劉興梓

試題命制素材提倡源于生活中的問題，最終為生活服務(wù).我們在試題命制探究過程中，應(yīng)該學(xué)會挖掘生活素材，注意直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng)之間密切關(guān)聯(lián).筆者結(jié)合一道試題命制與分析，與大家共享命制心路.

1 題目呈現(xiàn)f（m）的最小值為____.

2 考查目標(biāo)

這是一道函數(shù)最值問題，試題簡潔樸實(shí)，內(nèi)涵深刻.本題以初等型函數(shù)為載體，以探尋函數(shù)最小值為目標(biāo).主要考查線段和差最值、點(diǎn)到直線垂線段最短、直線方程的傾斜角、解直角三角形、兩點(diǎn)間距離公式、等腰三角形等知識;運(yùn)用函數(shù)方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識、數(shù)學(xué)語言互譯能力及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

3 命制過程

3.1 靈感來源

筆者翻閱數(shù)學(xué)與物理文化書籍，一則古老的數(shù)學(xué)問題引起了筆者的注意.

來源1 古老的胡不歸問題

有一則歷史故事說的是，一個(gè)身在他鄉(xiāng)的小伙子得知父親病危的消息后，便日夜趕路回家，然而他選擇回家路線不當(dāng)，最終當(dāng)他氣喘吁吁地來到父親面前時(shí)，老人才剛剛咽氣了.人們告訴他，老人在彌留之際，還在不斷喃喃的叨念：“胡不歸？胡不歸？……”

早期的科學(xué)家曾為這則古老的傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線（如圖1）.A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是砂土地帶.為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB.

他忽略了在驛道上行走要比在砂土地帶行走快的這一因素.如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長一些，但是速度可以加快），是可以提前抵達(dá)家門的.

那么這應(yīng)該是哪條路線呢？顯然，根據(jù)兩種路面的狀況和在其上面行走的速度值，可以在AC上選定一點(diǎn)D，小伙子從A走到D，然后從D折往B，可望最早到達(dá)B.用現(xiàn)代的科學(xué)語言表達(dá)就是：“己知在驛道和砂地上行走的速度分別為V1和V2，在AC上求一個(gè)定點(diǎn)D，使得A→D→B的行走時(shí)間最短.”

來源2 一道曾獲得省級學(xué)科命題獎(jiǎng)勵(lì)的自創(chuàng)題

筆者于2014年參加福建省九科高考命題活動，以古老的胡不歸問題為設(shè)計(jì)模式，題目設(shè)計(jì)如下：

如圖2，已知甲在岸上4點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)乙在B點(diǎn)處落水呼救，點(diǎn)B離岸上AC距離BC=30米，∠BAC=15°.甲在岸上跑步速度是水中游泳速度的√2倍，甲在水中游泳速度為3米/秒，設(shè)甲從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間為f秒，則f的最小值為____

.

解析 如圖2，作∠CAD= 45°，記甲在岸上P點(diǎn)處入水，過點(diǎn)P作PH上AD于點(diǎn)H，此時(shí)，AP=√2.PH.又由于甲在岸上跑步的速度是水中游泳速度的√2倍，于是甲在岸上A所花時(shí)間等價(jià)于PH在水中所花時(shí)間，即甲從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間為PH+PB在水中游所花時(shí)間.過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，由點(diǎn)到直線垂線段最短可知PH+ PB≥BE，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，日三點(diǎn)共線且點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)等號成立.

題目以實(shí)際生活產(chǎn)生的研究性問題為背景，關(guān)鍵解決方案設(shè)計(jì)中的最優(yōu)解.本題通過甲在岸上跑步速度與水中游泳速度之比，運(yùn)用構(gòu)造法把岸上的路程轉(zhuǎn)化為水中的路程，再利用點(diǎn)到直線垂線段最短對線段之和的最小值求解，找到甲的入水點(diǎn)，從而提出最優(yōu)方案.本題思維靈活，若用其他方法也可求解，但運(yùn)算量較大.題目設(shè)計(jì)接近生活，符合高考對數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的考查要求.

來源3 教材習(xí)題

人民教育出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版必修2第110頁B組第8題：己知O

本題注重代數(shù)語言與幾何語言互譯，注重問題本質(zhì)探索.解題若從代數(shù)單方面出發(fā)，解題難度明顯較大.若從代數(shù)中蘊(yùn)含的幾何本質(zhì)，則問題可迎刃而解.教材編者意圖，以題目引導(dǎo)學(xué)生注重幾何直觀的重要性，以題目引領(lǐng)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué).

3.2 命制設(shè)想

設(shè)想1針對“靈感來源1”尋求古老的胡不歸問題數(shù)學(xué)模型，揭示數(shù)學(xué)模型性質(zhì)，看是否能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來表示出來;

設(shè)想2在“靈感來源2”中，胡不歸問題可創(chuàng)編具有生活意義的數(shù)學(xué)應(yīng)用命題，這類數(shù)學(xué)文化題更貼近生活實(shí)際.從不同的高考命題角度看，此類型題能否再次設(shè)計(jì)成更加簡潔易懂的數(shù)學(xué)問題;

設(shè)想3通過“靈感來源3”，可以初步認(rèn)識在胡不歸問題中，搭起“數(shù)”與“形”的橋梁為兩點(diǎn)間的距離公式，命題設(shè)計(jì)可以從這一方面出發(fā).

3.3 改進(jìn)與定稿

鑒于以上“形”用“數(shù)”來表示，筆者決定用初等型函數(shù)形式體現(xiàn)問題，經(jīng)過初步探討，筆者命制初稿. 初稿若

說明題目直接以兩點(diǎn)間距離的形式體現(xiàn)函數(shù)，對于學(xué)生而言，不難找出可用兩點(diǎn)距離公式來轉(zhuǎn)化成解析幾何的形式，初稿后筆者發(fā)現(xiàn)，其一，題目暗含的運(yùn)用“形”轉(zhuǎn)化“數(shù)”太過明顯;其二，對于線段題建模是有誤差的.

第2稿若

說明經(jīng)過不斷思索，筆者降低題目難度并讓模型靠近胡不歸問題模型，使之達(dá)到命題有效性，解足問題，“2”改為“1”，使得點(diǎn)（m，m）與點(diǎn)（1，1）在直線y=x上，這時(shí)模型建立符合胡不歸問題了.雖然

的設(shè)定不是很滿意，于是決定在不改變問題背景和函數(shù)基本形態(tài)的情況下增加函數(shù)類型的復(fù)雜程度.

m∈R，則f（m）的最小值為____.

說明題目修改了函數(shù)的表示，部分以絕對值形式出現(xiàn)，這時(shí)題目函數(shù)的味道更濃，題目更加簡潔了，對學(xué)生而言解題難度也有所提升.

4 解題思路

4.1 試題條件及目標(biāo)

題目閱讀量較少，條件有二，其一是：函數(shù)f（m）輔助說明條件一.從試題條件一分析，此函數(shù)類型包含絕對值函數(shù)和根式函數(shù)，不是高中常見初等函數(shù)類型.

試題目標(biāo)為求f（m）的最小值.函數(shù)最值問題是高考命題、高中數(shù)學(xué)競賽命題、高校自主招生命題常見題型，解決此類問題經(jīng)常用到定義法、函數(shù)單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、換元法、配方法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法.

4.2 試題聯(lián)想

聯(lián)想1 |m-l|表示在數(shù)軸上點(diǎn)m到點(diǎn)1的距離;中點(diǎn)（m，m）到點(diǎn)（3，4）的距離.

由這兩個(gè)聯(lián)想結(jié)合函數(shù)類型，本題解題可以從“數(shù)”轉(zhuǎn)化“形”入手.

4.3 試題拱橋

從以上兩個(gè)聯(lián)想出發(fā)，還是無法得到兩個(gè)聯(lián)想之間有何聯(lián)系，這時(shí)需要適當(dāng)轉(zhuǎn)化，搭出|m-l|與成在平面直角坐標(biāo)系表示為

此時(shí)問題這可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（m，m）與（1，1）、（3，4）的關(guān)系.

當(dāng)A，C，D三點(diǎn)共線且CD上直線y=l時(shí)，|AD|+|AC|取最小值，即f（m）取最小值為3，此時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（3，3）.

6 從學(xué)科素養(yǎng)角度評價(jià)試題命制

6.1 對直觀想象素養(yǎng)的考查

直觀想象為高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，從以胡不歸問題模型的命題設(shè)計(jì)中，我們認(rèn)識到函數(shù)本身體現(xiàn)自然規(guī)律，數(shù)皆可化為形，解答若借助直觀想象，感知事物的形態(tài)，就可巧構(gòu)形與數(shù)的關(guān)系解決數(shù)學(xué)問題.可見直觀解決問題教學(xué)這種重要手段，是探索和形成論證思路的思維根本.通過直觀想象構(gòu)造論證求解，揭示函數(shù)本質(zhì)，體現(xiàn)思維自然規(guī)律.

6.2 對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查

此命題設(shè)計(jì)可讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化問題初步模型的探索過程，對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)是有益的.數(shù)學(xué)建模滲入命題及教學(xué)過程中，讓學(xué)生能夠累積用數(shù)學(xué)建模解決疑難問題的寶貴經(jīng)驗(yàn)，提升自身應(yīng)用能力，增強(qiáng)自身創(chuàng)新品質(zhì).胡不歸問題也是物理問題，跨學(xué)科設(shè)計(jì)題目，注重學(xué)科之間知識與技能關(guān)聯(lián)，有利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用模型解決問題能力.

參考文獻(xiàn)

[1]裴光亞.數(shù)學(xué)是過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2002（8）：22-24

[2]陳敏，吳寶瑩，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)從教學(xué)過程的維度[J].課程改革，2015（4）：37-38