孫川 褚端峰 李海波 王建宇

（1.黃岡師范學(xué)院，黃岡 438000；2.武漢理工大學(xué)，智能交通系統(tǒng)研究中心，武漢 430063；3.東風(fēng)汽車公司技術(shù)中心，武漢 430056）

主題詞：電動(dòng)汽車 荷電狀態(tài) 一階RC滯后模型 自適應(yīng)粒子濾波

1 前言

動(dòng)力電池的成本、能量密度、循環(huán)壽命等是制約電動(dòng)汽車發(fā)展的關(guān)鍵因素。解決這一問題，可以從兩個(gè)角度出發(fā)：一是開發(fā)成本低、能量密度高、循環(huán)壽命長的電池；二是開發(fā)有效的電池管理系統(tǒng)，通過科學(xué)管理充分發(fā)揮其性能優(yōu)勢[1]。荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）估計(jì)是電池管理的重要內(nèi)容，研究電動(dòng)汽車SOC估計(jì)問題，對于電池科學(xué)管理、合理安排充電時(shí)機(jī)具有現(xiàn)實(shí)意義。

電池SOC估計(jì)方法可以分為3類：傳統(tǒng)方法，包括開路電壓法[2]、內(nèi)阻法[3]、安時(shí)積分法[4]等；基于黑箱模型的估計(jì)方法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[5]、模糊邏輯模型和支持向量回歸模型[6]等；基于狀態(tài)空間模型的估計(jì)方法，常用方法有卡爾曼濾波[7]、粒子濾波[8]、H∞算法等。其中，傳統(tǒng)方法不適宜在電池使用時(shí)進(jìn)行估計(jì)，基于黑箱模型的估計(jì)方法對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量和準(zhǔn)確性依賴較強(qiáng)，基于狀態(tài)空間模型的估計(jì)方法是當(dāng)前研究的重點(diǎn)。粒子濾波的各種自適應(yīng)改進(jìn)及應(yīng)用也被廣泛研究：Li[9]提出了粒子數(shù)隨時(shí)間自適應(yīng)變化的粒子濾波方法，此方法以相對熵（Kullback-Leibler Divergence）為依據(jù)確定下一時(shí)刻粒子數(shù)，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算量減小的目的；Zuo等[10]提出了重要密度函數(shù)自適應(yīng)更新的粒子濾波方法，解決了采樣效率低的問題，提高了算法估計(jì)精度；Straka等[11]依據(jù)估計(jì)誤差調(diào)整粒子數(shù)量，將估計(jì)誤差控制在一定范圍內(nèi)，同時(shí)致力于減少計(jì)算量。

以上粒子濾波的自適應(yīng)改進(jìn)方法是算法自身的改進(jìn)，本文結(jié)合電池SOC估計(jì)問題，充分利用已辨識的模型信息，以模型估計(jì)值與觀測值之差為依據(jù)，自適應(yīng)調(diào)整模型的狀態(tài)噪聲和觀測噪聲，達(dá)到了提高電池SOC估計(jì)精度、速度和魯棒性的目的。

2 鋰電池模型及參數(shù)辨識

2.1 鋰電池模型

本文使用等效電路模型對鋰電池進(jìn)行建模。等效電路中有3個(gè)常見模塊：

a.歐姆內(nèi)阻模塊。內(nèi)阻R0由電極材料、隔膜電阻、電解液對電荷的運(yùn)動(dòng)阻力產(chǎn)生。

b.RC網(wǎng)絡(luò)模塊。電池使用時(shí)具有極化現(xiàn)象，本文使用極化電容Cp與極化電阻Rp組成的RC網(wǎng)絡(luò)模擬這一過程。對電池建模時(shí)，通常使用RC網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)提高模型精確度。但4階及以上的RC網(wǎng)絡(luò)會(huì)大幅增加計(jì)算量，而模型精度提高很小，故一般使用3階及以下的RC網(wǎng)絡(luò)。第i個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)端電壓與電阻、電容的關(guān)系為：

式中，Δt為采樣周期；τi=RiCi為時(shí)間常數(shù)；Upi,k為k時(shí)刻第i個(gè)RC網(wǎng)絡(luò)的端電壓；Rp為極化電阻；Ik為k時(shí)刻RC網(wǎng)絡(luò)電流。

c.滯后模塊。滯后模塊用于反映電池電壓變化相對于電流變化的延遲現(xiàn)象。美國的Plett教授給出了滯后模塊的公式[12]：

式中，hk為k時(shí)刻滯后電壓；κ為衰減因子；ik為k時(shí)刻電流；H為最大滯后電壓。

使用上述模塊，本文分別建立了1階、2階、3階RC及RC滯后模型共6個(gè)模型，圖1給出了1階RC及RC滯后模型，2階與2階以上模型在1階模型基礎(chǔ)上串聯(lián)相應(yīng)數(shù)量的RC網(wǎng)絡(luò)。

1階RC模型方程為：

式中，Ut,k為k時(shí)刻電池輸出電壓值；zk為k時(shí)刻電池SOC值；Uocv為開路電壓。

為了保證擬合精度，本文使用n次多項(xiàng)式擬合Uocv～z關(guān)系式，即

式中，αj為擬合系數(shù)。

1階RC滯后模型方程為：

2階RC模型和RC滯后模型方程分別為：

3階RC模型和RC滯后模型方程分別為：

圖1 1階RC及RC滯后模型

2.2 模型參數(shù)辨識

首先使用試驗(yàn)法和多項(xiàng)式擬合對式（4）進(jìn)行辨識，試驗(yàn)要求在25℃恒溫條件下進(jìn)行，電池充滿電后靜置2 h使其狀態(tài)穩(wěn)定，然后放電5min，釋放電量為1 C，再次靜置5min用于穩(wěn)定狀態(tài)，記錄靜置期間的最大開路電壓作為此SOC下的開路電壓。重復(fù)以上步驟直至放電完畢，得到不同SOC值下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，使用多項(xiàng)式擬合得Uocv～zk關(guān)系式為：

對于1階、2階、3階RC及RC滯后模型，首先進(jìn)行混合動(dòng)力脈沖能力特性（Hybrid Pulse Power Characteristic，HPPC）測試，而后使用粒子群算法[13]搜索最優(yōu)解，以模型端電壓誤差的均方根為適應(yīng)函數(shù)，綜合考慮模型誤差與計(jì)算量選擇鋰電池的等效模型。參數(shù)辨識以SOC每10%為一個(gè)區(qū)間，HPPC測試數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 鋰電池HPPC測試數(shù)據(jù)

在粒子群算法中，粒子速度的更新受自身速度、自身歷史最優(yōu)位置、種群最優(yōu)位置的影響，向自身歷史最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置靠攏。使用粒子群優(yōu)化算法搜索各模型的最優(yōu)參數(shù)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 各模型參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

通過計(jì)算端電壓誤差均方根的平均值，可以看出模型精度最高的是3階RC滯后模型，其次為1階RC滯后模型，兩者平均值相差約0.8mV，綜合考慮模型精度和計(jì)算量，本文選擇1階RC滯后模型作為鋰電池模型。

2.3 鋰電池空間模型

依據(jù)式（5）的1階RC滯后模型和式（4）給出的Uocv～z模型，選擇狀態(tài)向量x k=(Up1,k,hk,zk)T，將鋰電池等效電路模型和開路電壓方程離散化，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程分別為：

式中，Ca為電池可用容量；η≈1為庫倫系數(shù)；o k、vk分別為過程噪聲和觀測噪聲。

分析式（11）可知，R0、Up1,k、hk經(jīng)過參數(shù)辨識過程已知，Ik、Ut,k可以實(shí)時(shí)測量，通過粒子濾波方法調(diào)整vk，使Uocv(zk)更加準(zhǔn)確，即可根據(jù)式（10）計(jì)算出SOC。

3 自適應(yīng)粒子濾波

3.1 傳統(tǒng)粒子濾波分析

由式（11）可以看出，鋰電池空間模型為非線性模型。傳統(tǒng)的卡爾曼濾波無法應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，擴(kuò)展卡爾曼濾波又會(huì)帶來較大的非線性誤差，因此本文選用粒子濾波方法。粒子濾波實(shí)質(zhì)是利用后驗(yàn)概率分布對變量進(jìn)行估計(jì)。

粒子濾波已經(jīng)非常成熟，算法原理可參考文獻(xiàn)[14]、文獻(xiàn)[15]，在此簡要分析。記某一非線性空間方程為：

式中，x k、y k分別為k時(shí)刻的狀態(tài)向量和觀測量；f()、h()均為已知函數(shù)。

記系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)分布為p(x k|y k)，但其不具有標(biāo)準(zhǔn)形式，難以采樣。使用重要性采樣方法，引入容易采樣的概率分布q(x k|y k)，要求q(x k|y k)也定義在狀態(tài)空間中，取值范圍大于p(x k|y k)。q(x k|y k)被稱為重要性函數(shù)，在重要性函數(shù)下采集N個(gè)樣本，得到樣本集。

將重要性函數(shù)引入后驗(yàn)分布中，得

式中，ξ為狄拉克函數(shù)；為歸一化后k時(shí)刻第i個(gè)樣本的權(quán)值，且

為了實(shí)現(xiàn)濾波過程的遞推計(jì)算，將重要性函數(shù)變形，并結(jié)合貝葉斯估計(jì)理論，可得

算法經(jīng)過若干次迭代后，會(huì)出現(xiàn)粒子退化現(xiàn)象，也就是權(quán)重大的粒子會(huì)保持優(yōu)勢，甚至越來越大，其他大量粒子權(quán)重越來越小，不僅產(chǎn)生了無用計(jì)算，而且估計(jì)精度也會(huì)降低。為解決這一問題，需要進(jìn)行粒子重新采樣。

本文使用有效樣本數(shù)Neff評價(jià)粒子退化程度，作為粒子是否需要重新采樣的依據(jù)：

式中，var()為方差函數(shù)；N為實(shí)際粒子數(shù)。

對有效樣本數(shù)設(shè)置一個(gè)閾值Nth，若Neff≤Nth則說明粒子退化嚴(yán)重，需要重新采樣。

本文使用隨機(jī)重采樣方法進(jìn)行重新采樣。首先對歸一化權(quán)值進(jìn)行累加，得；其次在[0,1]上產(chǎn)生N個(gè)隨機(jī)數(shù){uj}(j=1,…N)；搜索使cl≥uj成立的最小l，使新粒子，同時(shí)定義每個(gè)粒子權(quán)重為1/N，即可實(shí)現(xiàn)粒子重采樣。

3.2 自適應(yīng)粒子濾波提出

現(xiàn)有的自適應(yīng)粒子濾波方法是對狀態(tài)噪聲的自適應(yīng)調(diào)整：

式中，λ為平滑濾波窗口；σc,k為自適應(yīng)調(diào)整后的狀態(tài)噪聲；c為狀態(tài)向量的某一狀態(tài)變量；β∈[0.1,1]為衰減因子；σc,min為狀態(tài)c的最小噪聲方差；σc,mid為中等噪聲方差。

本文在此自適應(yīng)粒子濾波基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，對觀測噪聲也進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。改進(jìn)思路為：建立等效模型時(shí)確定模型的誤差范圍，將狀態(tài)估計(jì)值代入觀測方程后得到觀測估計(jì)值，則觀測值的估計(jì)誤差也應(yīng)在一定范圍內(nèi)，如果觀測值誤差與模型誤差偏差較大，則需要較大的觀測噪聲方差使算法快速收斂。

3.2.1 確定觀測誤差邊界

觀測誤差可認(rèn)為服從正態(tài)分布，記第i個(gè)粒子的實(shí)測值為，模型估計(jì)值為，實(shí)測值與估計(jì)值誤差為，誤差平均值記為μ，標(biāo)準(zhǔn)差記為δ，則

式中，w為辨識區(qū)間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)w足夠大時(shí)，觀測誤差的均值和方程可以使用μ和σ2近似代替，根據(jù)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)原理，取置信度為95%，得到觀測誤差邊界為，其中Ua為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)。

3.2.2 觀測誤差自適應(yīng)調(diào)整

將狀態(tài)估計(jì)值代入觀測方程，得到的觀測估計(jì)值誤差可能來源包括狀態(tài)噪聲、觀測噪聲、初值誤差等。一般來講，狀態(tài)噪聲和觀測噪聲在一定范圍內(nèi)，而初值誤差等其他干擾可能引起較大誤差，參考上文中設(shè)定的觀測誤差邊界，本文觀測噪聲自適應(yīng)調(diào)整為：

式中，ey,k為觀測誤差估計(jì)值；σy,k是自適應(yīng)調(diào)整后的觀測誤差標(biāo)準(zhǔn)差；σy,max為觀測量的最大噪聲標(biāo)準(zhǔn)差差設(shè)定值。

式（20）和式（21）使用誤差平均值作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，是為了防止抖動(dòng)的干擾。

3.3 基于自適應(yīng)粒子濾波的SOC估計(jì)

本文基于電池1階RC滯后模型的狀態(tài)空間方程和自適應(yīng)粒子濾波方法，給出電池SOC估計(jì)流程如圖4所示。其中，初始化參數(shù)包括粒子、粒子權(quán)重、初始化噪聲方差、有效閾值、SOC、極化電壓、滯后電壓、粒子數(shù)等，粒子權(quán)值的計(jì)算公式為，k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)值為。

圖4 SOC估計(jì)算法流程

4 仿真驗(yàn)證

4.1 收斂速度驗(yàn)證

本次仿真中，SOC初始真值設(shè)置為0.80，SOC估計(jì)值設(shè)置為0.50，即初始誤差到達(dá)了0.30，分別使用傳統(tǒng)粒子濾波方法和本文提出的自適應(yīng)粒子濾波方法進(jìn)行SOC值估計(jì)，如圖5所示。

圖5 兩種算法的SOC估計(jì)結(jié)果

由圖5可以看出，在電池SOC初始誤差較大情況下，本文提出的自適應(yīng)粒子濾波在第30 s左右收斂到了真實(shí)值附近，而傳統(tǒng)粒子濾波在24min后才收斂到真實(shí)值附近，說明本文提出的自適應(yīng)粒子濾波在收斂速度和魯棒性方面具有明顯優(yōu)勢。這是因?yàn)楸疚奶岢龅淖赃m應(yīng)濾波在現(xiàn)有自適應(yīng)算法基礎(chǔ)上，通過觀測誤差值與設(shè)定誤差邊界比較，實(shí)現(xiàn)了觀測噪聲依據(jù)觀測誤差的自適應(yīng)調(diào)整。

4.2 收斂精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出算法的SOC估計(jì)精度，將SOC的估計(jì)區(qū)間設(shè)置為0.80～0.20，SOC初始值設(shè)置為0.70，即存在0.10的初始誤差。分別使用傳統(tǒng)粒子濾波與本文提出的自適應(yīng)粒子濾波對SOC進(jìn)行估計(jì)，得到的估計(jì)值和估計(jì)誤差如圖6所示。

圖6 兩種算法對SOC估計(jì)結(jié)果

為了更加精確地對比兩種算法的估計(jì)精度，表1給出了兩種算法對SOC估計(jì)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

表1 兩種算法的SOC估計(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

由圖6和表1可以看出：兩種算法對SOC估計(jì)精度都較高，均未超過3%，但自適應(yīng)粒子濾波估計(jì)算法精度更高；自適應(yīng)濾波的估計(jì)誤差比傳統(tǒng)方法更加穩(wěn)定；從收斂時(shí)間上看，自適應(yīng)算法極大地提高了收斂速度。自適應(yīng)算法在收斂精度、收斂速度上的優(yōu)勢，源于自適應(yīng)算法對狀態(tài)噪聲和觀測噪聲的自適應(yīng)調(diào)整，使?fàn)顟B(tài)噪聲和觀測噪聲能夠適應(yīng)環(huán)境和其他因素引起的誤差變化。

5 結(jié)束語

本文建立了電池的1階RC滯后模型，提出了自適應(yīng)粒子濾波算法，仿真結(jié)果表明：在初始誤差較大時(shí)，本文提出的自適應(yīng)濾波算法具有很快的收斂速度和很好的魯棒性；與傳統(tǒng)粒子濾波相比，本文提出的自適應(yīng)算法收斂精度高、收斂穩(wěn)定性好、收斂速度快。這說明通過觀測誤差自適應(yīng)調(diào)整觀測噪聲，使其對各種因素引起的誤差具有自適應(yīng)性，可以提高算法的估計(jì)速度和精度。