杜月嬌

1900年，巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會上，數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)表了題為“數(shù)學(xué)問題”的著名演講。在這個演講中，他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學(xué)問題。這些問題后來被統(tǒng)稱為“希爾伯特問題”，100多年過去了，希爾伯特問題有的已經(jīng)得到圓滿解決，有的至今懸而未決。

南京大學(xué)數(shù)學(xué)系教授劉公祥十分欽佩希爾伯特，不止源于希爾伯特樹起了19世紀(jì)末20世紀(jì)初國際數(shù)學(xué)界的一面旗幟，更因為他堅信每個數(shù)學(xué)問題都可以得到解決的信念。

“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數(shù)學(xué)中沒有不可知?！痹凇皵?shù)學(xué)問題”演講中，希爾伯特說道。

隔著一個時代，劉公祥依然能感受到這句話中澎湃的激情?！盁釔?堅持+勤奮”，這份赤子之心是他十?dāng)?shù)年數(shù)學(xué)之路上的行走秘籍。“做學(xué)問就要有一顆純粹的心去追求未知的世界，‘功利只能是一種額外獎賞，而不應(yīng)該是肩上的負(fù)重?！眲⒐檎f。

念念不忘，必有回響

1941年，德國數(shù)學(xué)家H.Hopf發(fā)現(xiàn)球面的上同調(diào)群具有特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。從此，Hopf代數(shù)這個嶄新的代數(shù)結(jié)構(gòu)迅速發(fā)展了起來。

“Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)最初來源于拓?fù)鋵W(xué)，它描述了一些拓?fù)淇臻g的對稱性，隨著研究的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)它不僅僅能描述拓?fù)淇臻g的對稱性，也能用來描繪量子世界的某種對稱性?！眲⒐榻榻B道，“Hopf代數(shù)與物理和數(shù)學(xué)的很多分支有著意想不到的聯(lián)系，例如共形場論、低維拓?fù)洹⒎墙粨Q幾何、特征p域上的代數(shù)群表示理論等。”

談起Hopf代數(shù)，劉公祥神采飛揚(yáng)。但在進(jìn)入安慶師范學(xué)院學(xué)習(xí)之前，劉公祥對數(shù)學(xué)并沒有太過偏愛。“一個農(nóng)村孩子，也不知道外面的世界是什么樣的”，他說。高考之前，青蔥少年劉公祥對未來的唯一概念就是“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”。為此，他毫無意外地在高考志愿表上填寫了3個專業(yè)志愿：數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)，而后順理成章地被安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)專業(yè)錄取。

大學(xué)生活推開了劉公祥人生中的一扇大門，真實地接觸到數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程后，他心底只余4個字來評判——精彩紛呈?！拔业男愿袷悄鎭眄樖苄偷模也皇且驗橄矚g數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是因為學(xué)了數(shù)學(xué)以后才喜歡上數(shù)學(xué)的。我并不知道自己喜歡什么，但是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之后就被這些理論吸引住了?！眲⒐檎\懇地說。對數(shù)學(xué)的“后天”熱愛，令劉公祥存了立志深造的心思。2000年，他考入浙江大學(xué)讀研，專業(yè)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

從安慶師范學(xué)院到浙江大學(xué)，劉公祥的路越走越寬，卻也難免迷茫?？佳袝r，他就發(fā)現(xiàn)，雖然在學(xué)過的專業(yè)上基礎(chǔ)十分扎實，但在面試階段，主考老師問到的拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科，他并沒有學(xué)習(xí)過?！爸R面窄，但精細(xì)”，這也是當(dāng)時他留給別人最大的印象。年輕時的劉公祥很介懷“知識面窄”，“跟留校的保送生相比，他們知道的東西簡直太多了，我知道的簡直太少了”。剛到浙江大學(xué)，劉公祥就為此自卑了。但好學(xué)的他，并不會讓自己一味沉淪于自卑感中，反而加倍勤奮起來。那時，他每天看書時間都不會低于12小時，長時間的用腦導(dǎo)致他有段時間早上連鬧鐘都叫不醒?！艾F(xiàn)在懂得是每天看書時間太長，大腦需要休息了，但那時經(jīng)常自責(zé)，怎么會睡過頭。”

一年過后，劉公祥終于迎頭趕上。最直觀的改變就是，別人知道的，他也知道，而且常常會知道得更深入，到了這時，反而是別人不大知道了?！拔沂莻€非常不聰明的人，堅持和勤奮讓我可以努力得到更多知識，這非常關(guān)鍵。”劉公祥謙遜地說。

2007年6月，劉公祥結(jié)束了在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的博士后研究工作，到南京大學(xué)任職。到2019年6月，他在南京大學(xué)就要滿12個年頭了。但他依然保留著大學(xué)時代的學(xué)習(xí)習(xí)慣，堅持和勤奮已經(jīng)成為一種自然而然的品格，融入他的血液當(dāng)中。

新方法，新“表示”

采訪中，劉公祥強(qiáng)調(diào)了一個時間——1986年。就在這一年，烏克蘭數(shù)學(xué)家Drinfeld在國際數(shù)學(xué)家大會上作了一個報告。報告中指出，量子群范疇和Hopf代數(shù)范疇事實上是等價的，Hopf代數(shù)還是Lie代數(shù)的量子化發(fā)展。這意味著量子群和Hopf代數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，從某種意義上說，Hopf代數(shù)就是量子代數(shù)。隨后數(shù)年中，量子群得到了長足的進(jìn)步，而Drinfeld也主要因為此而獲得了數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎——菲爾茲獎。

Drinfeld的觀點(diǎn)極大促進(jìn)了Hopf代數(shù)的發(fā)展：Lie理論的思想方法被重新應(yīng)用到Hopf代數(shù)的研究中。而對劉公祥來說，為Hopf代數(shù)研究引入新方法，也是他這些年來的重要工作之一。

“就是代數(shù)表示論”，劉公祥介紹道，“研究Hopf代數(shù)比較傳統(tǒng)的方法是環(huán)論的方法，我喜歡用表示論的方法”。代數(shù)表示論是一支興起于20世紀(jì)70年代的重要代數(shù)分支，主要研究有限維代數(shù)的不可分解表示和模范疇的整體構(gòu)造，其中的核心問題之一就是：給定一類代數(shù)，如何根據(jù)表示型來分類？

為此，他用了六七年時間去攻關(guān)basic Hopf代數(shù)表示型的完整分類，成功將Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)尤其是余乘結(jié)構(gòu)，與代數(shù)表示論及組合數(shù)論中的生成函數(shù)等建立了聯(lián)系，從而解決了Hopf代數(shù)及代數(shù)表示論的一個核心問題。

走進(jìn)量子世界

1989年，日本數(shù)學(xué)家Toshitake Kohno發(fā)現(xiàn)K-Z方程組導(dǎo)出的辮子群的單值化表示實際上是由一個泛R-矩陣給出的。1990年，Drinfeld希望通過K-Z方程組直接看出這個泛R-矩陣，從而為Kohno的發(fā)現(xiàn)給出一個直接的解釋。按照Drinfeld的設(shè)想，K-Z方程組背后應(yīng)該存在一個擬三角Hopf代數(shù)，但出人意料的是，最終結(jié)果卻是一個擬三角的擬Hopf代數(shù)。擬Hopf代數(shù)就這樣出現(xiàn)了，人們隨后發(fā)現(xiàn)這是一類如此自然的代數(shù)：即幾乎可以理解為表示范疇為張量范疇的代數(shù)。

但擬Hopf代數(shù)的發(fā)展是極為緩慢的：同樣在1990年，3位數(shù)學(xué)物理學(xué)家在理解一類全純頂點(diǎn)算子代數(shù)的表示范疇時，利用重構(gòu)理論構(gòu)造出一類新的代數(shù)——Dw（G），他們也證明出這是一類擬Hopf代數(shù)。隨后15年，Dw（G）居然成為唯一被知道的半單擬Hopf代數(shù)的新例子！

“從形式上來說，擬Hopf代數(shù)比Hopf代數(shù)要復(fù)雜得多。而且，擬Hopf代數(shù)的分類是在twist等價這么一個更加廣泛且自然的條件下進(jìn)行的?！眲⒐檎J(rèn)為，twist等價造成了兩重困境，一是令人懷疑是否根本無法構(gòu)造出真實的擬量子群;二是很難判斷一個擬Hopf代數(shù)是不是真實的。

轉(zhuǎn)機(jī)發(fā)生在2005年。這一年，Gelaki構(gòu)造了一類真實的擬Hopf代數(shù)，可以理解為Taft代數(shù)的擬Hopf類似，并用群的上同調(diào)給出了所構(gòu)造擬Hopf代數(shù)的真實性判斷。隨即，他又與Etingof合作完成了素數(shù)階循環(huán)群上的基本擬Hopf代數(shù)分類，不僅得到了一部分真實的擬Hopf代數(shù)，還至少讓人們意識到擬Hopf代數(shù)的余乘形式是非常不平凡的。2010年，Angiono極大推廣了Etingof-Gelaki的結(jié)果和方法，分類了循環(huán)群上的基本擬Hopf代數(shù)，但Angiono本質(zhì)上并沒能給出擬Hopf代數(shù)的新例子。

未知即動機(jī)。劉公祥認(rèn)為，他們可以在這一方向上努力。此前，劉公祥已經(jīng)利用箭圖分類了所有的點(diǎn)的擬三角Hopf代數(shù)。利用這一工具，他與合作者還進(jìn)一步完整刻畫了基本圈上的所有可能擬量子群結(jié)構(gòu)，不僅提供了新例子，還在事實上分類了有限表示型的擬Hopf代數(shù)。作為推論，他們還分類了所有的有限型張量范疇，為張量范疇的研究引入了新工具。2011年，這篇論文被投到權(quán)威數(shù)學(xué)物理期刊Comm.Math.Phys.上后，審稿人對此表示出了高度贊同，認(rèn)為其“得到了一個完整的分類結(jié)果”，并“從數(shù)學(xué)家的角度做出了簡明的介紹和清晰的闡述”。

2014年，劉公祥又發(fā)現(xiàn)了最為重要的小量子群，即Frobenius-Lusztig核，（sl2）的擬Hopf代數(shù)類似Q（sl2）是存在的。這一結(jié)果出來后，劉公祥備受鼓舞。他意識到，擬Frobenius-Lusztig核并不是通常Frobenius-Lusztig核的一種推廣，而是一種“平行”理論。從此，他們開始對一般擬Frobenius-Lusztig核進(jìn)行研究。

“我們證明了，對于每一個單Lie代數(shù)g，它們對應(yīng)的擬Frobenius-Lusztig核Q（g）都是存在的?！眲⒐榻榻B說。難能可貴的是，如果說以往發(fā)現(xiàn)的都是相對孤立的例子，他們所提出的就是一個批量生產(chǎn)產(chǎn)品的方法，在這個體系下，可以有大批量的真實的擬Hopf代數(shù)被構(gòu)造出來?！耙簿褪钦f，對于每一個單Lie代數(shù)g，它對應(yīng)的擬量子群不是真實的，但擬小量子群真實存在?！闭f起來有些繞口，但劉公祥依然欣慰，他們終于有希望去分類一部分有限維擬Hopf代數(shù)了。

“張量范疇與表示論相結(jié)合是一個極具潛力的發(fā)展方向，而研究它們的一個極為有效的語言就是擬Hopf代數(shù)。這個領(lǐng)域充滿未知，現(xiàn)在還是初級階段，我很難預(yù)言它下一步會發(fā)展成什么樣子，唯一可以斷言的就是這將是一個非常活躍的方向?！?/p>

劉公祥堅信這一點(diǎn)。2017年2月，他向國家自然科學(xué)基金委提交了優(yōu)秀青年科學(xué)基金項目申報，希望能夠得到更多支持來研究“量子代數(shù)與表示論（有限維基本擬Hopf代數(shù)的分類）”。從2018年啟動以來，該項目正在循序漸進(jìn)地開展，預(yù)計在2020年年底結(jié)題?！拔覀兊哪繕?biāo)是分類一大類的有限維擬Hopf代數(shù)，不僅可以得到大批量的真實的擬Hopf代數(shù)的例子和結(jié)構(gòu)，還將看到擬Hopf代數(shù)在張量范疇與表示論方面卓有成效的應(yīng)用?！眲⒐楸硎尽?/p>

“劉代數(shù)”

自1969年引入后，有限維Hopf代數(shù)的積分理論就被認(rèn)為具有非常優(yōu)美的性質(zhì)，是緊李群上的哈爾積分的類似物。與有限維相對的，自然是無限維。如何定義無限維Hopf代數(shù)的積分理論？一直以來，結(jié)果并不理想。

直到2005年前后，浙江大學(xué)盧滌明教授、美國華盛頓大學(xué)J.Zhang教授和復(fù)旦大學(xué)吳泉水教授合作引進(jìn)了同調(diào)積分概念，保持了通常積分的諸多美妙性質(zhì)，被證明是一種成功的推廣。3位作者猜測，所有滿足一定條件的Gelfand-Kirillov維數(shù)1（簡稱為GK-維數(shù)）的Hopf代數(shù)只有3類：無限維Taft代數(shù)、無限循環(huán)群的群代數(shù)和無限二面體群的群代數(shù)。而這個猜測基于同調(diào)積分理論的應(yīng)用，并受到一維連通代數(shù)群分類的影響。

對此，劉公祥也非常感興趣。他在工作中構(gòu)造出了第一個滿足條件的GK-維數(shù)1的Hopf代數(shù)的例子，從而回答了上述3位作者的猜測，為GK-維數(shù)1的Hopf代數(shù)分類工作做好了準(zhǔn)備。該文發(fā)表在Proc.Amer.Math.Soc上，并被數(shù)學(xué)領(lǐng)域著名SCI期刊Trans.Amer.Math.Soc.、Proc. Lond.Math.Soc.、J.Pure Appl. Algebra他引。

“我以前研究有限維Hopf代數(shù)分類，這個發(fā)現(xiàn)也受到了有限維的思想影響。或者說，這一類無限維Hopf代數(shù)中可以看到有限維的影子，是用有限維的知識找出一個新的無限維的例子?！眲⒐橹v述著他的思路。

成果發(fā)表后引起了國際學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注。2010年，K.Brown和J.Zhang在Proc.Lond.Math.Soc.上提出，可以在某些條件下完成GK-維數(shù)1的Hopf代數(shù)的分類。在這篇文章中，兩位作者重點(diǎn)突出了劉公祥的研究成果，將其構(gòu)造出的例子稱為“Lius algebra”（劉代數(shù)），并將他們自己構(gòu)造的一大類新的代數(shù)稱為“Generalized Lius algebras”（廣義劉代數(shù)）。

將研究成果冠以姓氏，這無疑是對一個研究者最大的贊同。劉公祥卻覺得，“這項工作給我?guī)淼淖畲笙矏偸强梢园l(fā)現(xiàn)很多新的Hopf代數(shù)分類”。近年來，在J.Zhang等人工作基礎(chǔ)上，劉公祥又與合作者構(gòu)造出一大類新例子，并徹底完成了該類Hopf代數(shù)的分類。2016年，該成果發(fā)表在權(quán)威數(shù)學(xué)期刊Adv.Math.上。在該系列結(jié)果出現(xiàn)之前，學(xué)術(shù)界普遍相信較低GK-維數(shù)的Hopf代數(shù)應(yīng)該都是pointed（點(diǎn)）的，而劉公祥構(gòu)造的新例子否定了這種看法，也充分展示了Hopf代數(shù)的復(fù)雜性。更加意外的是，在這些例子中還產(chǎn)生了一批新的半單Hopf代數(shù)?！斑@批新的半單Hopf代數(shù)值得進(jìn)一步研究”，劉公祥說。

激情燃燒的數(shù)學(xué)人生

“劉公祥是最活躍的年輕數(shù)學(xué)家之一，他在Hopf代數(shù)和量子群研究上貢獻(xiàn)很大。我要強(qiáng)調(diào)的是，基于身后的理論背景，他的研究成果都得到了具體的例子支持。我認(rèn)為他的潛力非常大?！眹H著名數(shù)學(xué)家A.Masuoka評價道。

劉公祥身上不乏這樣的高評價，但他卻說自己是一個“故事平淡”的人。一直以來，他都習(xí)慣勤勤懇懇地做好一切準(zhǔn)備，讓每個“下一步”都來得水到渠成。他認(rèn)為這是一種做學(xué)問應(yīng)有的態(tài)度。目前，他有3位博士在讀，并指導(dǎo)兩位博士后。他強(qiáng)調(diào)學(xué)生要自主，因為數(shù)學(xué)思想的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解，需要合作，更需要個人的主觀能動性。他們成立了兩個討論班，以讀經(jīng)典著作和論文為主題，相輔相成。

他自己熱愛數(shù)學(xué)，也希望學(xué)生們能夠從熱愛中去從事數(shù)學(xué)研究。講授“高等代數(shù)”課時，他通常把第一堂課設(shè)置為導(dǎo)讀課，在這堂課上建立起學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，以及對課程的整體印象。他注重講課激情，認(rèn)為教師的激情能夠感染學(xué)生。在研究生面試過程中，他還會通過聊家常來考察學(xué)生品德，并綜合考量學(xué)生的基礎(chǔ)程度及學(xué)習(xí)潛力。

“我對他們其實是有規(guī)劃的，生活上不嚴(yán)格，但是學(xué)習(xí)上很嚴(yán)?！眲⒐樽晕以u價道。但有趣的是，在“南數(shù)后花園”公眾號上，劉公祥聞名的并不是他所說的嚴(yán)格，而是幽默風(fēng)趣、靈活多變的授課風(fēng)格，甚至還擁有一個“公祥小天使”的愛稱。

他熱愛教學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，多年以來，在Hopf代數(shù)的分類研究上，他從未動搖過。用他的話說，即使事業(yè)生涯中難免遇到瓶頸，也不是對數(shù)學(xué)失去興趣，而僅僅是問題得不到有效進(jìn)展。“數(shù)學(xué)是一種抽象的語言。比如，人們可以看到一支筆、一根筷子，但是數(shù)字1是看不到的。這種抽象，對人類的思維提出了極大的挑戰(zhàn)。我從來不覺得數(shù)學(xué)枯燥，反而覺得這種挑戰(zhàn)特別具有吸引力?！?/p>

和所尊崇的希爾伯特一樣，劉公祥在數(shù)學(xué)研究上懷著一顆赤子之心，他不覺得有什么問題是永遠(yuǎn)無解的，只是更難破解而已。1930年，在接受哥尼斯堡（現(xiàn)俄羅斯加里寧格勒）榮譽(yù)市民的演講中，針對一些人信奉不可知論觀點(diǎn)，希爾伯特滿懷信心地宣稱：“我們必須知道 ，我們必將知道！”這句話，也寫在劉公祥的信條里。