陳鐵彪，王洪波，龔 旻，佟澤友，涂建秋

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

隨著軍民融合國家發(fā)展戰(zhàn)略的確立，商業(yè)航天、微/小衛(wèi)星發(fā)射市場迎來了蓬勃的發(fā)展機(jī)遇。小型化、密集化的商業(yè)航天發(fā)射模式使得“固體動力+小型化+低成本”成為商業(yè)火箭迫切的發(fā)展需求。在低成本的研制需求下，降低起飛質(zhì)量始終是商業(yè)火箭的優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)。為降低起飛質(zhì)量，工程上一般基于工程經(jīng)驗簡化約束條件，再優(yōu)化得到最優(yōu)級間比等總體參數(shù)，優(yōu)化精度相對粗略。為提高論證初期的方案準(zhǔn)確度，減少方案設(shè)計的迭代次數(shù)，有必要精細(xì)化各專業(yè)約束，解決多約束條件下總體/彈道一體化優(yōu)化的問題。

偽譜法在軌跡優(yōu)化方面應(yīng)用廣泛并發(fā)展迅速，其原理是將狀態(tài)變量和控制變量在一系列配點(diǎn)上離散，利用離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造 Lagrange插值多項式來擬合狀態(tài)變量和控制變量。通過對全局插值多項式求導(dǎo)來近似狀態(tài)變量對時間的導(dǎo)數(shù)，從而將運(yùn)動微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，將彈道優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。正是這種轉(zhuǎn)化使得偽譜法可以對飛行過程中的動態(tài)控制變量和靜態(tài)總體參數(shù)同時進(jìn)行尋優(yōu)，進(jìn)而得到最優(yōu)級間比、最優(yōu)滑行時間等總體參數(shù)和飛行過程中的最優(yōu)控制變量。

1 偽譜法

軌跡優(yōu)化方法主要分為直接法和間接法[1,2]。間接法的基礎(chǔ)理論是經(jīng)典變分法和極小值原理，通過將問題轉(zhuǎn)化為哈密爾頓兩點(diǎn)邊值問題間接進(jìn)行求解。直接法將最優(yōu)控制問題通過一定離散策略轉(zhuǎn)化成為非線性規(guī)劃問題，然后采用非線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。根據(jù)轉(zhuǎn)化方法的不同，大體分為直接打靶法和直接配點(diǎn)法。兩種方法的區(qū)別是對動力學(xué)方程處理的不同，導(dǎo)致轉(zhuǎn)化后的非線性規(guī)劃問題結(jié)構(gòu)不同。直接打靶法中需對狀態(tài)微分方程進(jìn)行連續(xù)積分，而直接配點(diǎn)法通過特定的隱式積分準(zhǔn)則（局部配點(diǎn)）或函數(shù)逼近方法（全局配點(diǎn)）將動力學(xué)方程轉(zhuǎn)化成了微分代數(shù)方程，非線性規(guī)劃求解時速度迥異。直接法是應(yīng)用最為廣泛的軌跡優(yōu)化方法，特別適合于飛行器的性能分析及總體設(shè)計。近年來，直接法中的全局正交配點(diǎn)法、偽譜法發(fā)展迅速，由于其特殊的離散格式，提高了多項式近似的精度，采用較少的計算節(jié)點(diǎn)就能獲得很高的計算精度，廣泛用于飛行器的軌跡優(yōu)化。根據(jù)節(jié)點(diǎn)、配點(diǎn)和插值基函數(shù)的不同，偽譜法可以分為 Chebysgev偽譜法（CPV）、Legendre偽譜法（LPM）、Gauss偽譜法（GPV）和Radau偽譜法（RPM）。

彈道優(yōu)化問題可以看作是 Bolza形式的最優(yōu)控制問題[3]，即在滿足式（2）～（4）的條件下，最小化具有一般性的Bolza型目標(biāo)函數(shù)：

運(yùn)動方程約束為

過程約束條件為

端點(diǎn)約束條件為

式中 J為目標(biāo)函數(shù)；φ為終端型性能指標(biāo)函數(shù)；g為系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo)函數(shù)為積分型性能指標(biāo)函數(shù)；t0為初始時間；tf為終端時間； x( t)為狀態(tài)變量； x ( t0)為狀態(tài)變量初值； x( tf)為狀態(tài)變量終值；u( t)為控制變量；C為過程約束函數(shù)；φ為端點(diǎn)約束條件函數(shù)。

為便于插值點(diǎn)的確定，將時間區(qū)間 t ∈[t0, tf]分為K段子區(qū)間然后將每段子區(qū)間的通過式（5）轉(zhuǎn)換為。

則每段子區(qū)間的狀態(tài)變量、控制變量、運(yùn)動方程、過程約束和端點(diǎn)約束相應(yīng)轉(zhuǎn)化為時間域 τ =[?1,+1 ]上函數(shù)。

利用LGR積分將目標(biāo)函數(shù)近似為

運(yùn)動方程（2）在LGR點(diǎn)的離散形式為

過程約束和端點(diǎn)約束在LGR點(diǎn)的離散形式為

通過上述一系列的數(shù)值近似辦法，最終把Bolza問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，即求取每段LGR點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量，在滿足運(yùn)動方程、過程約束和端點(diǎn)約束的情況下，使性能指標(biāo)最小。

2 總體/控制一體化優(yōu)化模型

2.1 飛行方案

本文采用三級固體運(yùn)載火箭的飛行方案驗證優(yōu)化方法，飛行彈道分為“一級動力飛行+一級滑行+二級動力飛行+二級滑行+三級動力飛行”多個階段，如圖1所示。目標(biāo)軌道為500 km圓形軌道，有效載荷為100 kg，整流罩為50 kg，整流罩在二級滑行段分離。

圖1 飛行剖面Fig.1 Flight Profile

2.2 動力學(xué)模型

在地心慣性坐標(biāo)系下建立火箭的動力學(xué)模型[4]，地心慣性坐標(biāo)系（右手系）的原點(diǎn)在地心 OE處， OEXE軸在赤道面內(nèi)指向平春分點(diǎn)， OEZE軸垂直于赤道面，與地球自轉(zhuǎn)軸重合。假設(shè)地球為均質(zhì)圓球且火箭推力方向始終經(jīng)過質(zhì)心，則地心慣性系內(nèi)動力學(xué)方程如下[5,6]：

式中 r( t)， v ( t)分別為火箭在地心慣性系下的位置和速度；m為火箭質(zhì)量；為代表發(fā)動機(jī)推力方向的單位矢量；D為氣動阻力； CD為火箭氣動阻力系數(shù)； Aref為火箭參考面積； vrel為火箭相對地球速度；ω為自轉(zhuǎn)角速度；ρ為大氣密度；T為發(fā)動機(jī)推力。

假設(shè)采用理想固體火箭發(fā)動機(jī)，給定發(fā)動機(jī)推力和比沖 Isp后，則發(fā)動機(jī)的燃料消耗速度為

2.3 性能指標(biāo)、約束條件及優(yōu)化變量

以最小起飛質(zhì)量作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)：

約束條件為矢量u的模長和終端入軌條件：

2.4 結(jié)構(gòu)質(zhì)量模型

運(yùn)載火箭的各子級質(zhì)量分為固定質(zhì)量和非固定質(zhì)量。固定質(zhì)量包括整流罩質(zhì)量、有效載荷質(zhì)量、火箭殼體質(zhì)量、發(fā)動機(jī)結(jié)構(gòu)質(zhì)量等（如圖2所示）；非固定質(zhì)量主要是推進(jìn)劑質(zhì)量，占火箭總質(zhì)量的絕大部分[7,8]。

彈頭質(zhì)量初步取為

式中pm為有效載荷質(zhì)量；im為儀器設(shè)備質(zhì)量；mm為末修動力系統(tǒng)質(zhì)量。

發(fā)動機(jī)質(zhì)量比σ可用箭體直徑d近似為

尾段C1及級間段C2和C3質(zhì)量為

式中 m殼為級間段圓柱殼體質(zhì)量；m底為底遮板質(zhì)量；m其他為其他附加質(zhì)量。

圖2 多級運(yùn)載火箭結(jié)構(gòu)形式Fig.2 Multi-stage Launch Vehicle Structure

3 仿真分析

以起飛質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，對各級火箭發(fā)動機(jī)質(zhì)量等總體參數(shù)和飛行過程中的控制變量進(jìn)行尋優(yōu)。優(yōu)化后的總體參數(shù)、滑行時間和最小起飛質(zhì)量為

式中 m1,2,3為一、二、三子級質(zhì)量；d為火箭直徑；t1，2為一、二級滑行段時間；Mmin為最小起飛質(zhì)量。

目標(biāo)軌道根數(shù)和關(guān)機(jī)點(diǎn)軌道根數(shù)如表 1、表 2所示。從表1、表2可以看出，關(guān)機(jī)點(diǎn)參數(shù)與目標(biāo)軌道參數(shù)相差很小，滿足入軌條件。運(yùn)載火箭采用優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行總體參數(shù)選擇和飛行控制時，有效載荷入軌時燃料沒有剩余。

表1 目標(biāo)軌道根數(shù)Tab.1 Target Elements of Orbit

表2 關(guān)機(jī)點(diǎn)軌道根數(shù)Tab.2 Elements of Orbit at the Shutdown Point

整個飛行階段分為3個助推階段和2個無動力滑行階段。各階段的飛行高度、飛行速度變化曲線如圖3、圖4所示，助推段、滑行段各階段過渡平滑。

圖3 飛行高度變化曲線Fig.3 Flight Altitude Curve

圖4 飛行速度變化曲線Fig.4 Flight Speed Curve

起飛后 562 s，火箭以較高精度將有效載荷送入500 km 圓形目標(biāo)軌道。起飛后 83.1～176.7 s、321.9～472.9 s為火箭的無動力滑行段，發(fā)動機(jī)推力為零，火箭飛行高度升高，速度降低，動能向重力勢能轉(zhuǎn)化。

4 結(jié)束語

本文建立了多級火箭的總體/彈道一體化優(yōu)化模型，解決了彈道、氣動和動力等專業(yè)約束下動靜參數(shù)耦合優(yōu)化問題，相比于傳統(tǒng)火箭的估算模型，精細(xì)化程度更高，更貼近工程實際，同時在級間比、箭體直徑和滑行時間等總體參數(shù)優(yōu)化過程中考慮了控制系統(tǒng)的潛力，減少了火箭方案論證中迭代周期和設(shè)計成本。