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導(dǎo)數(shù)有廣泛的應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的方法，是研究函數(shù)性質(zhì)，求函數(shù)最值，單調(diào)性，證明不等式以及求曲線斜率和解決一些物理問(wèn)題等簡(jiǎn)潔而有效的工具。在解決一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，在教學(xué)中應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用方面的問(wèn)題，學(xué)生往往很難找到切入點(diǎn)，從而使怎樣利用導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題成了學(xué)生學(xué)習(xí)掌握導(dǎo)數(shù)的“攔路虎”。新課標(biāo)下導(dǎo)數(shù)的教學(xué)仍是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。很多學(xué)生都抱怨導(dǎo)數(shù)公式太多，法則太亂，顧此失彼，以至于不知道導(dǎo)數(shù)有何作用。其實(shí)只要打好基礎(chǔ)，善于總結(jié)，仔細(xì)分析，了解并掌握導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用并不難，關(guān)鍵在于積累和總結(jié)。

筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作初步探究。

一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線問(wèn)題

在求過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)所作函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)曲線的切線方程時(shí)應(yīng)先判斷該點(diǎn)是否在曲線上。

1. 當(dāng)點(diǎn) P(x0，y0)在曲線上，即點(diǎn) P(x0，y0)為切點(diǎn)時(shí)，則切線方程為 y-y0=f′(x0)(x-x0).

2. 當(dāng)點(diǎn) P(x0，y0)不在曲線上時(shí)，則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，由先求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后進(jìn)一步求切線方程。

例 1.已知函數(shù) f(x)=x3+1，求曲線 y=f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(1，2)的切線方程.

注意：本題解法可進(jìn)行分類解決(分為點(diǎn)P是或不是切點(diǎn)這兩類情況)，也可采用如下解法。

解：由題意，設(shè)切點(diǎn)為(x0，f(x0))，即為，

則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)的切線方程為l:y-2=f′(x0)(x-1).

解得：x0=1或，∴f′(x0)=3 或，

即所求切線方程為3x-y-1=0或3x-4y+5=0.

二、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最基本性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)。用單調(diào)性的定義來(lái)處理單調(diào)性問(wèn)題需要有很強(qiáng)的技巧性，較難掌握好，而用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)便而且快捷。

只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)性，則能判斷函數(shù)的單調(diào)性。這種方法比傳統(tǒng)的“定義法”及“圖像法”更方便。

例2.已知f(x)=ex-ax-1。

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(3)是否存在 a 使 f(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞)上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由。

解：(1)∵f′(x)=ex-ax-1，∴f(x)=ex-ax-1，∴f′(x)=ex-a

令 f′(x)≥0，得 ex≥a，

當(dāng) a≤0 時(shí)，有 f′(x)＞0 在 R 上恒成立；當(dāng) a＞0 時(shí)，有 x≥ln a。

綜上情況，當(dāng) a≤0 時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，+∞)；當(dāng)a＞0 時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［ln a，+∞)。

(2)∵f(x)=ex-ax-1，∴f′(x)=ex-a，

∵f(x)在 R 上單調(diào)遞增，∴f′(x)=ex-a≥0（等號(hào)只能在有限個(gè)點(diǎn)處取得）恒成立，即ex≥a，x∈R恒成立。

∵x∈R 時(shí)，ex∈(0，+∞)，∴a≤0。

(3)由已知 f(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增可知，f(0)是f(x)的極值。

∴f′(0)=e0-a=0→a=1，∴ 存在 a=1 滿足條件。

三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值

最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。它涉及到高中數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，要解決這類問(wèn)題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑。用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，步驟清晰，學(xué)生也好掌握。應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個(gè)局部性概念，最值是某個(gè)區(qū)間的整體性概念。

例3.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2-4)(x-a).

求導(dǎo)數(shù) f′(x)。

若 f′(-1)=0，求 f(x)在[-2，2]上的極大值和極小值以及最大值和最小值。

解：由原式得 f(x)=x3-ax2-4x+4a，則 f′(x)=3x2-2ax-4

四、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式。

例 4.求證：ex＞1+x(x＞0)

證明：令 f(x)=ex-1-x，則 f′(x)=ex-1＞0

∴f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

當(dāng) x＞0 時(shí)，f(x)＞f(0)=0，即 ex＞1+x(x＞0)

五、利用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)。如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0，此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)比較，也可以知道這就是最大(小)值。

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用非常方便。導(dǎo)數(shù)可用于解決函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等，因此能幫我們較為明確函數(shù)圖像的基本動(dòng)態(tài)。在利用導(dǎo)數(shù)解題過(guò)程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，善于歸納總結(jié)，認(rèn)真分析，了解導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)在哪方面的應(yīng)用，解題時(shí)自然得心應(yīng)手。希望通過(guò)以上對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的探討，能進(jìn)一步幫助有需要的學(xué)生加深對(duì)函數(shù)的理解和直觀認(rèn)識(shí)，并能更好地利用導(dǎo)數(shù)解題。