jì)，是兩個(gè)彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支

這里概率指的是概率論，其萌發(fā)于16世紀(jì)的賭博中“得分問題"。1657年，惠更斯在他和帕斯卡、費(fèi)馬等人討論的基礎(chǔ)，上，寫成了《論賭博中的計(jì)算》一書，標(biāo)志著概率論成為研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門]獨(dú)立學(xué)科。此后，雅各布·貝努利的遺著《推測術(shù)》（1713年出版）的出版，標(biāo)志著概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。

統(tǒng)計(jì)指的是數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其萌發(fā)于19世紀(jì)，形成于20世紀(jì)中葉。1946年，英國數(shù)學(xué)家費(fèi)希爾發(fā)表《統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法》，才標(biāo)志數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的成熟。

從這個(gè)角度來講，概率和統(tǒng)計(jì)，是兩個(gè)彼此獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。

2.概率是統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)是概率的應(yīng)用

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象中某事件發(fā)生的可能性，用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。隨機(jī)事件是指在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，如概率論最初研究的擲骰子問題。概率論發(fā)展至今在高能物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)、生物數(shù)學(xué)等學(xué)科中具有重要應(yīng)用。許多服務(wù)系統(tǒng)如通信、探測、預(yù)報(bào)、自動控制等都要應(yīng)用概率論的內(nèi)容。而在這個(gè)過程中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的具體模型發(fā)揮著不可替代的作用。

而數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本研究過程是：收集數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，提取信息，作出決策。這些數(shù)據(jù)都是來自同一總體，而我們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的目的，并不在于這些數(shù)據(jù)本身，而是把它作為一個(gè)樣本，通過它來推測總體的分布規(guī)律。這就必須運(yùn)用概率論的理論。而在概率論產(chǎn)生之前，要作出數(shù)據(jù)以外的推斷是不可能的，要從抽樣調(diào)查去了解總體分布也是不可能的。從這個(gè)角度講，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

二、概率統(tǒng)計(jì)中文化元素的梳理

概率統(tǒng)計(jì)從其誕生發(fā)展至今都蘊(yùn)涵著濃厚的數(shù)學(xué)文化色彩，數(shù)學(xué)文化是激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)興趣、養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和提高核心素養(yǎng)的有效途徑。下面我們將對概率統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)文化價(jià)值進(jìn)行簡單的梳理。

1.概率統(tǒng)計(jì)具有很強(qiáng)的實(shí)踐性和應(yīng)用性概率論源自“賭博游戲”，數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本研究過程是數(shù)據(jù)的收集、處理、理解和分析，這就使得概率統(tǒng)計(jì)從誕生的時(shí)刻起，就具有明顯的實(shí)踐性和應(yīng)用性。比如數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)的是隨機(jī)變量的平均水平，數(shù)學(xué)期望可以解決許多實(shí)際生活和應(yīng)用現(xiàn)象中的問題，各種媒體中也經(jīng)常用數(shù)學(xué)期望來表達(dá)某些社會現(xiàn)象的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。再比如方差是在概率論和統(tǒng)計(jì)中衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)的離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機(jī)變量和其數(shù)學(xué)期望（即均值）之間的偏離程度。統(tǒng)計(jì)中的方差（樣本方差）是每個(gè)樣本值與全體樣本值的平均數(shù)之差的平方值的平均數(shù)。在許多實(shí)際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。

例1?某中學(xué) 為了解高二年級中華傳

統(tǒng)文化經(jīng)典閱讀的整體情況，從高二年級隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行了兩輪測試，并把兩輪測試成績的平均分作為該名學(xué)生的考核成績。記錄的數(shù)據(jù)如表1。

記抽取的10名學(xué)生第一輪測試成績的平均數(shù)和方差分別為x1，sq，考核成績的平均數(shù)和方差分別為x2，s2，試比較x1與x2，S與s2的大小。（只需寫出結(jié)論）

分析：本題答案很簡單，顯然x1=x2，si>s2。但怎么就顯然了呢？其實(shí)，如果同學(xué)們對數(shù)據(jù)進(jìn)行一下處理，先計(jì)算出來考核成績，如表2，再將所有成績按從小到大順序排列一下（不關(guān)注具體的學(xué)號），如表3，此時(shí)自然能得結(jié)論，x1=x2，原因是第一輪測試成績與第二輪測試成績完全相同，平均數(shù)自然相同。s>s2，則是因?yàn)槊黠@第一輪測試成績波動程度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于考核成績波動程度。本題非常完美地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理的過程，需要同學(xué)們對平均數(shù)和方差概念有深入的理解，計(jì)算反而退居末位了。

2.概率統(tǒng)計(jì)思維特點(diǎn)——隨機(jī)性、偶然性、似然性

隨機(jī)性、偶然性、似然性的思維方式是概率統(tǒng)計(jì)的主要思維特點(diǎn)，但這些特點(diǎn)又具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，這使得對于習(xí)慣了確定性、必然性、唯一性的思維方式的同學(xué)而言是極具挑戰(zhàn)的。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾云：“生活中最重要的問題，絕大部分其實(shí)只是概率問題?！蔽覀兛磦€(gè)糅合著必然與偶然、確定與隨機(jī)的具體例子：給定一根木棒，誰都不會懷疑它有自身的“客觀”的長度，長度是多少？我們可以用各種儀器去測量，但是不管我們的儀器多么精確，你得到的數(shù)據(jù)也總是穩(wěn)定在木棒真實(shí)長度的附近。

例2預(yù)計(jì)某地區(qū)明天“降水概率為70%”，你是怎么理解的？

分析：比如說沒有學(xué)過概率論的人，可能會認(rèn)為“該地區(qū)有70%的地方會下雨，或是降水概率越大雨就下得越大”。但是即使學(xué)過概率論系統(tǒng)知識的數(shù)學(xué)老師，也經(jīng)常會發(fā)出這樣的感慨：“天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)……”其實(shí)，降水概率一詞有兩種理解方式：一是指某地的歷史氣候降水概率，完全是依據(jù)歷史氣候資料統(tǒng)計(jì)計(jì)算分析得出的結(jié)果：二是在天氣預(yù)報(bào)中應(yīng)用科學(xué)技術(shù)依靠各種知識、信息和技能建立數(shù)學(xué)模型對未來天氣進(jìn)行分析和預(yù)測。但是受到技術(shù)手段的限制，后一種建立模型的方法往往更不精確，所以現(xiàn)在我們都是采取第一種方法來預(yù)測。那么從統(tǒng)計(jì)的角度而言，“降水概率為70%”的含義可以近似理解為與明天天氣情況類似的某些日子里，有70%的日子有降水，而明天是否降水，則需要你自己去判斷。所以有人說“天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)……”這句話本身就是有問題的。

3.概率統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的核心可以簡單地概括為：處理數(shù)據(jù)而不是研究數(shù)字：關(guān)注活動而不只是死記概念：強(qiáng)調(diào)過程而不是只看結(jié)果。概率論屬于不確定性的數(shù)學(xué)，是為了尋找隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性，這與我們平時(shí)強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)、幾何、向量從思維到學(xué)習(xí)方法上都是不一樣的。

如同其他數(shù)學(xué)學(xué)科一樣，概率統(tǒng)計(jì)也具有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如隨機(jī)思想、公理化思想、化歸思想、模型化思想、推斷思想等。概率統(tǒng)計(jì)的思想方法往往蘊(yùn)含在日常生活和概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容中，可以幫助同學(xué)們提高分析和解決實(shí)際問題的能力。我們不妨來看下面這個(gè)例子。

例3?如圖1，面積為s的正方形AB-CD中有一個(gè)不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計(jì)M的面積：在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個(gè)點(diǎn)，若n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)落人M中，則M的面積的估計(jì)值m為“S，假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，以X表示落人M中的點(diǎn)的數(shù)目。

（I）求X的均值EX：

（II）求用以上方法估計(jì)M的面積時(shí)，M的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間（-0.03，0.03）內(nèi)的概率。

附表（如表4）：

分析：每個(gè)點(diǎn)落入M中的概率均為

本題是標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)分布模型，熟練掌握二項(xiàng)分布的相關(guān)知識是解決本題的必要條件。本題能很好地體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)中的模型化思想。

在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)時(shí)，引人數(shù)學(xué)文化的相關(guān)知識，不僅能使我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的發(fā)展過程，同時(shí)還會使我們感受到數(shù)學(xué)的進(jìn)展是腳踏實(shí)地的，是一步一個(gè)腳印的。