陳長安

摘要：結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計一直是結(jié)構(gòu)設(shè)計的重點，在其中，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化則是最復(fù)雜最富有挑戰(zhàn)性并且最有效率的一種優(yōu)化方法，拓撲結(jié)構(gòu)的改變可以明顯提高結(jié)構(gòu)的性能，另一方面也可以大幅度減少結(jié)構(gòu)的用量，這就給很多難以解決的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題提供了可能性。針對指定頻帶簡諧激勵下阻尼約束結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題，建立能夠做到使共振峰值平方最小且限定了約束阻尼材料用量的約束阻尼板塊的拓撲優(yōu)化模型。分析各種拓撲優(yōu)化方法，最后采取漸進優(yōu)化算法（ESO）來求解拓撲優(yōu)化模型。

Abstract： Structural optimization design has always been the focus of structural design. Among them， structural topology optimization is the most complex and challenging and most efficient optimization method. The change of topology can significantly improve the performance of the structure. It is also possible to drastically reduce the amount of structure used， which opens up a number of difficult structural optimization problems. Aiming at the topology optimization problem of the damping constraint structure under the harmonic excitation of the specified frequency band， a topology optimization model of the constrained damping plate which can minimize the square of the resonance peak and limit the amount of the constrained damping material is established. Various topology optimization methods are analyzed， and finally ?the progressive optimization algorithm （ESO） is adopted to solve the topology optimization model.

關(guān)鍵詞：振動;簡諧力;約束阻尼結(jié)構(gòu);動力學(xué)拓撲優(yōu)化;靈敏度;共振峰值

Key words： vibration;harmonic force;constrained damping structure;dynamic topology optimization;sensitivity;resonance peak

中圖分類號：TB535 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1006-4311（2019）14-0147-03

1 ?結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化的研究現(xiàn)狀、意義和發(fā)展

1.1 結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計的研究現(xiàn)狀

結(jié)構(gòu)動力學(xué)的優(yōu)化設(shè)計作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的一個新興領(lǐng)域，也是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計理論的一個重要構(gòu)成，與此同時也是當(dāng)前工程結(jié)構(gòu)設(shè)計研究領(lǐng)域中的前列課題。其主要設(shè)計目的是為了滿足越來越重要的動力學(xué)環(huán)境對結(jié)構(gòu)設(shè)計提出的要求。長久以來，工程師以及設(shè)計師都在探索如何提高自己產(chǎn)品的動力性能。結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化能夠顯著地提高結(jié)構(gòu)的性能并大量減少結(jié)構(gòu)的重量，甚至可以讓原來無解的問題有解。它是結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域中挑戰(zhàn)性最大的研究領(lǐng)域。連續(xù)體拓撲優(yōu)化是指采用特定算法，決定需不需要在連續(xù)體內(nèi)開孔洞、開多少孔洞來減輕結(jié)構(gòu)的重量亦或是提高結(jié)構(gòu)的某些性能。桿系結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化一般指構(gòu)件的橫截面積、節(jié)點坐標(biāo)、節(jié)點之間連接方法的共同優(yōu)化。在這之上考慮固有頻率及動力響應(yīng)約束的文獻在國內(nèi)外極為少見，可見結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的深入研究對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計來說是非常迫切的。

并且結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓撲優(yōu)化設(shè)計是一種典型的結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題。結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓撲優(yōu)化設(shè)計的一個重要組成部分就是結(jié)構(gòu)頻率設(shè)計，它也包含著特征值反問題的部分。這種反問題求解非常困難，其困難之處在于反問題的解是否存在？如果存在，那么解又是否唯一？再者如何判斷優(yōu)化問題的解已經(jīng)收斂到了最值？關(guān)于這些問題的研究在國內(nèi)外非常的少見。

1.2 結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計的意義和發(fā)展

生產(chǎn)技術(shù)以及工業(yè)技術(shù)的飛速進步，尤其是航空航天工業(yè)進步帶來的需求帶動了高強度材料、大柔性結(jié)構(gòu)型的產(chǎn)量激增。這就使振動問題越來越受到關(guān)注。振動問題不僅出現(xiàn)在航天航空以及土木等部門，在更高端的核工程或者更普遍的水路運輸?shù)葞缀跛械墓こ填I(lǐng)域都普遍存在。結(jié)構(gòu)動力學(xué)的優(yōu)化設(shè)計是在常規(guī)優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)上為了解決關(guān)鍵結(jié)構(gòu)的振動嚴(yán)重問題而發(fā)展起來的，如飛機、航天器等的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的設(shè)計都是由許多部門協(xié)調(diào)完成的。當(dāng)設(shè)計人員給出動力性能指標(biāo)，強度要求以及設(shè)計人員進行給定具體外形以及拓撲條件下的優(yōu)化目標(biāo)時，結(jié)構(gòu)設(shè)計人員其實事先也并不清楚所給的性能指標(biāo)是否合理。由此可以看出：①在給定了初始設(shè)計目標(biāo)及動力性能指標(biāo)的情況下，首先我們要分析該優(yōu)化問題的解的存在性，這樣才可以不盲目優(yōu)化，并且可以用以構(gòu)造動力學(xué)拓撲優(yōu)化準(zhǔn)則。②研究新興結(jié)構(gòu)動力學(xué)拓撲優(yōu)化的方法，以提高結(jié)構(gòu)在動力工作環(huán)境時的性能，延長結(jié)構(gòu)的使用壽命，提高抗振性能。③該研究方向具有廣泛而深刻的研究意義和發(fā)展前景。小到各種機械零件，大到汽車飛機甚至橋梁隧道的設(shè)計。④動力學(xué)拓撲優(yōu)化的研究還有蘊含著長遠的學(xué)術(shù)意義，它超越了以往固定思維下的尺寸形狀優(yōu)化，將優(yōu)化的思想提高到了另一個廣闊的維度。

2 ?約束阻尼結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

2.1 拓撲優(yōu)化模型

在約束阻尼結(jié)構(gòu)受頻帶[ωi，ωh]的簡諧激勵下，如果頻帶內(nèi)出現(xiàn)單或多的共振頻率，則取共振峰值為X（ωi）。在理論研究中，我們常常將動柔度作為優(yōu)化的對象，進而優(yōu)化具體完整構(gòu)件的動力學(xué)性能。但是在實際工程應(yīng)用中，我們發(fā)現(xiàn)一些特定部位的頻率響必須重點考慮。所以本文選用激勵頻段內(nèi)結(jié)構(gòu)特定位置的共振峰值的平方為優(yōu)化對象，讓其盡量的小，用以表示減小振動。約束條件設(shè)置為約束阻尼材料用量。

最后為了不出現(xiàn)棋盤格現(xiàn)象，網(wǎng)格獨立濾波技術(shù)[3]就顯得尤為重要，網(wǎng)格獨立濾波技術(shù)簡單來說就是將目標(biāo)函數(shù)的靈敏度進行再分配，讓某一單元的靈敏度與它周圍單元的靈敏度聯(lián)系起來，具體操作方式就將某一單元特定半徑內(nèi)所有單元的靈敏度進行一個加權(quán)平均，把這個平均數(shù)作為該單元的靈敏度。

3 ?拓撲優(yōu)化方法的選擇

傳統(tǒng)的設(shè)計方法中，我們一般先設(shè)計一個初步方案，對初步方案進行結(jié)構(gòu)性能分析，然后再根據(jù)分析結(jié)果改進設(shè)計，再分析，再改進，這其實就是一個優(yōu)化的過程。由于設(shè)計參數(shù)與結(jié)構(gòu)性能的關(guān)系不夠明確，這種設(shè)計方法就會帶有很大的盲目性，導(dǎo)致最終設(shè)計結(jié)構(gòu)與最優(yōu)結(jié)構(gòu)相差甚大。于是就出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計宗旨是要求優(yōu)化和設(shè)計的過程同時進行。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計在理論上一般分為三個層次：

尺寸優(yōu)化：優(yōu)化變量為桿件的橫截面積或者板殼的厚度分布

形狀優(yōu)化：優(yōu)化變量為桿系結(jié)構(gòu)的結(jié)點坐標(biāo)或連續(xù)體外形

拓撲優(yōu)化：在桿系結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)中，優(yōu)化變量可以是桿件的結(jié)點位置、結(jié)點之間的桿系連接方式;在連續(xù)體結(jié)構(gòu)中，優(yōu)化變量一般認為是開孔數(shù)量，也就是說被優(yōu)化構(gòu)件連續(xù)體的內(nèi)任一點都有可能開有任意大小和形狀的孔洞。

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化最主要的面對對象就是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，總的來說，目前世界范圍內(nèi)基本上的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的研究者進行拓撲優(yōu)化操作時的主要步驟都是：在有限元分析理論基礎(chǔ)上，將被優(yōu)化結(jié)構(gòu)的設(shè)計域劃分成若干有限單元，再根據(jù)一定的優(yōu)化算法來判斷被優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計域里的各個單元哪些該保留哪些該部分保留甚至舍去，然后將設(shè)下的結(jié)構(gòu)聯(lián)系成為連續(xù)的孔洞結(jié)構(gòu)。均勻化法、變厚度法、變密度法、漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法以及基于類桁架的拓撲優(yōu)化方法是全世界拓撲優(yōu)化研究者研究的熱門方法，也是現(xiàn)今連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化領(lǐng)域里比較成熟的幾種方法。

3.1 均勻化方法

均勻化方法（Homogenization Method）這種方法由20世紀(jì)著名的法國物理學(xué)家Lions最早提出，這之后Bends？覬e等在Lions的基礎(chǔ)上，開始用空心單胞微結(jié)構(gòu)的尺寸作為優(yōu)化對象，然后把均勻化方法應(yīng)用到了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計當(dāng)中。

均勻化方法的應(yīng)用目前還極其困難和復(fù)雜，由于其均勻化彈性張量非常難解，與此同時其空心單胞微結(jié)構(gòu)的具體形狀也很難界定，再者其單胞結(jié)構(gòu)的函數(shù)靈敏度相較于其他方法也是很難分析。因為這些原因，均勻化拓撲優(yōu)化方法的求解過程的復(fù)雜性限制了該方法的深入研究和向外拓寬發(fā)展。

3.2 變厚度法

變厚度法（Variable Thickness Method）這種方法實際上可以被認為是連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法的鼻祖，該方法的拓撲優(yōu)化設(shè)計變量是基結(jié)構(gòu)中的單元厚度，這樣在設(shè)計單元里面改優(yōu)化問題其實已經(jīng)轉(zhuǎn)變成為了尺寸優(yōu)化的問題。這種變厚度方法的最大優(yōu)勢就是直觀簡潔，并且適用于大部分平面問題，譬如殼體或者薄板等。使用變厚度法中最具有代表性的研究有：Tenek和Hagiwara對于薄殼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化研究以及程耿東等對平面膜結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化研究等。

3.3 變密度法

變密度法則是在均勻化方法的基礎(chǔ)上改變而成的，它的設(shè)計變量是[0，1]區(qū)間里的材料密度。該方法運用了一個假定使得彈性模量可以有密度來表示，將這兩種物理量聯(lián)系起來，這樣做的目的就是把拓撲優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一種簡，的材料密度分配問題。變密度法有兩種模型：各向同性罰微結(jié)構(gòu)模型法（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）和 材料屬性有理近似模型法（Rational Approximation of Material Properties，RAMP）。使用這種變密度方法的具有代表性的研究主要有：王健和程耿東對應(yīng)力約束下平面彈性結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題的研究以及Mlejnek關(guān)于變密度法模型的研究等。

總的來說變密度方法是算法上比均勻化方法更便于實施且應(yīng)用更多的材料插值方法。它具有設(shè)計變量單一，計算不復(fù)雜，程序也相較下更加簡單等優(yōu)點。

3.4 基于類桁架的拓撲優(yōu)化方法

基于類桁架材料模型的優(yōu)化方法主要做法順序是：

①首先該方法的優(yōu)化對象是各項異性連續(xù)體，模型是特定的類桁架連續(xù)體材料模型。

②將被優(yōu)化對象的結(jié)點位置的材料密度和方向作為設(shè)計變量，這種設(shè)計方法可以確保被優(yōu)化對象在設(shè)計域內(nèi)是連續(xù)的。接下來以此建立優(yōu)化對象的彈性矩陣和剛度矩陣。這個過程不抑制中間密度或刪除單元，所以不會出現(xiàn)“單元鉸接”、“棋盤格”等數(shù)值不穩(wěn)定問題。

③借助有限元思想以及滿應(yīng)力準(zhǔn)則法，對優(yōu)化對象進行分析計算，接下來通過一定次數(shù)的迭代建立材料的密度方向的分布場，這就形成了類桁架連續(xù)體結(jié)構(gòu)。

從上面所述的方法可以看出來因為首先建立的拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)是各向異性連續(xù)體所以相比較于其他優(yōu)化方法這種方法具有更大的優(yōu)化空間。與此同時還可以結(jié)合工程實際需要將其轉(zhuǎn)化為離散的拓撲優(yōu)化桿系結(jié)。

這種基于類桁架材料模型的優(yōu)化方法的優(yōu)勢在于：

①首先采用類桁架材料模型得到拓撲優(yōu)化的不均勻各向異性連續(xù)體。這個過程不抑制中間密度或刪除單元，所以不會出現(xiàn)“單元鉸接”、“棋盤格”等數(shù)值不穩(wěn)定問題。比其他采用各向同性材料模型有更大的設(shè)計空間，更具有一般性。由于沒有或較少近似和假設(shè)，可以更接近理論上的最優(yōu)解。②根據(jù)優(yōu)化類桁架連續(xù)體結(jié)果，適當(dāng)選擇部分傳力路徑形成帶孔的均質(zhì)各向同性連續(xù)體，或離散的桿系結(jié)構(gòu)。③該優(yōu)化方法先優(yōu)化傳力路徑，形成類桁架連續(xù)體;然后用各向同性材料來代替類桁架材料，并優(yōu)化孔或桿的分布;最后形成帶孔均質(zhì)各向同性連續(xù)體或離散桁架。這樣避免了其他方法中將形成孔和優(yōu)化傳力路徑兩個問題在同個過程一起完成的困難。

基于類桁架材料模型的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法就是先用建立在理論上的優(yōu)化類桁架結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法以解決類桁架結(jié)構(gòu)的求解困難，然后離散化稱為均勻各向同性帶孔連續(xù)體或桁架結(jié)構(gòu)，以實現(xiàn)各向同性連續(xù)體和桿系結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化。

3.5 漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（Evolutionary Structure Optimization，ESO）是Xie和Steven于1993年提出的。這種漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法也就是ESO方法的基礎(chǔ)在于準(zhǔn)則設(shè)計法。該方法基本應(yīng)用方式和思路是：

①首先運用有限元思想，將被優(yōu)化對象進行有限個數(shù)的單元劃分，緊接著再計算各個劃分區(qū)域內(nèi)單元材料具體對我們設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)以及約束作出了多少的貢獻值。②在上一步的基礎(chǔ)上，根據(jù)各個單元網(wǎng)格內(nèi)部材料的貢獻程度決定該單元的去留。③重復(fù)上述操作直到達到迭代終止條件。

可以看出來ESO算法其實是基于一個基本的假定：一步一步刪除低貢獻度的單元以使整體結(jié)構(gòu)逐步完成優(yōu)化過程。經(jīng)過足量的研究和具體算例得出，這一假定事實上無法適用于每次迭代過程，只適用于一般情況。與此同時，該方法的研究大部分還在理論方面，工程實際應(yīng)用相較于其他方法還是不足。并且動力學(xué)特性以及響應(yīng)優(yōu)化方面的問題的研究相較于其他方法依然較少。然而本文在經(jīng)過多種方法的探尋后，發(fā)現(xiàn)漸進結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法更適合于本文的研究方向。

4 ?漸進優(yōu)化算法拓撲流程

總而言之，指定頻帶簡諧力激勵下約束阻尼結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化方法的具體操作過程和步驟總結(jié)起來是一個循環(huán)迭代的過程，具體操作如下：

①建立約束阻尼結(jié)構(gòu)有限元模型，并設(shè)定優(yōu)化相關(guān)參數(shù)。給定約束阻尼單元的密度值ρe為1。②對有限元模型進行模態(tài)分析，得出優(yōu)化所需的各個參數(shù)，例如約束阻尼單元的體積質(zhì)量、模態(tài)截斷的次數(shù)、剛度矩陣、模態(tài)振型還有約束阻尼結(jié)構(gòu)的固有頻率等。③靈敏度分析以及獨立網(wǎng)格濾波技術(shù)的執(zhí)行。④計算下一步迭代目標(biāo)的體積，確定刪除單元的最低門檻值，當(dāng)下一步計算出來的目標(biāo)體積低于設(shè)定的門檻值時，將其體積設(shè)定為我們初始設(shè)定的最小體積。⑤刪除靈敏度大于最低門檻值的約束阻尼單元，更新其設(shè)計變量ρe值為我們初始設(shè)定的最小密度比。⑥確認是否滿足材料體積的要求，如果不滿足，重復(fù)③～⑤，直至滿足約束阻尼材料體積約束條件，如果滿足，則結(jié)束迭代得出最終結(jié)果。

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