(中國(guó)石油大學(xué)(華東) 化學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266580)

近年來(lái)，機(jī)械臂在工業(yè)生產(chǎn)、制造等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前很多任務(wù)如裝配、運(yùn)輸、焊接等需要多個(gè)機(jī)械臂操作末端相互配合、協(xié)作形式才能完成，一個(gè)單獨(dú)的機(jī)械臂無(wú)法實(shí)現(xiàn)這些任務(wù)[1-3]。因此，在工業(yè)應(yīng)用中采取多機(jī)器人系統(tǒng)外部同步、互同步、協(xié)同同步或主從同步等同步策略實(shí)現(xiàn)協(xié)作，共同完成給定任務(wù)[4]。同時(shí)由于多機(jī)械臂的關(guān)節(jié)空間同步在工程上的應(yīng)用有限，因此任務(wù)空間中的機(jī)械臂同步控制得到了越來(lái)越多的關(guān)注[5-6]。

機(jī)械臂系統(tǒng)是一個(gè)非線性的復(fù)雜系統(tǒng)，在控制過(guò)程中存在外界干擾、未建模運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致的不確定性。因此，建立各個(gè)單機(jī)械臂系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系，準(zhǔn)確估計(jì)不確定性，設(shè)計(jì)有效的同步控制算法是實(shí)現(xiàn)多機(jī)械臂任務(wù)空間同步的關(guān)鍵技術(shù)之一[7-10]。

針對(duì)機(jī)械臂同步控制的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外諸多研究已取得了較大進(jìn)展。文獻(xiàn)[11]針對(duì)主從機(jī)械臂的同步控制進(jìn)行研究，提出一種反饋控制策略，并驗(yàn)證了在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的同步控制效果，但其反饋控制器增益對(duì)關(guān)節(jié)角度十分敏感。文獻(xiàn)[12]提出一種空間多機(jī)械臂精準(zhǔn)協(xié)同控制方法，實(shí)現(xiàn)三維空間中機(jī)械臂在追蹤目標(biāo)過(guò)程中對(duì)期望軌跡的跟蹤，具有較高的精度和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[13]根據(jù)有向圖理論定義新的同步誤差，提出一種新的機(jī)械臂同步控制方法，可以補(bǔ)償從動(dòng)機(jī)械臂的不確定性并估計(jì)主動(dòng)機(jī)械臂的加速度。文獻(xiàn)[14]針對(duì)裝配任務(wù)中的多機(jī)械臂協(xié)同設(shè)計(jì)了一種新的自適應(yīng)同步控制算法，引入交叉耦合技術(shù)，設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制律可以保證位置誤差和同步誤差同時(shí)漸近穩(wěn)定。文獻(xiàn)[15]針對(duì)存在時(shí)變通信延遲和動(dòng)力學(xué)不確定性的異構(gòu)機(jī)械臂系統(tǒng)的任務(wù)空間同步控制進(jìn)行研究，并通過(guò)數(shù)值仿真和Phantom Omni機(jī)器人系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)算法的有效性。文獻(xiàn)[16]針對(duì)存在動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)不確定性的單個(gè)機(jī)械臂的軌跡跟蹤問(wèn)題進(jìn)行研究，提出一種新的非奇異終端滑?？刂扑惴ǎ纯紤]多個(gè)機(jī)械臂的同步問(wèn)題。盡管目前針對(duì)多機(jī)械臂同步控制的研究已經(jīng)取得了很多成果，但基于圖論方法的同步誤差和交叉耦合誤差研究還處于起步階段，如何有效處理多機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)不確定性仍需進(jìn)一步探索。

在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上，本研究運(yùn)用滑?？刂圃怼⑸窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和交叉耦合誤差方法，提出了一種基于圖論的多機(jī)械臂系統(tǒng)同步誤差和交叉耦合誤差算法，所設(shè)計(jì)的滑模同步控制器充分利用了滑?？刂频聂敯粜院蚏BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力，能夠在線估計(jì)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)不確定性，提高了機(jī)械臂的同步控制精度和同步控制的魯棒性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

n個(gè)機(jī)械臂在任務(wù)空間中進(jìn)行同步運(yùn)動(dòng)，完成同一操作任務(wù)的機(jī)械臂系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 多機(jī)械臂系統(tǒng)模型Fig.1 Multiple robotic manipulatorssystem model

運(yùn)用Euler-Lagrange方法在關(guān)節(jié)空間內(nèi)建立n個(gè)m關(guān)節(jié)串聯(lián)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，如式(1)：

(1)

在工程應(yīng)用中，大多數(shù)操作任務(wù)都是在任務(wù)空間中進(jìn)行規(guī)劃的，因此需要將機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型由關(guān)節(jié)空間轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中。設(shè)xi(t)∈Rm為任務(wù)空間中的位置坐標(biāo)向量，關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)可以通過(guò)式(2)轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中：

xi=hi(qi)，

(2)

其中，hi(·)∈Rm為關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間到任務(wù)空間的轉(zhuǎn)換函數(shù)。

(3)

其中，Ji(qi)∈Rm×m為關(guān)節(jié)空間到任務(wù)空間的Jacobian矩陣。

根據(jù)式(3)可以將關(guān)節(jié)空間中的機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中，如式(4)所示：

(4)

1.2 模型不確定性

由于實(shí)際機(jī)械臂系統(tǒng)的復(fù)雜性以及生產(chǎn)任務(wù)的多變性和靈活性，難以建立機(jī)械臂的精確模型，使得模型參數(shù)存在偏差。為了確保良好的控制效果和生產(chǎn)任務(wù)的順利完成，在建模過(guò)程中考慮這些不確定因素是十分必要的。

(5)

其中，Mi0(·)、Ci0(·)、Gi0(·)為動(dòng)力學(xué)標(biāo)稱項(xiàng)；Mi1(·)、Ci1(·)、Gi1(·)為動(dòng)力學(xué)不確定性。

考慮系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)不確定性，則：

(6)

將式(5)和式(6)代入動(dòng)力學(xué)方程(4)，可以得到：

(7)

其中fi為模型不確定性：

1.3 同步誤差

定義第i個(gè)機(jī)械臂的跟蹤誤差為：

ei=xid-xi。

(8)

根據(jù)無(wú)向圖理論，以每個(gè)機(jī)械臂為節(jié)點(diǎn)，互相之間的信息傳遞為邊，定義多個(gè)機(jī)械臂之間的連接權(quán)系數(shù)矩陣為：

其中aij=aji，且當(dāng)?shù)趇與第j個(gè)機(jī)械臂有信息傳遞時(shí)aij=1，否則aij=0。

L=P-A。

機(jī)械臂系統(tǒng)的同步誤差可以寫為如下形式：

(9)

定義機(jī)械臂的交叉耦合誤差：

(10)

2 同步控制器設(shè)計(jì)

由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在線學(xué)習(xí)非線性模型[17-19]，本研究應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模型不確定性進(jìn)行辨識(shí)逼近，并設(shè)計(jì)基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)滑模同步控制器。

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

根據(jù)上節(jié)定義的交叉耦合誤差(10)，定義滑模函數(shù)為如下形式：

(11)

其中，λ=λT>0。

滑模趨近律定義為：

(12)

其中，正定對(duì)角矩陣K1=diag(k11,k12,…,k1n)，K2=diag(k21,k22,…,k2n)，k1i=diag(k1i1,…,k1im)，k2i=diag(k2i1,…,k2im)，i=1,…,n。趨近律可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)快速到達(dá)滑模面。

機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型(7)可以轉(zhuǎn)換為如下形式：

(13)

定理1如果滑模面設(shè)計(jì)為(11)，趨近律設(shè)計(jì)為(12)，在模型不確定性f=0的情況下，機(jī)械臂系統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)如下：

τ=τ0+τ1，

(14)

證明：選取Lyapunov函數(shù)如下：

(15)

易知，V>0。將其對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得：

(16)

(17)

(18)

即系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

(19)

則：

(20)

由于L及ψ均為正定矩陣，由式(9)和式(10)可知，系統(tǒng)跟蹤誤差e及機(jī)械臂同步誤差ε是漸近穩(wěn)定的。證畢。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種單隱層三層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[20-21]。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 RBF Neural Network structure

其輸入x與其輸出y可以表示為如下形式：

(21)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律?。?/p>

(22)

定理2如果滑模面設(shè)計(jì)為(11)，趨近律設(shè)計(jì)為(12)，在模型不確定性f≠0的情況下，自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為(22)，機(jī)械臂系統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)如下：

τ=τ0+τ1+τ2，

(23)

證明：選取如下Lyapunov函數(shù)：

(24)

則有：

(25)

模型不確定性f由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì)，因此可以表示為如下形式：

f=WTh+ε，

(26)

(27)

可得：

(28)

(29)

已知外界干擾及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差均有界，當(dāng)滿足下列收斂條件時(shí)：

(30)

(31)

即系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

(32)

則：

(33)

由于L及ψ均為正定矩陣，由式(9)、式(10)可知，系統(tǒng)跟蹤誤差e及機(jī)械臂同步誤差ε是漸近穩(wěn)定的。證畢。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出同步控制算法的有效性和穩(wěn)定性，在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了兩個(gè)2連桿機(jī)械臂的同步仿真。

3.1 參數(shù)設(shè)定

假設(shè)所有的機(jī)械臂具有相同的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，但初始狀態(tài)不同，其關(guān)節(jié)空間中的動(dòng)力學(xué)方程形式如下：

其中：

γ1(q1,q2)=(m1+m2)r1cos(q2)+m2r2cos(q1+q2)，γ1(q1,q2)=m2r2cos(q1+q2)。

關(guān)節(jié)坐標(biāo)空間到任務(wù)空間的轉(zhuǎn)換矩陣如下：

機(jī)械臂Jacobian矩陣為：

機(jī)械臂系統(tǒng)的有關(guān)參數(shù)參考文獻(xiàn)[22]，設(shè)置如下：m1=0.5 kg，m2=1.5 kg，r1=1 m，r2=0.8 m，J1=5 kg·m，J2=5 kg·m，g=9.81 m/s2。

任務(wù)空間中期望軌跡設(shè)置為：

兩機(jī)械臂兩連桿沿x和y方向的初始位置和初始速度分別為：

控制器參數(shù)及拉普拉斯矩陣設(shè)置為：

網(wǎng)絡(luò)輸入取為：

隱層高斯基函數(shù)的取值若不合適，將使高斯基函數(shù)無(wú)法得到有效的映射，從而導(dǎo)致RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)效。故c按網(wǎng)絡(luò)輸入值的范圍取值：

3.2 仿真結(jié)果及分析

基于上述參數(shù)進(jìn)行Matlab仿真，仿真結(jié)果如圖3～9所示。

圖3 任務(wù)空間中機(jī)械臂軌跡跟蹤曲線Fig.3 Trajectories tracking of robotic manipulators in task space

圖4 機(jī)械臂x、y方向軌跡跟蹤Fig.4 Movement trajectories of robotic manipulators in x and y direction

圖3、圖4分別為機(jī)械臂在任務(wù)空間和x、y方向上的軌跡跟蹤結(jié)果?？梢钥闯觯瑑蓹C(jī)械臂在同步控制器(22)的控制作用下，均能從任意初始位置精確跟蹤期望軌跡，并實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動(dòng)，跟蹤誤差及同步誤差可以漸近收斂到0，且整個(gè)機(jī)械臂系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后不再發(fā)生較大的波動(dòng)。即模型不確定性可以被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)確估計(jì)，并被控制器τ3抵消。機(jī)械臂系統(tǒng)的輸入力矩如圖5所示。

圖5 兩連桿機(jī)械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩Fig.5 Joint driving torque of two connecting rod manipulators

為進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的同步控制器的有效性，在仿真時(shí)間第10秒對(duì)機(jī)械臂1施加一個(gè)時(shí)長(zhǎng)0.5 s的脈沖干擾，幅度為d′=25，同時(shí)以兩機(jī)械臂無(wú)同步耦合時(shí)的情況為對(duì)比，仿真結(jié)果如圖6～9所示。

圖6 兩機(jī)械臂x、y方向跟蹤誤差對(duì)比Fig.6 Tracking error comparison of the two robotic manipulators in x and y directions

圖7 兩機(jī)械臂x、y方向同步誤差Fig.7 Synchronization error of the two robotic manipulators in x and y directions

圖8 兩機(jī)械臂x、y方向跟蹤誤差對(duì)比(未同步)Fig.8 Tracking error comparison of the two robotic manipulators in x and y directions (unsynchronized)

圖9 兩機(jī)械臂x、y方向同步誤差(未同步)Fig.9 Synchronization error of the two robotic manipulators in x and y directions (unsynchronized)

圖6、圖7為機(jī)械臂在滑模同步控制器(23)作用下的軌跡跟蹤誤差和同步誤差，可以看出，當(dāng)機(jī)械臂1受到擾動(dòng)之后，機(jī)械臂2可以快速跟蹤上受擾動(dòng)機(jī)械臂，同步誤差保持在εx≤4.5×10-3m、εy≤0.02 m范圍內(nèi)。由仿真結(jié)果圖8、圖9可以看出，在受到脈沖干擾時(shí)機(jī)械臂1與機(jī)械臂2之間的同步誤差范圍為εx≤0.02 m、εy≤0.055 m，無(wú)法達(dá)到同步要求。

通過(guò)綜合分析仿真結(jié)果圖3～9，可以得到如下結(jié)論：通過(guò)合理設(shè)計(jì)控制器參數(shù)，利用本研究所提出的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂扑惴ǎ紤]系統(tǒng)存在運(yùn)動(dòng)學(xué)不確定性、動(dòng)力學(xué)不確定性和未知干擾，且機(jī)械臂之間存在交互影響的條件下，各機(jī)械臂即使存在較大的初始誤差，也能快速精確地跟蹤給定軌跡，且保證機(jī)械臂在受到擾動(dòng)的情況下也能實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動(dòng)，即本研究所提出的同步控制算法能夠滿足控制要求。

4 結(jié)論

本研究針對(duì)存在不確定性的多機(jī)械臂系統(tǒng)，對(duì)其任務(wù)空間中同步控制問(wèn)題進(jìn)行研究。綜合運(yùn)用滑?？刂啤BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和交叉耦合誤差等原理和方法，設(shè)計(jì)了一種新的滑模同步控制器。主要結(jié)論如下：

1) 提出一種新的基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂任務(wù)空間滑模同步控制算法，可以對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)不確定性等進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償，提高了同步控制精度及傳統(tǒng)滑?？刂破鬟m應(yīng)性。

2) 基于圖論理論定義同步誤差和交叉耦合誤差，在此基礎(chǔ)上所設(shè)計(jì)的滑模同步控制器可以保證機(jī)械臂在存在外界干擾的情況下實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動(dòng)。