張理想 李亞瓊

摘 要 基于擴(kuò)展的隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型，研究了區(qū)域生產(chǎn)效率的差異和其影響因素的作用效果，應(yīng)用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法對(duì)中國(guó)各省份2010-2017的年度數(shù)據(jù)（不包含港澳臺(tái)地區(qū)，下同）進(jìn)行了實(shí)證研究.研究發(fā)現(xiàn)：生產(chǎn)效率總體呈逐漸下降的趨勢(shì)，地區(qū)間生產(chǎn)效率有一定的差異，高等教育規(guī)模對(duì)生產(chǎn)效率具有顯著的直接影響.人力資本能有效促進(jìn)東部和中部地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，西部地區(qū)主要依靠資本促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng).環(huán)境污染對(duì)中部地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具有一定的負(fù)向作用.

關(guān)鍵詞 數(shù)理統(tǒng)計(jì);隨機(jī)前沿模型;貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷;生產(chǎn)效率分析;Gibbs算法

中圖分類號(hào) O212 ???????????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

Bayesian Statistical Inference on the Efficiency

of Stochastic Frontier Model for Chinese Economy

ZHANG Lixiang1， LI Yaqiong1*，MA Raoqing2

（1.College of Mathematics and Econometrics， Hunan University， Changsha， Hunan 410082， China;

2.King's College London， London，? SE5 9RJ，England）

Abstract Based on the extended stochastic production frontier model， the difference of regional production efficiency and the effect of its influencing factors were studied， and then the annual data of various provinces in China from 2010 to 2017 were used to conduct an empirical research by using Bayesian statistical method. Through the research， it is found that the production efficiency shows a trend of gradual decline generally， and there are certain differences in the production efficiency between regions. The scale of higher education has a significant direct impact on the production efficiency. Human capital can effectively promote economic growth in the eastern and central regions， while the western region mainly relies on capital to promote economic growth. Environmental pollution has a significant negative impact on the economic growth of the central region.

Key words mathematical statistics; stochastic frontier model; Bayesian statistical inference; production efficiency analysis; Gibbs algorithm

1 引 言

經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)是國(guó)家的基本經(jīng)濟(jì)目標(biāo)之一，已有大量學(xué)者從不同的角度對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的動(dòng)力源進(jìn)行了討論.很多研究者認(rèn)為全要素生產(chǎn)率才是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的核心，并對(duì)其進(jìn)行測(cè)量和分解.生產(chǎn)效率作為全要素生產(chǎn)率的一部分，是度量生產(chǎn)有效性的重要指標(biāo)，用來(lái)衡量生產(chǎn)者在投入等量生產(chǎn)要素的條件下，實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出（生產(chǎn)前沿）的比率.對(duì)生產(chǎn)效率的

度量和其影響因素的研究，可以測(cè)量生產(chǎn)行為無(wú)效性的程度和分析無(wú)效的原因，進(jìn)而對(duì)中國(guó)的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)提出合適的改進(jìn)對(duì)策，以提高資源利用率，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)高效綠色可持續(xù)發(fā)展.

關(guān)于中國(guó)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)效率及其影響因素的研究，相關(guān)學(xué)者已取得了一定的成果.Li和Xu（2014）[1]基于隨機(jī)前沿分析方法測(cè)量了中國(guó)1996-2010年間各?。ㄎ窗郯呐_(tái)，下同）的生產(chǎn)效率，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)效率呈下降趨勢(shì)，區(qū)域差異顯著.陳超凡（2016）[2]采用非參數(shù)模型和ML指數(shù)分解方法得出技術(shù)水平的提高和產(chǎn)權(quán)結(jié)構(gòu)的合理化有利于全要素生產(chǎn)率的提高，而能源結(jié)構(gòu)的不合理則不利于綠色全要素生產(chǎn)率的增長(zhǎng).Li和Zhang（2017）[3]通過(guò)面板tobit模型的實(shí)證分析發(fā)現(xiàn)區(qū)域一體化對(duì)效率的促進(jìn)作用具有區(qū)域異質(zhì)性.

在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)中，教育的地位不容忽視.徐長(zhǎng)青（2017）[4]通過(guò)拓展的生產(chǎn)函數(shù)和多變量VAR模型對(duì)中國(guó)教育公平和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)短期內(nèi)教育公平對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具有反向作用，長(zhǎng)期內(nèi)教育公平對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具有顯著的積極作用.秦勇和王孝坤（2017）[5]利用固定效應(yīng)模型和逐漸添加變量的估計(jì)方法，發(fā)現(xiàn)高等教育規(guī)模對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)有著正向的滯后影響.Johansen和Arano（2016）[6]實(shí)證研究了區(qū)域大學(xué)機(jī)構(gòu)對(duì)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，認(rèn)為高等教育機(jī)構(gòu)的主要貢獻(xiàn)之一是人力資本.

另外，環(huán)境污染對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響也是不可忽視的，故將人均受教育年限、環(huán)境污染量和高等教育規(guī)?？紤]到經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)之中.

隨機(jī)前沿模型是研究生產(chǎn)效率的有效工具.Koop等（1997）[7]提出了固定效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)模型，實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)超參數(shù)發(fā)生巨大變化時(shí)，隨機(jī)效應(yīng)模型結(jié)果也表現(xiàn)出穩(wěn)定性.Koop等（2000）[8]采用擴(kuò)展的隨機(jī)前沿模型對(duì)不同國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)源進(jìn)行實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)自由度越高，生產(chǎn)效率越高.對(duì)于生產(chǎn)函數(shù)的選取，樊綱和王小魯（2011）[9]基于C-D生產(chǎn)函數(shù)，在傳統(tǒng)兩要素生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上加入了人均受教育年限要素，研究了中國(guó)市場(chǎng)化進(jìn)程對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.關(guān)于面板數(shù)據(jù)的組合誤差隨機(jī)前沿模型的計(jì)算問(wèn)題，Osiewalski和Steel（1998）[10]提出了現(xiàn)代數(shù)值積分方法，通過(guò)理論分析和實(shí)證研究表明：Gibbs抽樣方法可以大大減少模型后驗(yàn)推斷中所涉及的計(jì)算困難.Tsionas（2000）[11]通過(guò)對(duì)非效率項(xiàng)為伽瑪分布的隨機(jī)前沿模型的研究，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)充數(shù)據(jù)的吉布斯抽樣對(duì)模型后驗(yàn)分布的探索、模型參數(shù)和非效率的相關(guān)函數(shù)的推斷都有效.

綜上所述，對(duì)于區(qū)域經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)效率的研究，主要側(cè)重于生產(chǎn)效率的測(cè)量和其變化趨勢(shì)及區(qū)域差異的分析，對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)效率的影響因素的研究并不多.多數(shù)研究是基于非參數(shù)模型以及ML指數(shù)分解方法對(duì)全要素生產(chǎn)率進(jìn)行分解，間接研究了城市化率、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)設(shè)施水平等因素對(duì)生產(chǎn)效率的影響，并采用最大似然方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì).由Fernandez[12]提出的變效率分布模型是隨機(jī)效應(yīng)模型的一種情況，其非效率分布的均值依賴于一些外部因素，在研究生產(chǎn)效率影響因素方面，該模型更加靈活.

鑒于以上分析，基于C-D生產(chǎn)函數(shù)，在傳統(tǒng)兩要素生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上加入人均受教育年限和環(huán)境污染量要素作為研究的生產(chǎn)函數(shù)，并采用Wang[13]提出的變效率分布的隨機(jī)前沿模型，將高等教育規(guī)模加入到非效率的分布中.利用Gibbs抽樣方法做數(shù)值模擬，對(duì)模型參數(shù)和非效率進(jìn)行后驗(yàn)推斷，進(jìn)一步分析中國(guó)區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和生產(chǎn)效率的地區(qū)差異以及高等教育規(guī)模對(duì)生產(chǎn)效率的直接影響效果，進(jìn)而對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)的發(fā)展給出合理而有效的政策性建議，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)綠色高效可持續(xù)發(fā)展.最后，基于2010-2017年的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出，對(duì)2019年三大區(qū)域的實(shí)際GDP做預(yù)測(cè)分析.

文章結(jié)構(gòu)如下：第二部分為模型設(shè)定和統(tǒng)計(jì)推斷，選擇合適的隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型、參數(shù)先驗(yàn)和貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷技術(shù).第三部分是數(shù)據(jù)選取和生產(chǎn)變量的衡量.第四部分為實(shí)證結(jié)果，分析2010-2017年間隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果和生產(chǎn)效率的變化趨勢(shì)、區(qū)域差異及高等教育規(guī)模的影響效果，并預(yù)測(cè)2019年三大區(qū)域平均一個(gè)省的實(shí)際GDP產(chǎn)出的范圍.最后為結(jié)論部分.

2 模型設(shè)定和統(tǒng)計(jì)推斷

根據(jù)Koop和Osiewalski給出的隨機(jī)前沿模型，即

yit=hxit;β-zit+εit.?? （1）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，yit和xit分別是第i個(gè)個(gè)體在t時(shí)刻的產(chǎn)出量和投入向量的自然對(duì)數(shù)，h（·）是一個(gè)未知生產(chǎn)函數(shù)，β=β0，β1，…，βk-1′是一個(gè)k維的參數(shù)向量，定義生產(chǎn)前沿的確定部分，εit是測(cè)量誤差，zit稱為非效率，是一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，則生產(chǎn)效率τit=exp -zit.

根據(jù)引言部分的分析，該研究的生產(chǎn)函數(shù)為

hit=β0+β1kit+β2lit+β3eit+β4sit+εit.???? （2）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，hit為未知函數(shù)，β1，β2，β3，β4分別是資本、勞動(dòng)力、人均受教育水平和環(huán)境污染量對(duì)產(chǎn)出的彈性系數(shù)，β0是截距項(xiàng)，kit，lit，eit，sit分別是第i個(gè)個(gè)體在t時(shí)刻的資本、勞動(dòng)力、人均受教育水平和環(huán)境污染量的自然對(duì)數(shù)，εit代表測(cè)量誤差.由式（1）和式（2）聯(lián)立，可得擴(kuò)展的隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型，即

yit=xitβ-zit+εit.??? （3）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，xit=（1，kit，lit，eit，sit）.

該模型滿足一般假設(shè)：εit服從一個(gè)均值為0，方差為h-1的正態(tài)分布，即εit～N0，h-1;εit和zit相互獨(dú)立，對(duì)于i=1，…，N，t=1，…，T.從而可得似然函數(shù)

py|β，h，z=∏Ni=1∏Tt=1h2π12

exp -h2yit-xitβ+zit′yit-xitβ+zit.? ??（4）

其中，h是誤差精度，y=（y11，…，y1T，…，yN1，…，yNT）′和z=（z11，…，z1T，…，zN1，…，zNT）′都是一個(gè)NT維的向量.

2.1 先 驗(yàn)

參考Koop和Osiewalski提出的變效率分布方式，第一層是均值為λit，自由度為2的伽瑪分布，即

zit～Gλit，2.（5）

其中，i=1，…，N，t=1，…，T，λit=∏mj=1φ-ωit，jj，Ga，b表示均值為a，自由度為b的伽瑪分布的密度函數(shù).未知參數(shù)φj>0j=1，…，m，ωit，j（j=1，…，m）是可能影響生產(chǎn)效率的解釋變量，且滿足ωit，1=1（i=1，…，N，t=1，…，T），φ=（φ1，…，φm）′.

第二層先驗(yàn)，即參數(shù)φ的先驗(yàn)為

φj～Ggj，vφj.（6）

其中，j=1，…，m， 即φ′js的先驗(yàn)是相互獨(dú)立的伽瑪分布.

另外，對(duì)參數(shù)β和h分別采用相互獨(dú)立的正態(tài)—伽瑪先驗(yàn)和共軛先驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，即

β～Nμ，Σ，h～Gs-2，v，???? （7）

β～Nμ，Σh-1，h～Gs-2，v.?????? （8）

其中，μ=μ0，…μ4′是一個(gè)5維的向量，Σ是一個(gè)對(duì)角線上元素為Σ0，…，Σ4，其他元素為0的對(duì)角陣.由先驗(yàn)（7）、（8）可知參數(shù)β，h，z，φ的聯(lián)合先驗(yàn)為分別為

pβ，h，z，φ∝hv-22∏Ni=1∏Tt=1λ-1it∏mj=1φvφj-22jexp -12（β-μ）′Σ-1（β-μ）+hvs2+∑mj=1φjvφjg-1j-∑Ni=1∑Tt=1λ-1itzit，?? （9）

pβ，h，z，φ∝hv-12∏Ni=1∏Tt=1λ-1it∏mj=1φvφj-22jexp -h2（β-μ）′Σ-1（β-μ）+vs2+h-1∑mj=1φjvφjg-1j-∑Ni=1∑Tt=1λ-1itzit.? （10）

根據(jù)規(guī)模效益不變的經(jīng)濟(jì)規(guī)則，滿足β1+β2=1，故令先驗(yàn)參數(shù)μ1=μ2=0.5，Σ1=Σ2=0.25，即信息先驗(yàn).另外，取μ1=0.25，μ2=0.75時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果不變.由于人均受教育年限和環(huán)境污染量對(duì)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的貢獻(xiàn)度不明確，故設(shè)定相應(yīng)的先驗(yàn)參數(shù)為相對(duì)無(wú)信息先驗(yàn)，令μ0=μ3=μ4=0，Σ0=Σ3=Σ4=100.對(duì)于h，令v=0，為無(wú)信息先驗(yàn)，可以得到合適的后驗(yàn)（見(jiàn)Fernandez（2004）），且s-2=10，20，25時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果基本不變.參考Koop和Osiewalski的做法，令非效率參數(shù)vφj=2j=1，…，m，g1=-ln τ*，gj=1（j=2，…，m），其中τ*∈0，1稱為先驗(yàn)平均效率.由于不確定ωit，j（j=2，…，m）對(duì)生產(chǎn)效率是否有影響，從而對(duì)φ=φ1，…，φm′設(shè)定一個(gè)相對(duì)無(wú)信息先驗(yàn).取τ*=0.85，且在區(qū)間[0.7，0.9]內(nèi)取值時(shí)，效率均值相對(duì)穩(wěn)定.當(dāng)φ2，…，φm的值為1時(shí)，其相應(yīng)的解釋變量對(duì)生產(chǎn)效率沒(méi)有影響.

2.2 后 驗(yàn)

根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，由似然函數(shù)和式（9）的聯(lián)合先驗(yàn)可得模型參數(shù)β，h，z，φ的聯(lián)合后驗(yàn)，即

pβ，h，z，φ|y∝hNT+v-22∏mj=1φvφj-22j∏Ni=1∏Tt=1λ-1itexp -h2∑Ni=1∑Tt=1yit-xitβ+zit′yit-xitβ+zit

+vs2+h-1（β-μ）′Σ-1（β-μ）+h-1∑mj=1φjvφjg-1j-∑Ni=1∑Tt=1λ-1itzit.??? （11）

由此，得到參數(shù)β的條件后驗(yàn)

β|y，h，z，φ～

N∑-1μ+h∑Ni=1∑Tt=1x′it（yit+zit），. （12）

其中，=（∑-1+h∑Ni=1∑Tt=1x′itxit）-1.h的條件后驗(yàn)為

h|y，β，z，φ～G（（NT+v）

（∑Ni=1∑Tt=1（yit-xitβ+zit）′（yit-xitβ+zit）

+vs2）-1，NT+v），（13）

則zit（i=1，…，N，t=1，…，T）的條件后驗(yàn)為截?cái)嗟恼龖B(tài)分布，即

pzit|yit，β，h，φ

=fNzit|xitβ-yit-（hλit）-1，h-1Izit≥0?? ??（14）

其中，fN·|A，B表示均值為A，方差為B的正態(tài)分布的密度函數(shù).

最后，φjj=1，…，m的條件后驗(yàn)為

φj|y，β，h，z，（-j）～G（（2∑Ni=1∑Tt=1ωit，j+vφj）

（2∑Ni=1∑Tt=1ωit，jφ（-j）zit+vφjg-1j）-1，

2∑Ni=1∑Tt=1ωit，j+vφj）.?? （15）

其中，（-j）=（φ1，…，φj-1，φj+1，…，φm），φ（-r）=∏mj≠rφωit，jj，r=1，…，m，ωit，j是虛擬變量.

同理，由似然函數(shù)和式（10）的聯(lián)合先驗(yàn)得到的各參數(shù)的條件后驗(yàn)，除β和h外，其他參數(shù)的條件后驗(yàn)不變，則

β|y，h，z，φ～N（[Σ-1μ+∑Ni=1∑Tt=1x′it（yit+zit）]，h-1）.?? （16）

其中，=Σ-1+∑Ni=1∑Tt=1x′itxit-1.

h|y，β，z，φ～G（（∑Ni=1∑Tt=1（yit-xitβ+zit）′（yit-xitβ+zit）+（β-μ）′Σ-1（β-μ）+vs2）-1，）， （17）

其中，=NT+v.

由以上可知，每個(gè)未知參數(shù)在其他參數(shù)的條件后驗(yàn)下都是經(jīng)典分布.因此，可采用Gibbs算法完成數(shù)值模擬，算法過(guò)程如下：

第一步：選擇參數(shù)的初始值β（0），h（0），z（0），φ（0）;

第二步：從正態(tài)分布p（β|y，h（s-1），z（s-1），φ（s-1））中抽取β（s）;

第三步：從伽瑪分布p（h|y，β（s），z（s-1），φ（s-1））中抽取h（s）;

第四步：從正態(tài)分布p（z|y，β（s），h（s），φ（s-1））中抽取z（s）;

第五步：從伽瑪分布p（φj|y，β（s），h（s），z（s），φ（s）1，…，φ（s）j-1，φ（s-1）j+1，…，φ（s-1）m中抽取φ（s）j，j=1，…，m.

重復(fù)上面的步驟，直至抽取S次，從而得到一列樣本β（s），h（s），z（s），φ（s），s=1，…，S.為了消除參數(shù)初始值的影響，丟掉前S0個(gè)樣本，根據(jù)弱大數(shù)定律，用剩下S1個(gè)樣本對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行后驗(yàn)推斷，且S=S0+S1.

3 數(shù) 據(jù)

選取2010-2017年間全國(guó)31個(gè)省、自治區(qū)和直轄市（不包括港、澳、臺(tái)，下同）的面板數(shù)據(jù)，包括GDP、固定資本存量、年末就業(yè)人數(shù)、二氧化硫排放量和文盲、小學(xué)、初中、高中、大專及以上學(xué)歷的人數(shù)，以及高等教育畢業(yè)生人數(shù)和地區(qū)總?cè)丝谶M(jìn)行實(shí)證研究，這些數(shù)據(jù)均來(lái)自于時(shí)間段內(nèi)的《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》和地區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒等.另外，采用回歸分析方法預(yù)測(cè)2019年生產(chǎn)投入要素的數(shù)據(jù).由觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)水平、資本、勞動(dòng)力數(shù)量和質(zhì)量、環(huán)境污染量和高等教育規(guī)模變量進(jìn)行衡量，具體做法如下.

經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)水平用GDP來(lái)衡量，并將2007年作為基年，用不變價(jià)格的方法對(duì)名義GDP進(jìn)行調(diào)整，消除價(jià)格因素.用固定資本存量來(lái)度量生產(chǎn)過(guò)程中的資本投入（狹隘物質(zhì)資本的定義），并采用永續(xù)盤(pán)存方法，以1952年為基期，以1990年價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，估計(jì)各省市的年均固定資本存量.參照樊綱和王小魯（2011）[9]的做法，將各省的年末就業(yè)人數(shù)和人均受教育年限分別作為人力資本的數(shù)量和質(zhì)量指標(biāo).環(huán)境污染的度量方式有很多，為了保證研究的可靠性，將各地區(qū)二氧化硫的排放量作為環(huán)境污染的代理指標(biāo).以上變量作為生產(chǎn)的投入要素.另外，參照秦勇和王孝坤（2017）[5]的做法，以高等教育畢業(yè)生人數(shù)占地區(qū)總?cè)丝诘谋戎刈鳛楦叩冉逃?guī)模的衡量指標(biāo).經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和高等教育規(guī)?？赡艽嬖陔p向關(guān)系（Wang（2011）[13]），故采用滯后一期的高等教育規(guī)模進(jìn)行研究.

4 實(shí)證結(jié)果與分析

4.1 模型比較和先驗(yàn)的靈敏度分析

為了保證推斷結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用Brooks和Gelman（1998）[14]給出的BGR診斷方法對(duì)MCMC進(jìn)行收斂診斷.首先賦予參數(shù)β，h，z，φ三個(gè)不同的初始值.

第一個(gè)初始值：β=[-2.97，0.50，0.53，1.54，-0.06]，h=18，φ1=-ln （0.85），φj=1（j=2，…，m）;

第二個(gè)初始值：β=[1，0.40，0.60，2.00，0.00]，h=10，φ1=-ln （0.80），φj=1.2（j=2，…，m）;

第三個(gè)初始值：β=[0，0.60，0.40，1.00，-0.10]，h=30，φ1=-ln （0.90），φj=0.8（j=2，…，m）.

由OpenBUGS軟件得到各參數(shù)的BGR診斷圖，圖1給出了部分參數(shù)的收斂診斷圖.

模型參數(shù)φ1和φ2分別是非效率分布中的常量和高等教育規(guī)模對(duì)應(yīng)的系數(shù).表1給出了各模型參數(shù)的均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（SD）和數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)誤差（NSE），其中數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)誤差反映了樣本平均值相對(duì)于總體平均值的差異程度，體現(xiàn)抽樣誤差的大小.模型1和模型3都是基于β和h相互獨(dú)立的正態(tài)伽瑪先驗(yàn)推斷的結(jié)果，且模型1只有資本和勞動(dòng)力兩種投入，模型2是基于β和h的共軛先驗(yàn)推斷的后驗(yàn)結(jié)果.模型3和模型1相比，其偏差信息標(biāo)準(zhǔn)（DIC）的值更小.另外，模型2 和模型3的后驗(yàn)推斷結(jié)果相差很小，故參數(shù)β和h的先驗(yàn)選取是相對(duì)穩(wěn)定的.β4、β5和φ2的95%的最大后驗(yàn)置信區(qū)間表明：人均受教育年限、環(huán)境污染和高等教育規(guī)模因素的影響都是顯著的，說(shuō)明了模型3的合理性及增加因素的有效性.

觀察模型3的推斷結(jié)果，發(fā)現(xiàn)資本和勞動(dòng)力的產(chǎn)出彈性均值之和約為1，說(shuō)明我國(guó)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)正好處于規(guī)模報(bào)酬不變的階段，資本和勞動(dòng)力對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)度基本相當(dāng).模型1與相比，資本產(chǎn)出彈性均值下降了17 個(gè)百分點(diǎn)，勞動(dòng)力產(chǎn)出增加了9個(gè)百分點(diǎn)，且人均受教育水平的產(chǎn)出彈性均值為1.409，說(shuō)明傳統(tǒng)的兩要素生產(chǎn)函數(shù)模型高估了資本的產(chǎn)出彈性，人力資本才是有效促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的重要因素.環(huán)境污染顯然對(duì)經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)具有負(fù)向影響.高等教育規(guī)模95%的置信區(qū)間在1的右邊，表明它對(duì)生產(chǎn)效率的直接影響是顯著的.

4.2 三大地區(qū)的模型結(jié)果分析

根據(jù)4.1的分析，基于模型3分別采用東中西三大地區(qū)的生產(chǎn)數(shù)據(jù)，丟掉前8000個(gè)樣本，再取30000個(gè)樣本對(duì)模型參數(shù)和效率進(jìn)行后驗(yàn)推斷，推斷結(jié)果見(jiàn)表2.

表2給出了模型參數(shù)的均值（Mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（SD）、數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)誤差（NSE）和95%的最大后驗(yàn)置信區(qū)間.由均值一列容易看出各生產(chǎn)要素對(duì)三個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)度不一樣.

結(jié)合表1分析，與全國(guó)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)情況不同，東部地區(qū)和中部地區(qū)的勞動(dòng)力產(chǎn)出彈性均值高于資本產(chǎn)出彈性均值，屬于勞動(dòng)力拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)型.西部地區(qū)與全國(guó)的增長(zhǎng)型相似.東部地區(qū)的人均受教育水平的產(chǎn)出彈性均值為1.78，顯著高于全國(guó)水平，且東部和中部地區(qū)的人力資本產(chǎn)出彈性均值（β3+β4）遠(yuǎn)大于資本的產(chǎn)出彈性均值，故人力資本對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)起到重要作用.西部地區(qū)的人均受教育水平的產(chǎn)出彈性均值只有0.37，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于全國(guó)水平，資本在西部地區(qū)的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)中占主要地位.由β5的置信區(qū)間可以看出，二氧化硫的排放量對(duì)東部和西部地區(qū)的影響不明確，對(duì)中部地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)具有負(fù)向影響.另外，φ2顯著不為1，故高等教育規(guī)模會(huì)直接影響三地區(qū)的生產(chǎn)效率水平，但影響程度有所不同.

4.3 生產(chǎn)效率分析

基于上述隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型，分別對(duì)三大地區(qū)各省市的生產(chǎn)效率進(jìn)行后驗(yàn)推斷，結(jié)果見(jiàn)表3.

表3給出了三大地區(qū)各省市生產(chǎn)效率的后驗(yàn)推斷結(jié)果.由均值一列可知，中部地區(qū)的生產(chǎn)效率都在0.8以上，平均生產(chǎn)效率最高，西部次之，東部最低，三大地區(qū)間的生產(chǎn)效率有一定的差異.整體來(lái)看，各省份的生產(chǎn)效率基本都在0.7 以上，只有海南省和河北省的生產(chǎn)效率最低，分別為0.564和0.690，而東部地區(qū)的上海和廣東，西部地區(qū)的重慶和四川以及中部地區(qū)的黑龍江和湖北的平均生產(chǎn)效率都在0.9以上，各省市的平均生產(chǎn)效率存在一定的差異.研究期內(nèi)生產(chǎn)效率的變化趨勢(shì)為：全國(guó)生產(chǎn)效率從2010年到2011年有所上升，之后逐漸下降.東部和西部地區(qū)的變化趨勢(shì)與之一致，但中部地區(qū)的生產(chǎn)效率從2010年一直到2015年都是緩慢上升，之后呈緩慢下降的趨勢(shì).

4.4 預(yù)測(cè)

對(duì)區(qū)域經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)的具體做法如下.

假設(shè)第i個(gè)被解釋變量的T個(gè)時(shí)間點(diǎn)的未觀測(cè)值為y*i=（y*i1，…，y*iT），i=1，…，N，則滿足

y*i=x*iβ-zi+ε*i.??? （18）

其中，ε*i與εi相互獨(dú)立，且ε*i～N（0，h-1IT），x*i是一個(gè)T×k的矩陣，對(duì)于第i個(gè)個(gè)體在每個(gè)時(shí)刻的產(chǎn)出點(diǎn)都包含k個(gè)解釋變量，非效率zi=（zi1，…，ziT）′是一個(gè)T維的向量.對(duì)于感興趣的函數(shù)g（·），有

E[g（y*（s）|y）]=1S1∑Ss=S0+1g（y*（s））（19）

其中，y*=（y*1，…，y*N）.

樣本的獲取方法如下：首先，基于公式（12）-（15）利用Gibbs抽樣得到樣本β（s），h（s），z（s），φ（s）;其次，將這些樣本代入正態(tài)分布p（y|y，β（s），h（s），z（s），φ（s））中;最后，從這個(gè)正態(tài)分布中獲得樣本y*（s）.

根據(jù)上面的數(shù)值模擬方法，分別取S1=20000，30000和40000進(jìn)行后驗(yàn)推斷，表4給出了三大地區(qū)平均一個(gè)省（直轄市）2019年度的實(shí)際GDP預(yù)測(cè)結(jié)果.均值和中位數(shù)（Median）給出了2019年GDP的點(diǎn)估計(jì)值，95%的最大后驗(yàn)置信區(qū)間則展現(xiàn)了2019年GDP的一個(gè)可能范圍.由NSE的值可知，隨著樣本量的增加，數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)誤差會(huì)逐漸的減小.當(dāng)樣本量增加到40000時(shí)，后驗(yàn)估計(jì)結(jié)果與30000個(gè)樣本的后驗(yàn)估計(jì)結(jié)果相近，且NSE值相對(duì)變化不大，估計(jì)結(jié)果趨于穩(wěn)定.三地區(qū)的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出差距仍然較大，但從2011年以來(lái)，三地區(qū)的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出差距有逐漸減小的趨勢(shì).

5 結(jié) 論

應(yīng)用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法和Gibbs抽樣算法對(duì)擴(kuò)展的隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型參數(shù)進(jìn)行了后驗(yàn)推斷，得到了全國(guó)和各地區(qū)的生產(chǎn)效率，接著分析了地區(qū)生產(chǎn)效率的差異和各生產(chǎn)要素對(duì)地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)及其生產(chǎn)效率的影響.通過(guò)實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論.

我國(guó)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)正處于規(guī)模報(bào)酬不變的階段.人力資本，特別是勞動(dòng)力質(zhì)量是拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的重要因素.環(huán)境污染對(duì)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)具有負(fù)向影響.高等教育規(guī)模對(duì)生產(chǎn)效率具有顯著的直接影響.

東部和中部地區(qū)是勞動(dòng)力促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，而西部地區(qū)主要還是依靠資本促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng).相對(duì)于資本和勞動(dòng)力，人均受教育水平很大程度上促進(jìn)了東部和中部地區(qū)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng).環(huán)境污染（以二氧化硫的排放量作為環(huán)境污染量的指標(biāo)）對(duì)中部地區(qū)具有顯著的負(fù)向影響，而對(duì)東部和西部地區(qū)的影響效果不確定.

從2010年到2011年全國(guó)生產(chǎn)效率有所上升，之后逐漸下降，東部和西部地區(qū)與全國(guó)變化一致，而中部地區(qū)的生產(chǎn)效率緩慢上升到2015年之后出現(xiàn)緩慢下降的趨勢(shì).對(duì)于各區(qū)域的平均生產(chǎn)效率，中部地區(qū)為最高，西部次之，東部最低，三大地區(qū)間的平均生產(chǎn)效率有一定的差異.人均受教育水平和環(huán)境污染可能會(huì)通過(guò)改變經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出（生產(chǎn)前沿面）而間接地影響生產(chǎn)效率.高等教育規(guī)模對(duì)生產(chǎn)效率的直接影響顯著，且對(duì)三地區(qū)生產(chǎn)效率的影響程度有所不同.最后，利用Gibbs抽樣和蒙特卡洛積分對(duì)2019年度三大地區(qū)平均一個(gè)省（直轄市）的實(shí)際GDP進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析，發(fā)現(xiàn)三地區(qū)的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出差距仍然很大.

根據(jù)實(shí)證研究結(jié)果，在現(xiàn)階段，對(duì)東部和中部地區(qū)應(yīng)提高人均受教育水平，控制污染.對(duì)西部地區(qū)，在控制污染的同時(shí)，加大資本投入，這樣可以均衡的提高各區(qū)域的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng).

未來(lái)進(jìn)一步的研究工作可能包括如下幾個(gè)方面.變換環(huán)境污染量的指標(biāo)，例如CO2和COD，進(jìn)一步考察環(huán)境污染量對(duì)各地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的影響.對(duì)科技創(chuàng)新指標(biāo)進(jìn)行量化，研究其對(duì)生產(chǎn)效率的影響.在時(shí)變隨機(jī)生產(chǎn)前沿模型下，對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和生產(chǎn)效率進(jìn)行研究.

參考文獻(xiàn)

[1] LI C Y， XU? Z， WANG? H Y， et al. An estimation of the regional disparities in technical efficiency in China： An analysis based on stochastic frontier model[C]// International Conference on Management Science and Engineering. IEEE， 2014：1732-1737.

[2] 陳超凡. 中國(guó)工業(yè)綠色全要素生產(chǎn)率及其影響因素——基于ML生產(chǎn)率指數(shù)及動(dòng)態(tài)面板模型的實(shí)證研究[J]. 統(tǒng)計(jì)研究，2016，33（03）：53-62.

[3] LI? X S， ZHANG? Y D， SONG? B W. Does regional integration promote the efficiency of economic growth？ an empirical analysis of the Yangtze River Economic Belt[J]. China Population， Resources and Environment， 2017， 27（1）：10-19.

[4] 許長(zhǎng)青， 周麗萍.教育公平與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系研究——基于中國(guó)1978-2014年數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)分析[J]. 經(jīng)濟(jì)問(wèn)題探索， 2017（10）：28-40.

[5] 秦永， 王孝坤. 高等教育規(guī)模擴(kuò)張與中國(guó)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)——來(lái)自省級(jí)面板數(shù)據(jù)的證據(jù)[J]. 宏觀質(zhì)量研究，2017，5（03）：49-61.

[6] JOHANSEN? T， ARANO? K. The Long-Run Economic Impact of an Institution of Higher Education： Estimating the Human Capital Contribution [J]. Economic Development Quarterly the Journal of American Economic Revitalization， 2016， 30（3）： 203-214.

[7] KOOP? G， OSIEWALSKI? J， STEEL? M F J. Bayesian efficiency analysis through individual effects： Hospital cost frontiers [J]. Journal of Econometrics， 1997， 76（1-2）：77-105.

[8] KOOP? G， OSIEWALSKI? J， STEEL?? M F J. Modeling the Sources of Output Growth in a Panel of Countries [J]. Journal of Business and Economic Statistics， 2000， 18（3）：284-299.

[9] 樊綱， 王小魯， 馬光榮. 中國(guó)市場(chǎng)化進(jìn)程對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)[J]. 經(jīng)濟(jì)研究， 2011（9）：4-16.

[10]OSIEWALSKI? J， STEEL? M F J. Numerical Tools for the Bayesian Analysis of Stochastic Frontier Models [J]. Journal of Productivity Analysis， 1998， 10（1）：103-117.

[11]TSIONAS? E. Full Likelihood Inference in Normal-Gamma Stochastic Frontier Models [J]. Journal of Productivity Analysis， 2000， 13（3）：183-205.

[12]FERNANDEZ? C， OSIEWALSKI? J， STEEL? M F J. On the use of panel data in stochastic Frontier models with improper priors [J]. Social Science Electronic Publishing，2004， 79（1）：169-193.

[13]WANG? X. Chinas higher education expansion and the task of economic revitalization [J]. Higher Education， 2011， 62（2）：213-229.

[14]BROOKS? S P， GELMAN? A. General methods for monitoring convergence of iterative simulations. Journal of Computational and Graphical Statistics [J]， 1998， 7（4）：434-455.