廖慶偉

拋物線是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點，主要考查定義、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本技能與基本方法的運用。

一、知識掃描

平面內(nèi)與一個定點F和一條直線l（l不過F）的距離相等的點的集合叫作拋物線。這個定點F叫作拋物線的焦點，這條定直線l叫作拋物線的準線。其數(shù)學表達式為|MF|=d（其中d為點M到準線的距離）。

拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)如表1所示。

焦半徑：拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）到焦點F（上，0）的距離|PF|。

常用結(jié)論：設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0），F(xiàn)為焦點。

焦半徑：設(shè)P（x，y）為拋物線上任意一點，則|PF|=x+-p

通徑：過焦點且與對稱軸垂直的弦AB，|AB|=2p：p越大，拋物線的開口越大。

焦點弦：設(shè)過焦點F的直線l與拋物線交于點A（x1，y1），B（x2，y2），則有：

⑤以AB為直徑的圓與準線相切。

⑥以AF或BF為直徑的圓與y軸相切。

二、常見題型

考點一：拋物線的定義及運用

例1?若拋物線y2=2x上一點M到它的焦點F的距離為3/2，0為坐標原點，則△MFO的面積為（）。

A.√2/2

B.√2/4

C.1/2

D.1/4

解析：由題意知，拋物線的準線方程為x2。

設(shè)M（a，b），由拋物線的定義可知，點M到準線的距離為3/2

所以a=1，代入拋物線方程y2=2x，解得b=±√2，所以S△MPO=1/2X1/2X√2=√2/4。

故選B。

點評：利用拋物線的定義解決此類問題時，應(yīng)靈活地運用拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化?！翱吹綔示€想到焦點，看到焦點想到準線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的有效途徑。

考點二：拋物線的標準方程

例2?如圖1，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F，過拋物線上一點A（3，y）作準線l的垂線，垂足為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標準方程是（）。

A.y2=1/2x

B.y2=x

C.y2=2x

D.y2=4x

解析：設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0），則F（ （p/2 ，0 ），B（-p/2，0）。

將A（3，y）代入拋物線方程得y2=6p，y=√6p。

由于△ABF為等邊三角形，故kAF=√3，即 √6p-0 /3-p/2=√3 ，解得p=2。

所以拋物線的標準方程是y2=4x，故選D。

點評：求拋物線方程主要有兩種方法。

①定義法：根據(jù)條件確定動點滿足的幾何特征，從而確定p的值，得到拋物線的標準方程。

②待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標準方程，再確定參數(shù)p的值，這里要注意拋物線標準方程有四種形式。從簡單化角度出發(fā)，焦點在x軸的，設(shè)為y2=ax（a≠0），焦點在y軸的，設(shè)為x2=by（b≠0）

考點三：拋物線的幾何性質(zhì)

例3?如圖2，設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則S△BCF/S△ACF=（）。

A.|BF|-1/|AF|-1

B.|BF|2-1/|AF|2-1

C.|BF|+1/|AF|+1

D.|BF|2+1/|AF|2+1

解析：如圖3所示，拋物線的準線DE的方程為x=-1。

過A作AE⊥DE于E，交y軸于N;過B作BD⊥DE于D，交y軸于M。

由拋物線的定義知|BF|=|BD|，|AF|=|AE|。

所以|BM|=|BD|-1=|BF|-1，|AN|=|AE|-1=|AF|-1。

所以S△BCF/S△ACF=| BC|/|AC |=xB/xA= |BF|-1/|AF|-1故選A。

點評：本題需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比，拋物線上的點到準線的距離等于其到焦點的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標準方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點。

考點四：拋物線中的最值

例4 ?拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=120°。過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則 | MN|/|AB |的最大值為（ ）。

A.√3/3

B.1

C.2√3/3

D.2

解析：設(shè)|AF| = =a ，| BF | =b。

由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2ab·cos120° = a2 +b2+ab= （a+b）2-ab≥（a+b）2- （ a +b/2）2=/43 （a+b）2。

因為a+b= |AF|+ | BF| =2 |MN| ，所以|AB|2≥3/4|2MN|2，所以 |MN|/|AB|≤ √3/3。故其最大值為 √3 /3，應(yīng)選A。

點評：解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙：二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法求解。本題是利用拋物線性質(zhì)及余弦定理、基本不等式等知識求最值的。注意由于拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等，所以拋物線的頂點到焦點的距離最小?？键c五：拋物線中的定值問題