關(guān)亞彬,楊小輝,方宗德,向龍,陳國定

(西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院,710072,西安)

鼓形齒聯(lián)軸器主要應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中,聯(lián)接主、從動(dòng)軸,傳遞轉(zhuǎn)動(dòng)和扭矩。鼓形齒聯(lián)軸器在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中,不僅能夠承受極大的載荷,而且具備綜合補(bǔ)償鼓形齒和內(nèi)齒圈軸間傾角的能力。由于這些優(yōu)點(diǎn),其往往被用于重載或工況復(fù)雜的傳動(dòng)軸連接中,例如船艦[1]、風(fēng)電[2]及軋鋼[3]等的傳動(dòng)系統(tǒng)。

為了補(bǔ)償軸間傾角產(chǎn)生的相對位移和避免輪齒之間發(fā)生邊緣接觸,鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)較普通圓柱齒輪傳動(dòng)應(yīng)具有更大的側(cè)隙和齒面鼓形量。因此,國內(nèi)外學(xué)者對鼓形齒聯(lián)軸器的輪齒接觸分析、側(cè)隙設(shè)計(jì)以及齒面設(shè)計(jì)展開了大量研究。Nakashima基于平行于端面的截面為連續(xù)變位的漸開線的假設(shè),采用齒面離散網(wǎng)格的方法,計(jì)算了鼓形齒和內(nèi)齒圈相鄰齒面的間隙量,得到了最小間隙點(diǎn)的位置,以此獲得了在相應(yīng)載荷下,輪齒的接觸數(shù)目以及輪齒間的載荷分配[4]。在此基礎(chǔ)上,Alfares等研究了軸間傾角狀態(tài)下,模數(shù)、壓力角、修形量對鼓形齒和內(nèi)齒圈相鄰齒面間最小間隙分布的影響[5],但是得到的最小間隙分布以及最小間隙量與Nakashima不同。Ohshima等采用拋物線逼近鼓形齒齒面的橫截面形狀,進(jìn)而表達(dá)出了整個(gè)齒面的方程,并以成形法加工鼓形齒為例,計(jì)算了齒面的間隙分布,并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證[6]。Hakozaki等提出了改變鼓形齒沿著齒廓方向曲率的方法,研究結(jié)果表明,該方法可以獲得更大的承載接觸區(qū)域和更小的輪齒間隙,降低由側(cè)隙引起的沖擊噪聲[7]。Guan等采用成形砂輪加工鼓形齒,插齒刀加工內(nèi)齒圈,建立了鼓形齒聯(lián)軸器的齒面模型,并進(jìn)行了輪齒接觸分析[8]。劉鵠然等和毛世民等使用銑刀加工鼓形齒,進(jìn)行了齒面接觸分析,并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證[9-10]。彭福華等按照共軛曲面原理,推導(dǎo)了共軛鼓形齒聯(lián)軸器的接觸線及齒面方程,分析了在不同傾角下輪齒齒面的接觸狀態(tài)及變化規(guī)律,并進(jìn)行了滾檢試驗(yàn)[11-13]。易傳云等建立了非共軛齒面的鼓形齒聯(lián)軸器齒面方程,根據(jù)連續(xù)切觸方程進(jìn)行了嚙合分析,得出了嚙合過程中的傳動(dòng)誤差曲線,并求解了齒面的誘導(dǎo)法曲率和相對滑動(dòng)系數(shù)[14-16]。李月潭等基于沿位移圓方向齒廓為漸開線的假設(shè),建立了鼓形齒齒面方程,并推導(dǎo)了鼓形齒聯(lián)軸器的齒面最小間隙點(diǎn)位置、齒面間隙以及綜合曲率半徑的計(jì)算公式[17]。魏家麒等基于Alfares的網(wǎng)格法進(jìn)行了輪齒接觸分析和力學(xué)分析[18]。

從上述文獻(xiàn)中可以看出,在鼓形齒聯(lián)軸器處于軸間傾角的工況下,采用齒面離散網(wǎng)格的方法雖然可以獲得相鄰齒面間最小間隙的位置和大小,但是這種方法耗時(shí)長且計(jì)算精度不高,不便用于鼓形齒聯(lián)軸器的最小側(cè)隙設(shè)計(jì)。因此,本文基于齒輪嚙合原理提出了一種更精確快速的用于鼓形齒聯(lián)軸器最小側(cè)隙設(shè)計(jì)的方法。本文研究從以下方面展開:首先,對比了鼓形齒聯(lián)軸器和圓柱齒輪副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律;其次,建立了鼓形齒聯(lián)軸器的齒面方程和裝配關(guān)系;再次,基于連續(xù)切觸方程,提出了鼓形齒聯(lián)軸器最小側(cè)隙設(shè)計(jì)方法;最后,將本文方法與Alfares方法[5]、有限元方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比驗(yàn)證。

1 鼓形齒聯(lián)軸器和圓柱齒輪副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對比

鼓形齒聯(lián)軸器由齒數(shù)相等的內(nèi)齒圈和鼓形齒組成,鼓形齒是齒頂面為球面、齒向?yàn)楣男涡扌蔚凝X輪,內(nèi)齒圈是直齒內(nèi)齒圈。圓柱齒輪副的嚙合傳動(dòng)沿著嚙合線進(jìn)行,相較圓柱齒輪副而言,鼓形齒聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加復(fù)雜,兩者的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖1所示。

(a)鼓形齒聯(lián)軸器

(b)圓柱齒輪副圖1 運(yùn)動(dòng)簡圖

圖1a為鼓形齒聯(lián)軸器在傾角θ下的運(yùn)動(dòng)簡圖,沿著順時(shí)針方向,把鼓形齒聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)位置依次規(guī)定為轉(zhuǎn)角0°、90°、180°、270°,由于轉(zhuǎn)角相差為180°的輪齒處運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是一樣的,因此下面只分析0°～180°轉(zhuǎn)角區(qū)間內(nèi)輪齒的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),其運(yùn)動(dòng)將經(jīng)歷純擺動(dòng)區(qū)、擺動(dòng)和翻轉(zhuǎn)復(fù)合區(qū)、純翻轉(zhuǎn)區(qū)、翻轉(zhuǎn)和擺動(dòng)復(fù)合區(qū)、純擺動(dòng)區(qū)。從圖1a可以看出:在純翻轉(zhuǎn)區(qū)(轉(zhuǎn)角90°),鼓形齒和內(nèi)齒圈相鄰輪齒工作面和非工作面的間隙均達(dá)到了最小值;在純擺動(dòng)區(qū)(轉(zhuǎn)角0°和180°),鼓形齒和內(nèi)齒圈相鄰輪齒工作面和非工作面的間隙均達(dá)到了最大值。因此,在進(jìn)行鼓形齒聯(lián)軸器側(cè)隙設(shè)計(jì)的時(shí)候,僅考慮純翻轉(zhuǎn)區(qū)的間隙量,便可以保證鼓形齒聯(lián)軸器在傾角下正常工作。

相比于復(fù)雜的鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng),圓柱齒輪副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律更為簡單,其運(yùn)動(dòng)簡圖如圖1b所示,op和og分別為小輪和大輪的中心點(diǎn)。在傳動(dòng)過程中嚙合點(diǎn)P均沿嚙合線N1N2方向移動(dòng),從圖中可以直觀地看出正在嚙合、即將進(jìn)入嚙合和退出嚙合的齒的位置。由于圓柱齒輪副在工作狀態(tài)下不要求能承受較大的傾角變化,因此很少有學(xué)者對圓柱齒輪副的側(cè)隙設(shè)計(jì)進(jìn)行研究。

2 鼓形齒聯(lián)軸器齒面模型

根據(jù)沿齒寬方向連續(xù)變位產(chǎn)生鼓形齒齒面的方法可知,需要確定的鼓形齒齒面的關(guān)鍵參數(shù)就是平行于端面的每個(gè)橫截面位置的變位系數(shù)x。下面敘述參數(shù)x的求解過程。

鼓形齒齒面各橫截面變位系數(shù)之間關(guān)系如圖2所示。分別以鼓形齒中心oh以及產(chǎn)生鼓形齒齒面的位移圓圓心od為原點(diǎn),沿著齒寬方向zh、zd和齒高方向yh、yd建立坐標(biāo)系。Rds為位移圓半徑,l為位移圓與中截面的交點(diǎn)和位移圓與任意截面的交點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸yh的距離,Rf為分度圓半徑。鼓形齒齒面的任意截面都可以看作是沿鼓形齒軸線方向zh的連續(xù)變位修形,lz表示任意截面與中截面之間的偏置距離,x0表示中截面處的齒廓變位系數(shù),x1表示任意截面處的齒廓變位系數(shù),x2表示端面處的齒廓變位系數(shù),e表示位移圓圓心與鼓形齒中心之間的距離。

圖2 鼓形齒齒面各橫截面變位系數(shù)之間關(guān)系

根據(jù)圖2可知,Rds和l可以表示為

Rds=Rf+e

(1)

(2)

由于鼓形齒齒面是由齒廓形狀沿著鼓形齒軸線zh連續(xù)變位形成的,l和齒輪模數(shù)m以及x1、x0之間的關(guān)系可以表示為

l=m(x0-x1)

(3)

將式(2)和(3)聯(lián)立,可以得到任意截面的變位系數(shù)x1為

(4)

鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合坐標(biāo)系如圖3所示,Sf(xf,yf,zf)為固定坐標(biāo)系,St(xt,yt,zt)為誤差坐標(biāo)系,Sf1(xf1,yf1,zf1)為輔助坐標(biāo)系,Sh(xh,yh,zh)和Ss(xs,ys,zs)分別為鼓形齒和內(nèi)齒圈的固連坐標(biāo)系。zh和zs分別表示鼓形齒和內(nèi)齒圈的軸線方向,φh為鼓形齒繞zh軸的轉(zhuǎn)角,φs為內(nèi)齒圈繞zs軸的轉(zhuǎn)角,ΔE為鼓形齒與內(nèi)齒圈中心點(diǎn)之間的距離。

圖3 鼓形齒聯(lián)軸器嚙合坐標(biāo)系

在固定坐標(biāo)系Sf(xf,yf,zf)下,內(nèi)齒圈和鼓形齒的齒面方程以及法矢可以表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中:

根據(jù)上述鼓形齒聯(lián)軸器的齒面方程以及鼓形齒和內(nèi)圈之間的裝配關(guān)系,建立鼓形齒聯(lián)軸器的有限元模型以及邊界條件,如圖4所示。在鼓形齒中心處定義一個(gè)單節(jié)點(diǎn)六自由度的點(diǎn)單元,將鼓形齒軸孔壁的節(jié)點(diǎn)與中心處的點(diǎn)單元?jiǎng)傂择詈?保留旋轉(zhuǎn)自由度,約束其他自由度。對于內(nèi)齒圈,進(jìn)行輪緣節(jié)點(diǎn)全約束。在點(diǎn)單元上施加繞鼓形齒軸線的轉(zhuǎn)矩T。

圖4 鼓形齒聯(lián)軸器的有限元模型及邊界條件

3 最小側(cè)隙設(shè)計(jì)

側(cè)隙作為鼓形齒的重要設(shè)計(jì)參數(shù),不僅影響鼓形齒聯(lián)軸器的裝配,而且影響聯(lián)軸器的動(dòng)力學(xué)性能。側(cè)隙設(shè)計(jì)量太小,鼓形齒聯(lián)軸器不能在傾角下正常工作;側(cè)隙設(shè)計(jì)量太大,輪齒之間的碰撞噪聲會(huì)變大[4]。因此,本節(jié)將給出輪齒在傾角下能正常工作時(shí),鼓形齒聯(lián)軸器的最小側(cè)隙計(jì)算方法。

從第1節(jié)可知,鼓形齒聯(lián)軸器在純翻轉(zhuǎn)區(qū)時(shí),相對于其他區(qū)域,工作面和非工作面的間隙均最小,工作面和非工作面的間隙與鼓形齒聯(lián)軸器最小設(shè)計(jì)側(cè)隙量呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)。因此,最小側(cè)隙設(shè)計(jì)時(shí),僅考慮輪齒在純翻轉(zhuǎn)區(qū)的接觸狀態(tài)即可,只要在純翻區(qū)的輪齒不發(fā)生干涉,便可以保證其他區(qū)域的輪齒不發(fā)生干涉。

(a)無傾角 (b)有傾角圖5 無側(cè)隙時(shí)純翻轉(zhuǎn)區(qū)的輪齒接觸狀態(tài)

要獲得無側(cè)隙鼓形齒聯(lián)軸器在傾角下純翻轉(zhuǎn)區(qū)的最小間隙量,首先要獲得最小間隙點(diǎn)的位置。最小間隙點(diǎn)的位置可以通過齒輪接觸分析計(jì)算獲得。

在齒輪嚙合過程中,兩齒面連續(xù)相切接觸。由此可知,在固定坐標(biāo)系Sf(xf,yf,zf)中,任一時(shí)刻兩齒面間有最小間隙點(diǎn),且最小間隙點(diǎn)處都有公法線,用數(shù)學(xué)公式表達(dá)為

(9)

根據(jù)式(9)可以獲得鼓形齒聯(lián)軸器在純翻轉(zhuǎn)區(qū)最小間隙的位置。

如果式(9)無解或者解的范圍超出齒面邊界,則認(rèn)為齒輪發(fā)生邊緣接觸。由于鼓形齒的齒寬比內(nèi)齒圈小,故不考慮內(nèi)齒圈端面發(fā)生邊緣接觸的情況。

要判斷邊緣接觸具體發(fā)生在哪個(gè)邊緣,首先需要對齒輪邊緣進(jìn)行離散化處理,計(jì)算離散點(diǎn)處對應(yīng)的齒面間的間隙量,然后通過對比各點(diǎn)的間隙量,判斷出哪個(gè)邊緣處的間隙量最小,再根據(jù)邊緣接觸分析公式計(jì)算出邊緣最小間隙點(diǎn)的位置。鼓形齒聯(lián)軸器邊緣的離散點(diǎn)如圖6所示。以鼓形齒的齒頂和內(nèi)齒圈的齒面接觸為例,最小間隙點(diǎn)的求解公式為

(10)

(a)鼓形齒

(b)內(nèi)齒圈圖6 鼓形齒聯(lián)軸器邊緣離散點(diǎn)

dsh=Rf(φh1-φs1)

(11)

結(jié)合圖5b和圖7可以看出,在純翻轉(zhuǎn)區(qū),鼓形齒和內(nèi)齒圈工作面間和非工作面間均有大小為dsh的周向干涉量。因此,要保證鼓形齒和內(nèi)齒圈在傾角θ下不發(fā)生干涉,需使鼓形齒聯(lián)軸器的最小側(cè)隙C為

(12)

圖7 最小間隙量計(jì)算示意圖

4 算例分析

本節(jié)以文獻(xiàn)[5]中的鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)為例,運(yùn)用本文的最小側(cè)隙設(shè)計(jì)方法,得到了不同輪齒位置處最小間隙點(diǎn)在鼓形齒齒面的軌跡以及一個(gè)圓周的最小量分布,并與文獻(xiàn)[5]的結(jié)果進(jìn)行了對比。為了驗(yàn)證本文提出的鼓形齒聯(lián)軸器最小側(cè)隙設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性,與有限元計(jì)算結(jié)果也進(jìn)行了對比。表1為該鼓形齒聯(lián)軸器的基本參數(shù)。

表1 鼓形齒聯(lián)軸器的基本參數(shù)

將圖1中鼓形齒聯(lián)軸器位于純擺動(dòng)區(qū)(轉(zhuǎn)角0°)位置的鼓形齒輪齒記為輪齒1,順時(shí)針依次標(biāo)記為輪齒2、輪齒3,一直到輪齒52。由于Alfares的論文中只給出了8個(gè)輪齒位置處最小間隙點(diǎn)形成的軌跡,因此圖8和圖9分別給出了在傾角0.5°和1°下,這8個(gè)位置的鼓形齒齒面最小間隙點(diǎn)軌跡。

對比圖8a和8b、9a和9b可以看出:本文方法和Alfares方法得到的最小間隙點(diǎn)軌跡的形狀一致,但是某些輪齒的最小間隙點(diǎn)位置不一致,尤其在純翻轉(zhuǎn)區(qū)(輪齒13、輪齒39)附近,最小間隙點(diǎn)距離輪齒邊緣更遠(yuǎn),二者相距大約1/8齒寬。對比圖8a和9a可以看出:隨著傾角增大,純翻轉(zhuǎn)區(qū)(輪齒13、輪齒39)附近最小間隙點(diǎn)的位置更接近輪齒端面邊緣,更易發(fā)生邊緣接觸,而且大部分輪齒的最小間隙點(diǎn)都處于鼓形齒的齒頂和齒根邊緣。

(a)本文方法

(b)Alfares方法圖8 傾角0.5°下鼓形齒齒面不同位置最小間隙點(diǎn)軌跡

傾角為0.5°和1°時(shí),鼓形齒聯(lián)軸器的最小間隙分布如圖10所示,可以看出:當(dāng)傾角為0.5°時(shí),在純翻轉(zhuǎn)區(qū)(轉(zhuǎn)角90°、270°)附近,本文方法比Alfares方法計(jì)算得到的最小間隙小5 μm;當(dāng)傾角為1°時(shí),在純翻轉(zhuǎn)區(qū)附近本文方法比Alfares方法計(jì)算得到的最小間隙小40 μm。可見,本文方法計(jì)算得到的最小間隙比Alfares方法小,這是因?yàn)楸疚姆椒ǜ訙?zhǔn)確地找到了純翻轉(zhuǎn)區(qū)處的最小間隙點(diǎn)在鼓形齒齒面上的位置。

(a)本文方法

(b)Alfares方法圖9 傾角1°下鼓形齒齒面不同位置最小間隙點(diǎn)軌跡

圖10 鼓形齒聯(lián)軸器的最小間隙分布

為了驗(yàn)證本文求解的最小間隙點(diǎn)位置較Alfares方法更加精確,將本文結(jié)果與有限元結(jié)果進(jìn)行了對比。順時(shí)針從純擺動(dòng)區(qū)位置開始對鼓形齒輪齒編號(hào),依次計(jì)為輪齒1、輪齒2、輪齒3,一直到輪齒52。鑒于輪齒數(shù)目太多,圖11中只給出了奇數(shù)編號(hào)輪齒在扭矩100 N·m下,傾角0°、0.5°和1°的鼓形齒齒面接觸應(yīng)力云圖。從圖11a中可以看出,0°傾角下,鼓形齒與內(nèi)齒圈為線接觸,這是由于兩者在中截面處的齒廓形狀相同,同時(shí)也說明了本文建立的鼓形齒聯(lián)軸器齒面模型是精確的。對比圖11b和8a、11c和9a得出,傾角0.5°和1°下,本文方法和有限元方法得到的在純翻轉(zhuǎn)區(qū)(輪齒13、39)的最小間隙點(diǎn)均位于距離輪齒端面1/4和1/8齒寬處,說明了本文方法和有限元方法可以獲得一致的結(jié)果。因此,本文方法比Alfares方法更準(zhǔn)確。

(a)傾角為0°

(b)傾角為0.5°

(c)傾角為1°圖11 扭矩100 N·m下不同傾角的鼓形齒齒面接觸應(yīng)力分布

由式(12)給出的最小側(cè)隙設(shè)計(jì)公式和圖10給出的傾角0.5°、1°時(shí)的最小間隙分布可以得出,該鼓形齒聯(lián)軸器的最小側(cè)隙的設(shè)計(jì)量為0.036 mm和0.144 mm。如果鼓形齒和內(nèi)齒圈之間不存在傾角,則最小側(cè)隙的設(shè)計(jì)量為0 mm。由此可以看出,最小側(cè)隙設(shè)計(jì)量隨著傾角的增大而增大。

5 結(jié) 論

本文提出了一種用于鼓形齒聯(lián)軸器最小側(cè)隙設(shè)計(jì)的方法,并且與Alfares方法進(jìn)行了對比,之后通過有限元方法驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性,得到以下結(jié)論。

(1)在鼓形齒和內(nèi)齒圈之間傾角為0°時(shí),最小側(cè)隙設(shè)計(jì)量為0 mm。

(2)在傾角不為0°時(shí),無側(cè)隙的鼓形齒和內(nèi)齒圈將發(fā)生齒面干涉。因此,在傾角不為0°時(shí),需要計(jì)算在傾角下的最小側(cè)隙設(shè)計(jì)量。

(3)鼓形齒聯(lián)軸器的最小側(cè)隙設(shè)計(jì)量,為無側(cè)隙時(shí)純翻轉(zhuǎn)區(qū)的鼓形齒和內(nèi)齒圈工作面間的最小間隙量絕對值的2倍。

(4)最小側(cè)隙設(shè)計(jì)量隨著傾角的增大而增大。