田斯綺 賀西平

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710062)

慣性描述的是物體對其運(yùn)動狀態(tài)變化的一種阻礙程度。當(dāng)作用在物體上的外力為零時，物體將保持其運(yùn)動狀態(tài)不變，即維持靜止或勻速直線運(yùn)動。除了物體作平動時表現(xiàn)出慣性外，物體以某一角速度繞某軸轉(zhuǎn)動時也會表現(xiàn)出轉(zhuǎn)動慣性，我們通常用轉(zhuǎn)動慣量來衡量物體轉(zhuǎn)動時的慣性大小。其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。

任何剛體的轉(zhuǎn)動慣量都可以通過實驗方法(如扭擺法)、微元模型法、質(zhì)量投影法等得到[1-4]。對于規(guī)則形狀的剛體，在大學(xué)物理課本中是通過微積分方法計算得到。文獻(xiàn)[5]介紹了一種用縮減法計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法，可看作是計算轉(zhuǎn)動慣量的一種擴(kuò)展方法?？s減法的基本思想是，針對對稱性剛體，即按比例放大或縮小原剛體，引入無量綱常數(shù)并保持轉(zhuǎn)動慣量的量綱不變，求得該無量綱常數(shù)進(jìn)而得到轉(zhuǎn)動慣量。本文闡述了這種方法的原理并將該方法加以推廣，應(yīng)用于實際中常見的二維及三維對稱剛體的轉(zhuǎn)動慣量計算中[6]，這對于已經(jīng)學(xué)過微積分的大一學(xué)生來說，有利于開闊他們的思路，更進(jìn)一步理解轉(zhuǎn)動慣量的物理意義，并掌握計算轉(zhuǎn)動慣量的方法。

1 縮減法

縮減法的實質(zhì)是基于方程兩端物理量的量綱相同。轉(zhuǎn)動慣量的量綱是ML2。例如，若質(zhì)量為M的二維物體具有由x和y給出的獨立長度，則其轉(zhuǎn)動慣量可能是由Mx2,My2,Mxy,Mx-1y3,Mx1/2y3/2等項組成的多項式，每項的量綱都應(yīng)與轉(zhuǎn)動慣量的量綱相同。

因此，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的量綱，引入無量綱常數(shù)后，具有一個獨立長度的一維物體的轉(zhuǎn)動慣量可以表示為

I=kMl2

(1)

M是物體的質(zhì)量，l是物體的獨立長度，k是待定的無量綱常數(shù)。

同理，二維物體的轉(zhuǎn)動慣量則可表示為

(2)

M是物體的質(zhì)量，l1、l2是物體的兩個獨立長度，{kx}是待定的無量綱常數(shù)。

同上之理，三維物體的轉(zhuǎn)動慣量可以表示為

(3)

M是物體的質(zhì)量，l1、l2、l3是物體的3個獨立長度，{kx,y}是待定的無量綱常數(shù)。

圖1 按比例縮放物體

分析式(1)可知，如果均勻密度的一維物體成比例地收縮或按比例擴(kuò)大，如圖1(a)所示，則縮放后物體的轉(zhuǎn)動慣量可由下式給出

(4)

其中，n是線性比例因子(縮放倍數(shù))；I′為縮放后剛體的轉(zhuǎn)動慣量。

如果均勻密度的二維物體按比例收縮或按比例放大，如圖1(b)所示，則物體的轉(zhuǎn)動慣量可由下式給出

(5)

如果均勻密度的三維物體按比例收縮或按比例放大，則所得物體的轉(zhuǎn)動慣量可由下式給出

(6)

縮放后所產(chǎn)生的新剛體與原始剛體形狀相似。結(jié)合平行軸定理，基于量綱分析就可計算出無量綱常數(shù)，進(jìn)而求出原始剛體的轉(zhuǎn)動慣量，這種方法就是縮減法。

2 算例

2.1 等腰三角形的轉(zhuǎn)動慣量

圖2 計算等腰三角形的轉(zhuǎn)動慣量

2.2 矩形的轉(zhuǎn)動慣量

2.2.1 軸線為過質(zhì)心且與對稱軸夾角為θ

質(zhì)量為M、長為a、寬為b的實心矩形繞過其質(zhì)心所在平面(x-y平面)的軸線旋轉(zhuǎn)，且該軸線與y軸夾角為θ，如圖3(a)所示。

圖3 計算矩形的轉(zhuǎn)動慣量

2.2.2 軸線為垂直穿過其質(zhì)心

圖4 計算矩形的轉(zhuǎn)動慣量

2.3 長方體的轉(zhuǎn)動慣量

圖5 計算長方體的轉(zhuǎn)動慣量

4 結(jié)語

本文闡述了縮減法計算對稱剛體轉(zhuǎn)動慣量的思想，即按比例放大或縮小原剛體，引入無量綱常數(shù)并保持轉(zhuǎn)動慣量的量綱不變，結(jié)合平行軸定理，可求得該無量綱常數(shù)進(jìn)而得到轉(zhuǎn)動慣量。文中提供了等腰三角形、矩形等4個算例。縮減法計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量有利于學(xué)生更易于理解轉(zhuǎn)動慣量的物理意義。