李 靜,廖淑華,喬 鐵

(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 鄭州 451460)

管道是石油工業(yè)的動脈，是石油生產(chǎn)中的重要環(huán)節(jié)。如何合理設(shè)計管道的鋪設(shè)線路以減少建設(shè)費用的問題，已受到人們的重視。某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。本研究根據(jù)2010年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽?？平M的C題(簡稱競賽題)，建立輸油管道鋪設(shè)的優(yōu)化模型。

1 問題的提出與分析

對于競賽題中的問題(1)，可以看作是共用管線與非共用管線費用是否相同兩種不同情形。在這兩種情形中考慮兩煉油廠到鐵路線的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情況，設(shè)計出使管線建設(shè)費用最省的方案。經(jīng)過分析得出了以下幾種可能的煉油廠位置，如圖1所示。

圖1 兩個煉油廠與鐵路線可能的位置示意圖

圖1(1)表示兩煉油廠連線不與鐵路線平行的情況；圖1(2)表示兩煉油廠連線與鐵路線平行的情況；圖1(3)表示兩煉油廠連線與鐵路線垂直的情況；圖1(4)表示一個煉油廠位于鐵路線邊緣的情況；圖1(5)表示兩煉油廠都位于鐵路線邊緣的情況。

根據(jù)實際資料可知，煉油廠與鐵路線距離過近(a,b<80m)時發(fā)生火災(zāi)等災(zāi)害的可能性大，從安全方面考慮，圖1(4)和圖1(5)所示的兩種情形不符合實際，故不考慮。對圖1(1)所示情形進(jìn)行分析求解，可以得到一般的模型(注意考慮共用管線與非共用管線費用相同與不同的兩種情形)。

當(dāng)共用管線與非共用管線費用相同時，欲使管線建設(shè)費用最省，只要使總線路最短即可。由勾股定理即可得線路總長。

當(dāng)共用管線與非共用管線費用不同時，若共用管線與非共用管線費用之比為k：1，欲使管線建設(shè)費用最省，只需滿足共用管線加權(quán)后，總線路最短即可。但是，當(dāng)k≥2時，使用共用管線輸油會比全部使用非共用管線輸油的費用多，因此只需考慮1≤k≤2的情形，其余思路、算法同上一種情形。

競賽題中的問題(2)在問題(1)的基礎(chǔ)上，給定一些參數(shù)，要求設(shè)計出最優(yōu)方案、計算出最小費用。首先根據(jù)所給的附加費估計表，對各公司的資質(zhì)等級采用1-9比較原則建立比較矩陣，計算出各公司在評估附加費時的權(quán)值，即可得到在城區(qū)鋪設(shè)管線所追加的附加費為21.4萬元/km。然后，分別計算出鋪設(shè)在城區(qū)的管線長度和鋪設(shè)在郊區(qū)的管線長度，得出總鋪設(shè)長度。最后，根據(jù)各自的費用以及在城區(qū)鋪設(shè)管線所追加的附加費用，建立總費用函數(shù)。利用MATLAB軟件求解出共用管線與非共用管線交匯點的坐標(biāo)，以及城鄉(xiāng)管線交匯點坐標(biāo)，從而得到最優(yōu)方案，并求出費用的最小值。

競賽題中的問題(3)是在問題(2)的前提下，進(jìn)一步強(qiáng)化了條件，根據(jù)各煉油廠輸油能力，視情況挑選管線材質(zhì)，進(jìn)一步節(jié)省了管線材質(zhì)的開銷，使得費用盡量減少。由于各煉油廠輸油管線材質(zhì)不同，價錢也不同，因此對于不同的城鄉(xiāng)管線以及煉油廠輸油管賦予不同的加權(quán)值，建立總費用函數(shù)。利用MATLAB軟件求解出共用管線與非共用管線交匯點坐標(biāo)，以及城鄉(xiāng)管線交匯點坐標(biāo)，從而得到最優(yōu)設(shè)計方案，并求出費用的最小值。

2 競賽題問題(1)的模型建立與求解

對于特殊情形l=0時，即兩煉油廠連線垂直于鐵路線，如圖2所示，最優(yōu)方案是車站設(shè)在E點處。

圖2 兩廠與車站的位置

以下在l>0的情形下討論。

在不確定有無共用管線的情況下，可先給出一種一般的情況進(jìn)行分析計算。在此情況下，討論共用管線與非共用管線費用相同與不同的兩種情形。

1)共用管線與非共用管線費用相同

要使費用最省，只要管線鋪設(shè)長度最短即可。如圖3所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)管線交匯點為P(x,y)。根據(jù)勾股定理，可以得到共用管線與非共用管線費用相同時所鋪設(shè)管線總長度為

圖3 共用與非共用管線費用相同的情況

利用MATLAB軟件求解得

容易驗證，問題的最優(yōu)解為

根據(jù)實際情況，不妨設(shè)al和y

圖4 兩廠和車站設(shè)置示意圖

2)共用管線與非共用管線費用不同

對于共用管線與非共用管線鋪設(shè)費用不同的情況，可設(shè)共用管線費用與非共用管線費用之比為k：1，且k>1。在共用管線與非共用管線費用相同的基礎(chǔ)上，給共用管線加一個權(quán)值，便可得到總鋪設(shè)長度為

利用MATLAB軟件求解得到最優(yōu)解為

當(dāng)1

3 競賽題問題(2)的模型建立與求解

由于問題(2)要考慮管線鋪設(shè)在兩種不同的區(qū)域，即城區(qū)和郊區(qū)。在城區(qū)管道鋪設(shè)時，還要考慮支付拆遷等附加費的情況，為估算此項費用，特聘請了三家工程咨詢公司(其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì))進(jìn)行了估算。這三家公司估算出附加費用分別為21萬元/km,24萬元/km,20萬元/km。

由于三家公司所給出附加費用不同，而且其資質(zhì)等級也不同，可以將三家公司所提供的拆遷等附加費的估算情況和公司資質(zhì)等級進(jìn)行一個系統(tǒng)、全面的綜合分析。這里采取1-9比例標(biāo)度方法，得到各公司在評估附加費用時所占權(quán)重。

由于鋪設(shè)管線每千米的拆遷等附加費用是鋪設(shè)管線費用的近三倍之多，因此在確定設(shè)置方案時要盡量減少在城區(qū)鋪設(shè)管道的長度。根據(jù)分析結(jié)果，做出管線鋪設(shè)的方案如圖5所示，不妨設(shè)城鄉(xiāng)管線交匯點B′的坐標(biāo)為(15，z)。

圖5 城鄉(xiāng)共用鋪設(shè)管線的示意圖

根據(jù)勾股定理得到在城鄉(xiāng)共同鋪設(shè)管線所需總費用函數(shù)為

利用MATLAB軟件求解可得x=5.451 3，y=1.852 7，z=7.365 6，最小費用值為w1=282.193 4(萬元)。

4 競賽題問題(3)的模型建立與求解

考慮問題(3)的方法與問題(2)類似。但是由于兩煉油廠的產(chǎn)油能力不同，在鋪設(shè)非共用管線時，則可采用不同材質(zhì)的管線，即各煉油廠非共用管線重要性程度不同，可以賦予不同的權(quán)值，從而可以減少管線的投資費用。

由于在城區(qū)鋪設(shè)管線的附加費用21.4萬元/km不變，因此，要盡量減少在城區(qū)鋪設(shè)管線的長度。

設(shè)計方案如圖5所示。設(shè)城鄉(xiāng)管線交匯點坐標(biāo)仍記為(15,z)，由勾股定理可得到在城鄉(xiāng)共同鋪設(shè)管線所需要的總費用函數(shù)為

利用MATLAB軟件求其最小值，得x=6.735 5，y=0.137 7,z=7.276 8，其最小費用值為w2=251.463 3萬元。

5 模型的結(jié)果分析與評價

(1)在競賽題問題(2)中，采用1-9比例標(biāo)度計算得出附加費用為21.4萬元/km。如果使用算術(shù)平均值計算出的附加費用為21.67萬元/km，則二者相比差別不大，因此方法是合理的。

(2)在競賽題問題(2)和問題(3)中，關(guān)于z的取值比較接近8。這也就是說城郊結(jié)合點選在B點處，是在城市和郊區(qū)的交匯界線的垂足點偏下一些，與實際情況是相符合的。

(3)在競賽題問題(2)中，在選擇三家咨詢公司的權(quán)值時，并不一定要采用1-9比例標(biāo)度方法，也可以考慮其他合適的權(quán)值。譬如可以對兩種極端情形1:0:0和1:1:1做進(jìn)一步分析，給出附加費用的范圍,從而也可以得到最小費用的一個范圍。

(4)雖然該模型是根據(jù)輸油管線鋪設(shè)問題給出的，但模型也可以直接應(yīng)用于綜合布線問題和天然氣等其他管線的鋪設(shè)問題。

(5)該模型能夠較全面反映問題中所給的各項條件對問題的影響，根據(jù)要求建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。運用數(shù)學(xué)軟件和方法求得最優(yōu)解，選擇出最優(yōu)的輸油管線設(shè)計方案，使得鋪設(shè)管線的費用最省。該模型適用范圍廣泛，能求解多類管道鋪設(shè)問題，亦能用于優(yōu)化公路線路設(shè)計問題，稍加改進(jìn)也可運用于運輸領(lǐng)域。