周 蘇, 吳 楠, 支雪磊

(1.同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院,上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué) 中德學(xué)院,上海 201804)

4WIS電動(dòng)汽車低速時(shí)具有較好的機(jī)動(dòng)性,高速時(shí)具有較優(yōu)的操縱穩(wěn)定性和安全性.除此之外,通過控制轉(zhuǎn)向角度,它還能實(shí)現(xiàn)諸如斜行、蟹行和原地轉(zhuǎn)向等功能[1],并且在給定參考路徑下具有較優(yōu)的跟蹤性能.

車輛自動(dòng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)在智能或無人駕駛車輛控制中占有非常重要的地位,其中路徑跟蹤控制是自動(dòng)轉(zhuǎn)向過程中的基本控制問題.Goodarzi[2]等提出了一種新型的路徑跟蹤最優(yōu)控制律,將主動(dòng)前輪轉(zhuǎn)向(AFS)和直接橫擺力矩控制(DYC)組合起來,實(shí)現(xiàn)了橫向偏移和航向誤差的最小化.Salehpour等[3]采用粒子游動(dòng)優(yōu)化(PSO)方法,對線性二次控制器(LQR)進(jìn)行了優(yōu)化,提高了乘用車路徑跟蹤能力.Hu等[4]設(shè)計(jì)了一種路徑跟蹤控制器,即使在大曲率路徑下也能使橫向偏移和航向誤差同時(shí)收斂至零.基于LQR方法,Mashadi等[5]采用反饋/前饋路徑控制實(shí)現(xiàn)了AFS、4WIS和帶有DYC系統(tǒng)的AFS三種轉(zhuǎn)向模式.

模型預(yù)測控制(MPC)具有預(yù)測、滾動(dòng)優(yōu)化和反饋校正的基本功能,尤其適用于不易建立精確被控對象模型、不確定環(huán)境干擾下且存在約束條件的控制系統(tǒng),對解決無人駕駛車輛在復(fù)雜路況下的路徑跟蹤控制問題具有獨(dú)特的優(yōu)勢[6].傳統(tǒng)的前軸主動(dòng)轉(zhuǎn)向已經(jīng)有眾多學(xué)者研究，F(xiàn)alcone等[7-8]分別基于預(yù)測控制算法使用車輛的非線性模型和線性時(shí)變模型設(shè)計(jì)無人駕駛車輛模型預(yù)測控制器，解決了車輛在高速低附著路面上的路徑跟蹤問題.本文提出了四輪獨(dú)立轉(zhuǎn)向汽車的六自由度動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間表達(dá)式，使用線性時(shí)變MPC算法設(shè)計(jì)了四輪主動(dòng)轉(zhuǎn)向路徑跟蹤控制器，并分析了該控制算法的魯棒性和實(shí)時(shí)性.

本文涉及4WIS電動(dòng)汽車路徑跟蹤的模型預(yù)測控制.首先,根據(jù)力學(xué)原理及輪胎特性模型,推導(dǎo)出一種近似的非線性四輪轉(zhuǎn)向車輛動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間描述模型；其次,基于對上述非線性動(dòng)力學(xué)模型的線性化,提出了線性時(shí)變(linear time-varying, LTV)MPC算法,并結(jié)合約束條件和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)將相應(yīng)的最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為便于計(jì)算機(jī)求解的標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃問題；隨后,針對4WIS設(shè)計(jì)了相應(yīng)的LTV MPC路徑跟蹤控制器,并利用Matlab/Carsim聯(lián)合仿真平臺(tái)對雙移線工況下路徑跟蹤進(jìn)行了仿真驗(yàn)證；最后,對LTV MPC算法的魯棒性及實(shí)時(shí)性進(jìn)行仿真分析.

1 4WIS車輛路徑跟蹤模型

圖1為慣性坐標(biāo)系XOY和車輛坐標(biāo)系xoy下4WIS車輛相關(guān)變量的示意圖.其中,令i=fl,fr,rl,rr分別表示前左輪、前右輪、后左輪、后右輪,δi為車輪i的轉(zhuǎn)向角,φ為車身橫擺角;vxi、vyi和Fxi、Fyi分別為車輛坐標(biāo)系下輪胎縱向速度、側(cè)向速度和縱向力、側(cè)向力;vli、vci和Fli、Fci分別為輪胎坐標(biāo)系下輪胎縱向速度、側(cè)向速度和縱向力、側(cè)向力.

圖1 4WIS車輛示意圖

由圖1可知,在XOY下和在xoy下的車輛質(zhì)心速度滿足如式(1)的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

(1)

在輪胎坐標(biāo)系下和在xoy下的輪胎縱向速度、側(cè)向速度滿足式(2)的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

(2)

在xoy下和在輪胎坐標(biāo)系下的輪胎縱向力、側(cè)向力滿足式(3)的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

(3)

車輛實(shí)際行駛過程中車輪運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較復(fù)雜,不僅有縱向滑移,車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)還會(huì)發(fā)生輪胎側(cè)偏；輪胎模型描述了車輛運(yùn)動(dòng)與地面相互作用關(guān)系,即聯(lián)合縱向和側(cè)偏工況下的輪胎力特性,如圖2所示.

圖2 輪胎與地面作用示意圖

研究4WIS車輛路徑跟蹤控制問題時(shí)(圖3),假定不同工況下各輪胎轉(zhuǎn)矩使車輛曲線勻速運(yùn)行.因此,4WIS車輛路徑跟蹤系統(tǒng)控制變量可設(shè)為四輪線控主動(dòng)轉(zhuǎn)向角(轉(zhuǎn)角)δi,i=fl,fr,rl,rr,即：

udyn=[u1,u2,u3,u4]T=[δfl,δfr,δrl,δrr]T.

式中：u1～u4為控制變量.

系統(tǒng)狀態(tài)變量為

系統(tǒng)輸出量(實(shí)際路徑)為

η=[φ,Y,X]T,

參考路徑為

ηref=[φref,Yref,Xref],

其中,X為XOY坐標(biāo)系下車輛質(zhì)心的橫坐標(biāo),路徑規(guī)劃層給定的參考路徑由式(4)的關(guān)系確定.

(4)

因此,作為路徑跟蹤控制系統(tǒng)的輸出量可簡化為：ηdyn=[ξ3,ξ5]T=[φ,Y]T,相應(yīng)的期望輸出量(或期望路徑)可簡化為

ηref=[φref,Yref]T.

路徑跟蹤控制器根據(jù)ηdyn和ηref的信息,給出控制變量udyn,實(shí)現(xiàn)車輛對期望路徑的跟蹤.

圖3 路徑跟蹤控制系統(tǒng)

在側(cè)向加速度ay≤0.4g和側(cè)偏角/縱向滑移率較小的情況下,常規(guī)輪胎的側(cè)向力Fc和縱向力Fl可以分別用式(5)和式(6)近似表示.

(5a)

(5b)

(5c)

(5d)

Fli=CliSi,i=fl，fr，rl，rr

(6)

式中:lf和lr分別為前輪中心和后輪中心到質(zhì)心的距離;Cli和Cci分別為輪胎i的縱向剛度和側(cè)偏剛度;Si為輪胎i的滑移率.

根據(jù)牛頓第二定律并結(jié)合式(1)～(6)，可得到近似的4WIS非線性車輛動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間描述模型，如式(7)所示.

(7)

ηdyn=[ξ3,ξ5]T

式(7)中4個(gè)車輪轉(zhuǎn)角為控制變量(系統(tǒng)輸入)、6個(gè)整車變量為狀態(tài)變量、車身橫擺角及慣性坐標(biāo)系下側(cè)向位移為系統(tǒng)輸出的非線性狀態(tài)空間表達(dá)式用于設(shè)計(jì)參考路徑跟蹤控制算法.

2 預(yù)測模型的設(shè)計(jì)

2.1 線性時(shí)變模型的轉(zhuǎn)化

相比于非線性模型預(yù)測控制,LTV MPC具有計(jì)算量小,易求解等特點(diǎn)[9-12].為了便于控制器的設(shè)計(jì),將式(7)轉(zhuǎn)化為離散形式(8).

ξ(k+1)=ξ(k)+T·f(ξ(k)

(8a)

udyn(k))=F(ξ(k),udyn(k))

(8b)

式中:T為離散系統(tǒng)采樣時(shí)間.

(9)

將非線性離散系統(tǒng)F在工作點(diǎn)(ξ(k),u(k-1))用泰勒公式展開,只保留一階項(xiàng),可得到式(10).

(10)

至此,將非線性連續(xù)模型轉(zhuǎn)化成了離散線性時(shí)變模型,便于MPC控制器的設(shè)計(jì).

2.2 預(yù)測模型的推導(dǎo)

根據(jù)離散的時(shí)變線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)模型預(yù)測控制器,將式(10)中的控制量u(k)轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂圃隽喀(k),將各個(gè)變量進(jìn)行相應(yīng)的變換,即可得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式如式(11).

(11a)

(11b)

其中設(shè)定：

Δu(k)=u(k)-u(k-1)

其中:n為狀態(tài)量個(gè)數(shù);m為控制量個(gè)數(shù);p為輸出量個(gè)數(shù).

設(shè)定:Δu(k+i)=0,i=Nc,Nc+1,…,Np-1

即:u(k+Nc-1)=u(k+Nc)=…=u(k+Np-1)

其中,Np是預(yù)測時(shí)域，指系統(tǒng)控制過程中狀態(tài)量的預(yù)測步長;Nc是控制時(shí)域，指系統(tǒng)控制過程中控制量的預(yù)測步長,且Nc≤Np.

則在預(yù)測時(shí)域Np內(nèi)系統(tǒng)輸出量可用式(12)計(jì)算.

(12)

其中,

2.3 二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化

系統(tǒng)的控制增量是未知的,需要通過設(shè)計(jì)合理的目標(biāo)函數(shù)來進(jìn)行最優(yōu)求解,得到控制時(shí)域內(nèi)的控制序列.路徑跟蹤問題對于控制量變化要求較為嚴(yán)格,可以把控制增量作為目標(biāo)函數(shù)的狀態(tài)量,目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)為如式(13)的形式.

(13)

式中:第1項(xiàng)反映了系統(tǒng)對參考路徑的跟隨能力;第2項(xiàng)反映了對控制量平穩(wěn)變化的要求.qj和rj為權(quán)重矩陣Q和R中的權(quán)重因子.同時(shí),在實(shí)際控制過程中,需要滿足控制量和輸出量約束條件,如式(14),其中i=0,1,…Nc-1.

控制量約束：

umin(k+i)≤u(k+i)≤umax(k+i)

(14a)

控制增量約束：

Δumin(k+i)≤Δu(k+i)≤Δumax(k+i)

(14b)

輸出約束：

(14c)

式(14)形成了一個(gè)完整的約束條件表達(dá)式.由于系統(tǒng)是時(shí)變模型,并不能保證在每個(gè)時(shí)刻都能得到可行解.因此,在目標(biāo)函數(shù)中加入相應(yīng)的松弛因子,如式(15)所示.

(15)

式中:ρ為權(quán)重系數(shù);ε為松弛因子.

將式(11)代入目標(biāo)函數(shù)式(15),并設(shè)定預(yù)測時(shí)域內(nèi)的輸出量偏差如式(16).

(16)

經(jīng)過相應(yīng)的計(jì)算,可將優(yōu)化目標(biāo)調(diào)整如式(17).

(17)

其中,

又令：U(k)=[u(k),u(k+1),…u(k+Nc-1)]T

?Im

則:

U(k)=MΔu(k)+u(k-1)

(18)

模型預(yù)測控制在每一步的帶約束優(yōu)化求解問題都等價(jià)于求解如式(19)的二次規(guī)劃問題.

MinJ(ξ(k),u(k-1),ΔU(k))

(19)

在每個(gè)控制周期完成對式(19)的求解后,得到了控制時(shí)域內(nèi)的一系列控制輸入增量如式(20).

(20)

將該控制序列中第一個(gè)元素作為實(shí)際的控制輸入增量作用于系統(tǒng),如式(21)所示.

(21)

系統(tǒng)執(zhí)行這一控制量直到下一時(shí)刻.在新的時(shí)刻,系統(tǒng)根據(jù)狀態(tài)信息重新預(yù)測下一段時(shí)域的輸出,通過優(yōu)化過程得到一個(gè)新的控制增量序列.如此循環(huán)往復(fù),直至系統(tǒng)完成控制過程.

3 4WIS車輛路徑跟蹤控制器

3.1 平臺(tái)及模型參數(shù)

基于Matlab/Carsim建立4WIS動(dòng)力學(xué)模型,并進(jìn)行路徑跟蹤控制器設(shè)計(jì)如圖4所示,把LTV MPC算法以S函數(shù)形式進(jìn)行封裝,將所設(shè)計(jì)控制器用于雙移線工況的仿真驗(yàn)證.主要的車輛參數(shù)見表1.

表1 車輛模型參數(shù)

考慮式(10),求出4WIS動(dòng)力學(xué)模型中的參數(shù)A和B如下：

圖4 Matlab/Carsim聯(lián)合仿真模型

主要控制器參數(shù)設(shè)置如下:

umin=[-10°,-10°,-10°,-10°]T

umax=[10°,10°,10°,10°]T

Δumin=[-0.3°,-0.3°,-0.3°,-0.3°]T

Δumax=[0.3°,0.3°,0.3°,0.3°]T

雙移線路徑由參考的橫向位置Yref和參考的航向角φref構(gòu)成,具體路徑函數(shù)[7]如式(22)所示:

(22)

3.2 仿真分析

試驗(yàn)平臺(tái)中,控制對象為Carsim中的整車模型,實(shí)時(shí)輸出車輛的各個(gè)狀態(tài)量；MPC控制器結(jié)合預(yù)測模型、目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行最優(yōu)化求解,得到當(dāng)前時(shí)刻的最優(yōu)控制序列u*(t),輸入到被控平臺(tái).為了驗(yàn)證控制算法對路況和速度的魯棒性,以及研究控制參數(shù)對路徑跟蹤能力的影響,本文進(jìn)行了在不同路面、不同速度以及不同設(shè)計(jì)參數(shù)下雙移線跟蹤驗(yàn)證.

圖5為不同路況下以30 km·h-1的車速的路徑跟蹤結(jié)果,其中預(yù)測時(shí)域Np=25,控制時(shí)域Nc=10.根據(jù)圖5對比仿真結(jié)果可以看出,控制器對不同路面下的跟蹤效果都能保持較好的魯棒性.若附著條件變差(摩擦系數(shù)μ=0.2),則質(zhì)心側(cè)偏角具有較大的變化,會(huì)影響車輛行駛的穩(wěn)定性.控制系統(tǒng)能夠在不同附著條件下,較好地跟蹤期望路徑,但實(shí)際車輛在低附著路面(μ=0.2)上一定會(huì)打滑，分析原因?yàn)樵诮r(shí)考慮不同工況下各輪胎轉(zhuǎn)矩使車輛曲線勻速行駛,未考慮車輪打滑.因此可以考慮加入相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩控制，提高算法在工程上的適用性.

圖6是設(shè)置車輛分別以30、70、90 km·h-1的車速進(jìn)行雙移線路徑跟蹤,道路附著條件良好,預(yù)測時(shí)域Np=25,控制時(shí)域Nc=10.通過對比圖6中的橫向位移、橫擺角、橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角的變化可知,車速在30和70 km·h-1時(shí),橫向位移和橫擺角都能較好地跟蹤雙移線路徑;30 km·h-1時(shí)車輛的橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角都保持在較小的范圍內(nèi),而70 km·h-1時(shí)車速穩(wěn)定性不太好.另外,車速在90 km·h-1時(shí),在雙移線參考路徑的出口處,車輛不再沿參考路徑行駛,出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象.分析其原因,高速引起較大的側(cè)向加速度使得車輪側(cè)偏特性進(jìn)入非線性區(qū)域,控制算法無法計(jì)算出最優(yōu)控制量,產(chǎn)生非可行解.此種情況下,可以通過以下方法改善:

a 橫向位移

b 橫擺角

c 橫擺角速度

d 質(zhì)心側(cè)偏角

圖5 不同路況下仿真結(jié)果

Fig.5 Simulation results under different road conditions

a 橫向位移

b 橫擺角

c 橫擺角速度

d 質(zhì)心側(cè)偏角

圖6 不同車速下的仿真結(jié)果

Fig.6 Simulation results under different vehicle speeds

①不再單純通過四輪轉(zhuǎn)角作為輸入控制量,聯(lián)合直接橫擺力矩控制車輛橫擺角速度,實(shí)現(xiàn)高速時(shí)的路徑跟蹤;

②在二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化時(shí),加入質(zhì)心側(cè)偏角約束;

③經(jīng)仿真驗(yàn)證,在減小采樣時(shí)間T時(shí),同時(shí)提高可控車速,這也提高了對試驗(yàn)硬件的要求.

為了研究控制器參數(shù)設(shè)計(jì)對路徑跟蹤能力的影響,設(shè)定車輛以30 km·h-1的車速行駛在μ=0.8的良好路面上,在不同預(yù)測時(shí)域Np和不同控制時(shí)域Nc下對比仿真結(jié)果.

圖7為不同預(yù)測時(shí)域下的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)變化和仿真運(yùn)算時(shí)間.可以看出,Np=20、Np=30時(shí)車輛能較好地跟蹤期望路徑,行駛穩(wěn)定性也比較好;當(dāng)Np=5時(shí),在雙移線參考路徑的出口處,車輛不再沿參考路徑行駛,出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象.分析其原因,預(yù)測時(shí)域較小時(shí),控制器難以準(zhǔn)確預(yù)測未來的輸出,導(dǎo)致控制量出現(xiàn)非可行解;降低車速有利于提高路徑的跟蹤能力,這是符合駕駛員實(shí)際駕駛行為的.因此在路徑跟蹤問題中，預(yù)測時(shí)域的設(shè)定和車速有關(guān).經(jīng)仿真驗(yàn)證本算法應(yīng)用于車速30 km·h-1的工況時(shí),預(yù)測時(shí)域Np大于15才能保證行駛的穩(wěn)定性.

a 橫向位移

b 橫擺角

c 仿真時(shí)的運(yùn)算時(shí)間

對運(yùn)算時(shí)間積分,Np=5的運(yùn)算時(shí)間為19.89 s,Np=20的運(yùn)算時(shí)間為25.51 s,Np=30的運(yùn)算時(shí)間為41.08 s.預(yù)測時(shí)域的減小能明顯減小運(yùn)算時(shí)間,有助于提高控制器的實(shí)時(shí)性.

綜合上述分析,預(yù)測時(shí)域的減小會(huì)增大車輛轉(zhuǎn)向時(shí)的偏差,但實(shí)時(shí)性會(huì)明顯改善.穩(wěn)態(tài)行駛時(shí),較小的預(yù)測時(shí)域偏差較大,在雙移線出口處控制器會(huì)逐漸減小偏差直至收斂為零.因此,在控制器設(shè)計(jì)時(shí)需根據(jù)實(shí)時(shí)性和跟蹤精度選擇合適的預(yù)測時(shí)域.

之后,驗(yàn)證不同控制時(shí)域參數(shù)對控制器性能的影響.設(shè)定控制器的預(yù)測時(shí)域Np=25,分別驗(yàn)證控制時(shí)域Nc=5、10、20時(shí)的路徑跟蹤能力.圖8為不同控制時(shí)域Nc下的仿真結(jié)果,分析結(jié)果可知,控制時(shí)域?qū)?shí)時(shí)性影響不大;同時(shí),控制時(shí)域?qū)β窂礁櫮芰τ绊懖淮?這是因?yàn)轭A(yù)測算法通過求解滿足目標(biāo)函數(shù)以及各種約束的優(yōu)化問題,得到在控制時(shí)域內(nèi)一系列的控制序列,總是將該控制序列的第1個(gè)元素作為受控對象的實(shí)際控制量.

a 橫向位移

b 橫擺角

圖8 不同控制時(shí)域下的仿真結(jié)果

Fig.8 Simulation results under different control time domain

4 結(jié)論

(1) 4WIS車輛動(dòng)力學(xué)模型建立.車輛動(dòng)力學(xué)模型和輪胎模型是設(shè)計(jì)控制器的模型基礎(chǔ),以六自由度的四輪轉(zhuǎn)向車輛動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間描述模型作為預(yù)測模型,實(shí)現(xiàn)路徑跟蹤.非線性模型需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕稻S和簡化,使用小角度轉(zhuǎn)向時(shí)的特性來描述輪胎模型.

(2) 線性時(shí)變模型預(yù)測控制算法的研究.非線性模型和約束會(huì)大大增加模型預(yù)測控制問題的求解難度,在線實(shí)時(shí)求解較難實(shí)現(xiàn).推導(dǎo)了線性時(shí)變預(yù)測模型控制算法的公式,以及將LTV MPC最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為便于計(jì)算機(jī)求解的標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃問題. 基于此,設(shè)計(jì)了4WIS電動(dòng)汽車路徑跟蹤模型預(yù)測控制算法,并結(jié)合約束條件和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).

(3) 雙移線工況下路徑跟蹤控制算法的仿真驗(yàn)證和性能分析.利用Matlab/Carsim的聯(lián)合仿真,將LTV MPC算法以S函數(shù)形式進(jìn)行封裝,在Carsim里建立合適的整車模型,對算法進(jìn)行驗(yàn)證.通過對控制器在不同路況、不同車速、不同設(shè)計(jì)參數(shù)下的分析,驗(yàn)證了控制器在不同車速和不同附著系數(shù)下對路徑跟蹤的魯棒性,保證了車輛的穩(wěn)定行駛;并且分析了預(yù)測時(shí)域和控制時(shí)域?qū)刂破鞯臏?zhǔn)確性、實(shí)時(shí)性的影響.

(4) 算法約束優(yōu)化.設(shè)計(jì)的算法約束只有控制量、控制增量和輸出量的范圍,在實(shí)際仿真過程中可能會(huì)出現(xiàn)非可行解或使整車失穩(wěn)的控制量序列.因此,可以考慮加入軟約束或設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)約束(如質(zhì)心側(cè)偏角),使算法具有更廣泛的應(yīng)用性.