黃新麗，朱玉燦

(1.福州理工學(xué)院文理學(xué)院，福建福州 350506;2.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州 350108)

0 引言

Hilbert空間中的框架是文獻(xiàn)［1］于1952年在研究非調(diào)和級(jí)數(shù)時(shí)引入的概念，是標(biāo)準(zhǔn)正交基的推廣，能夠?qū)⒖臻g中的元素用多種重構(gòu)表示式線性表出，這種冗余性使其有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.目前，框架理論已經(jīng)在無線電通訊［2］、信號(hào)處理［3］等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.

隨著對(duì)Hilbert空間中框架理論及其應(yīng)用研究的不斷深入，出現(xiàn)了框架的不同形式的推廣.1996年，文獻(xiàn)［4］在框架和Riesz基的基礎(chǔ)上提出了Riesz框架的概念，并指出利用Riesz框架重構(gòu)框架系數(shù)，可避免無限維空間中框架系數(shù)計(jì)算復(fù)雜的問題.2011年，文獻(xiàn)［5］在研究原子分解系統(tǒng)時(shí)引入了一種推廣框架——K－框架的概念，框架通常在整個(gè)Hilbert空間上研究，而K－框架是限制在R(K)上研究，故K－框架比框架更具靈活性且具有實(shí)際研究?jī)r(jià)值.2017年文獻(xiàn)［6］進(jìn)一步提出了Riesz框架的推廣——K－Riesz框架的概念，并指出了K－Riesz框架與Riesz框架的不同之處，即Riesz框架一定包含一個(gè)Riesz基，但KRiesz框架卻不一定包含K－Riesz基.本研究主要討論K－Riesz框架的和，首先舉例說明滿足文獻(xiàn)［7］中定理3.10的條件時(shí)Riesz框架與一個(gè)序列的和并不一定為Riesz框架.然后，討論了由K－Riesz框架與Bessel序列的和構(gòu)成K－Riesz框架的條件.與文獻(xiàn)［8］中定理4.1相比，新增了條件且給出了由兩個(gè)K－Riesz框架的和構(gòu)成K－Riesz框架的不同形式的充分條件.最后，文章給出一個(gè)K－Riesz框架與一個(gè)任意序列的和構(gòu)成K－Riesz框架的條件.當(dāng)K=I時(shí)，這些結(jié)論即為一個(gè)Riesz框架與一個(gè)序列的和仍為Riesz框架的條件，更正了文獻(xiàn)［7］中定理3.10.

1 預(yù)備知識(shí)

在本研究中，H是一個(gè)可分的復(fù)Hilbert空間，其內(nèi)積為〈·，·〉，范數(shù)為是H中的恒等算子，N為正整數(shù)集，A，B，C，D為正的常數(shù)，B(H)是H到H所有有界線性算子的集合．令K∈B(H)，且K≠0，用R(K)和NK分別表示算子K的值域和核．l2表示滿足的復(fù)數(shù)列全體所組成的線性空間，特別地對(duì)有限子集JN，序列的其他無窮多個(gè)元素看作0，則

定義1［5］一個(gè)序列稱為H的K－框架，如果正數(shù)A和B滿足

常數(shù)A和B分別稱為K－框架的下界和上界．特別地，當(dāng)K=I時(shí)，K－框架就是通常的框架．

定義2［6］一個(gè)序列稱為H的K－Riesz框架，如果存在常數(shù)A＞0，使得對(duì)任意的子集是的K－框架且具有公共的框架下界A．

特別地，當(dāng)K=I時(shí)，K－Riesz框架就是通常的Riesz框架．

定義3［6］設(shè)是H的閉子空間，JN，若在W中是完備的且對(duì)任意的在 W 中為不完備的，則稱在 W 中是極小完備的．

定義有界線性算子如下:

稱T，TJ分別為序列的合成算子，且有 R(TJ)=WJ．T，TJ的共軛算子 T*，T*J為

稱T*為序列的分析算子．當(dāng)f∈WJ時(shí)，為序列{fj}j∈J的分析算子．

記PR(TJ)為H→R(TJ)的正交投影的正交投影，的正交投影，的正交投影．

為了證明主要結(jié)論，需要下面的引理．

引理1［9］設(shè)H1和H2是兩個(gè)復(fù)Hilbert空間，T:H1→H2是有界線性算子，T*為T的共軛算子，則

引理2［6］設(shè)序列是H的K－框架，則下列陳述等價(jià)．

2)存在A＞0，使得對(duì)任意的有限非空子集JN，若{fj}j∈J在WJ中為極小完備的，則

引理3［8］設(shè)序列是H的K－框架，T1，T2為相應(yīng)的合成算子，如果和為正算子，那么為H的K－框架．

引理4［10］假設(shè)是的－框架，框架界為，序列H．如果存在常數(shù)滿足對(duì)任意f∈H滿足

2 K－Riesz框架的和

文獻(xiàn)［7］中定理3.10討論了一個(gè)Riesz框架與一個(gè)Bessel序列之和仍為Riesz框架的條件，其證明過程中從序列{fj+λgj}j∈J線性無關(guān)推出序列{fj}j∈J線性無關(guān).下面舉例說明這一推導(dǎo)不正確，進(jìn)而結(jié)論也不成立.

例1設(shè)為Hilbert空間H的標(biāo)準(zhǔn)正交基，令序列

定理1設(shè)序列為H的K－Riesz框架，框架界為為H的Bessel序列，界為D，J為N的任意有限非空子集.若為正算子，且，則序列為H的K－Riesz框架.

證明 首先，由已知條件知算子T，U，T*，U*為有界線性算子，且為正算子，取J={1，2，…，n}，則對(duì)任意的f∈H有:

即TU*+UT*+UU*為正算子.

對(duì)任意的 f∈ HJ，令則

下證{fj+gj}j∈J為HJ的K－框架.由K－Riesz框架的定義得，對(duì)任意的f∈WJ有

注1定理1比引理3中新增條件下面舉例說明這一條件必須滿足，否則定理1的結(jié)論不一定成立.例如在例1中，取K=I，λ=1，

定理2設(shè)序列為H的K－Riesz框架，框架界分別為A，B，C，D.J為N的任意有限非空子集.若為正算子，且成立，或成立，或NK*和成立，則序列為H的K－Riesz框架.

定理3設(shè)為H的K－Riesz框架，框架界為是H的一個(gè)序列，如果存在常數(shù)λ1，λ2∈(－1，1)，使得對(duì)任意f∈H和任意有限子集JN滿足:則序列為H的K－Riesz框架．

證明 在引理4中取μ=0得序列{gj}∞j=1為H的K－框架，框架界分別為下面進(jìn)一步證明序列為H的K－Riesz框架．

注2當(dāng)K=I時(shí)，上述定理即更正了文獻(xiàn)［7］中Riesz框架的相關(guān)結(jié)論．