魏春嶺，袁 泉，張 軍，王夢(mèng)菲

0 引 言

隨著空間任務(wù)要求的提高，越來(lái)越多的航天器要求進(jìn)行姿態(tài)快速機(jī)動(dòng)和穩(wěn)定控制.然而，對(duì)于具有大型撓性附件的航天器來(lái)講，快速機(jī)動(dòng)會(huì)激起附件的振動(dòng)，縱使姿態(tài)機(jī)動(dòng)到位了，平臺(tái)穩(wěn)定度指標(biāo)則長(zhǎng)時(shí)間達(dá)不到載荷工作要求，錯(cuò)失工作時(shí)間窗口.因此對(duì)于帶有低頻大型撓性附件的航天器，研究其快速機(jī)動(dòng)與穩(wěn)定的控制方法，控制機(jī)動(dòng)過(guò)程中其大型撓性附件的振動(dòng)具有重要意義[1-2].

為了解決大型航天器機(jī)動(dòng)時(shí)的撓性附件振動(dòng)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者提出了各種機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃方法，主要包括：多項(xiàng)式規(guī)劃法、正弦規(guī)劃法、指數(shù)規(guī)劃法等[3-4]，從原理上講，這些方法為工程化設(shè)計(jì)方法，主要是通過(guò)平滑姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑來(lái)減小撓性附件的振動(dòng).這些方法涉及的設(shè)計(jì)參數(shù)較多，主要是通過(guò)反復(fù)調(diào)整參數(shù)，然后仿真來(lái)驗(yàn)證機(jī)動(dòng)效果，缺乏理論設(shè)計(jì)依據(jù).

本文從本質(zhì)上分析附件振動(dòng)的原理，設(shè)計(jì)了一種基于濾波器的路徑規(guī)劃方法，該方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)，通過(guò)物理試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法能極大減小姿態(tài)穩(wěn)定的時(shí)間，相比不采用撓性抑制方法時(shí)的100～1 000 s級(jí)的振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)間，該方法能使姿態(tài)穩(wěn)定時(shí)間降低到幾秒鐘量級(jí).

1 系統(tǒng)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮一個(gè)中心剛體帶n個(gè)撓性附件的航天器，對(duì)撓性附件進(jìn)行有限元模態(tài)分析，第j個(gè)撓性附件的模態(tài)坐標(biāo)可表示為ηj=[ηj1ηj2…ηjl]T.

星體的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可表示為[5]

式中,Js為整星相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωb為星體的姿態(tài)角速度，在本文中上標(biāo)“×”代表相應(yīng)三維列陣的反對(duì)稱(chēng)斜方陣，Abaj為從附件坐標(biāo)系到本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，Hj為星體中心體與撓性附件j的耦合矩陣，Cj為附件j的阻尼陣，Kj為附件j的剛度陣，Torq為作用于星體的控制力矩.

1.2 姿態(tài)控制算法

ωb=ωe+Abdωd(3a)

其中Abd為從期望姿態(tài)到星體本體姿態(tài)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，ωe為誤差姿態(tài)角速度.

將式(3)代入式(1)，并整理得

其中：

星體的誤差姿態(tài)滿(mǎn)足下列運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

取控制器形式如下：

Tr=k1qe+k2ωe-

其中，k1，k2為正的常值.本文重點(diǎn)在于對(duì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題的研究，在此不對(duì)控制器的設(shè)計(jì)展開(kāi)分析，該控制器的穩(wěn)定性證明可見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

2 指令濾波設(shè)計(jì)方法

指令濾波設(shè)計(jì)方法的框圖如圖1所示.

圖1 指令濾波設(shè)計(jì)方法控制框圖Fig.1 Illustration of Command Filter Method

考慮對(duì)撓性附件的振動(dòng)抑制，撓性附件實(shí)際上是一個(gè)弱阻尼的二階振動(dòng)系統(tǒng)，它與航天器的耦合動(dòng)力學(xué)方程可改寫(xiě)為如下式子：

考慮機(jī)動(dòng)時(shí)繞歐拉軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)歐拉軸的方向余弦為VEuler,則有如下關(guān)系：

因此方程(8)可表示為

對(duì)a(t)設(shè)計(jì)如下形式的濾波器：

上述濾波器中，兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)是考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)、敏感器的慣性特性；兩個(gè)二階環(huán)節(jié)是考慮對(duì)撓性附件的振動(dòng)抑制能力，其參數(shù)設(shè)計(jì)方法可完全參考慣用的結(jié)構(gòu)濾波器設(shè)計(jì)方法，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7].不失一般性，可以根據(jù)實(shí)際需要，加入更多的一階環(huán)節(jié)、二階結(jié)構(gòu)濾波器(如低通濾波器、陷阱濾波器).

一般在不考慮撓性影響時(shí)，Bang-Bang姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)動(dòng)路徑按下列方式規(guī)劃過(guò)程見(jiàn)圖2所示.機(jī)動(dòng)過(guò)程分為勻加速度段、勻速段、勻減速段.設(shè)勻加速度段加速度為常值a，加速度時(shí)間為Δt1；勻速時(shí)間段為Δt2-Δt1；勻減速段的加速度為常值-a，減速時(shí)間段也為Δt1.如圖2所示，整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程機(jī)動(dòng)的角度為：

本論文提出利用設(shè)計(jì)的濾波器對(duì)上述Bang-Bang指令進(jìn)行濾波.由于通過(guò)濾波的指令，已經(jīng)考慮了執(zhí)行機(jī)構(gòu)、敏感器的動(dòng)態(tài)特性，同時(shí)利用結(jié)構(gòu)濾波器的思想，實(shí)現(xiàn)了對(duì)撓性附件的振動(dòng)抑制.下面證明：只要合理設(shè)計(jì)上述加減速持續(xù)時(shí)間，通過(guò)上述濾波器對(duì)指令進(jìn)行濾波后，機(jī)動(dòng)的角度仍然為aΔt1Δt2,從而滿(mǎn)足姿態(tài)機(jī)動(dòng)的需求.

對(duì)于圖2中的加速度段，機(jī)動(dòng)角度的拉氏變換為

下面以(11)式中的結(jié)構(gòu)濾波器為例，對(duì)濾波后的指令進(jìn)行分析，則經(jīng)過(guò)濾波后的姿態(tài)角為：

對(duì)上式求反拉式變換，則上述響應(yīng)在寬度為Δt1的方波輸入下，輸出為：

θ1(t)=θf(wàn)(s)-θf(wàn)(s-Δt1)(15)

于是有

等穩(wěn)定的極點(diǎn)都收斂后，該角度為：

在第一個(gè)方波輸入延時(shí)Δt2后，加入反向的另一個(gè)方波，即減速段，則其響應(yīng)角度為：

θss2(t)=θss1(t-Δt2)

上述兩項(xiàng)相加，即得最終的機(jī)動(dòng)角度：

θss(t) =θss1(t) +θss2(t) =aΔt1Δt2(19)

即通過(guò)上面的推導(dǎo)，可以看到，通過(guò)濾波后，要想使最終機(jī)動(dòng)的角度還為aΔt1Δt2，需要滿(mǎn)足的條件是上述θss1(t)、θss2(t)中的穩(wěn)定極點(diǎn)項(xiàng)收斂到足夠小，一般上述極點(diǎn)與撓性航天器的振動(dòng)模態(tài)相關(guān)，其收斂時(shí)間在振動(dòng)模態(tài)的周期的量級(jí)，比如對(duì)于0.1 Hz的振動(dòng)模態(tài)，其收斂時(shí)間約10 s，對(duì)于更高頻率，該收斂時(shí)間更短.因此通過(guò)本方法，可以保證在低頻模態(tài)情況下，系統(tǒng)收斂時(shí)間保持在低水平.

圖2 Bang-Bang機(jī)動(dòng)過(guò)程規(guī)劃方案Fig.2 Attitude Maneuver with Bang-Bang Method

3 仿真驗(yàn)證

3.1 數(shù)學(xué)仿真

設(shè)某大型航天器星體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

兩翼帆板的頻率為[0.318 0.92 1.728 1.883 4.83]Hz，其中第1階和第2階模態(tài)的耦合系數(shù)最大，是主要模態(tài).本文考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的響應(yīng)能力設(shè)計(jì)一個(gè)慣性低通濾波器，并針對(duì)第1、2階模態(tài)設(shè)計(jì)兩個(gè)陷阱波器，取三軸機(jī)動(dòng)指令濾波器形式如下：

其中，τ1=0.1，ξ1z=ξ2z=0.05，ξ1p=ξ2p=1.0，ω1z=ω1p=1.998 1，ω2z=ω2p=5.780 5.

滾動(dòng)軸、俯仰軸分別需要進(jìn)行20°、24°的姿態(tài)機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)角加速度最大值分別取0.025(°)/s2、0.03(°)/s2.仿真結(jié)果見(jiàn)圖3～圖13所示.通過(guò)圖3、圖4可以看到，進(jìn)行濾波后，加速度指令相比Bang-Bang指令，波形上約有變化，在跳變處變得連續(xù)，從圖5～圖7可以看到，角速度的最大值變化并不大，但機(jī)動(dòng)到位后，采用濾波算法，穩(wěn)定的時(shí)間要遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的Bang-Bang算法，Bang-Bang算法穩(wěn)定時(shí)間超過(guò)了100 s，而采用濾波算法后，穩(wěn)定的時(shí)間在幾秒量級(jí)，不超過(guò)10 s.因此對(duì)振動(dòng)的抑制效果非常顯著.圖8、圖9分別為滾動(dòng)軸、俯仰軸機(jī)動(dòng)角速度曲線，兩軸分別在Bang-Bang算法和本文濾波算法下，均機(jī)動(dòng)到了期望角度；圖10、圖11分別為Bang-Bang算法和本文濾波算法中星體實(shí)際的控制力矩，可以看到，兩者在幅值和波形上區(qū)別并不大，但結(jié)合上述分析，對(duì)星體角速度的穩(wěn)定時(shí)間的影響卻區(qū)別非常大；同樣，還可以通過(guò)圖12、圖13對(duì)比Bang-Bang算法和本文濾波算法中撓性模態(tài)的振動(dòng)情況，可以看到傳統(tǒng)的Bang-Bang算法，撓性模態(tài)得到了很大的激勵(lì)，是典型的二階撓性模態(tài)的振動(dòng)，但采用本文的濾波算法后，撓性模態(tài)只變形，基本上不振動(dòng)，機(jī)動(dòng)過(guò)程中處于一種近似靜止的靜態(tài)變形，其最大形變幅度與Bang-Bang算法在一個(gè)量級(jí)，但其振動(dòng)幅度比Bang-Bang要小二個(gè)量級(jí)以上.

圖3 滾動(dòng)軸角加速度濾波前后對(duì)比圖Fig.3 Angular Acceleration in Roll Axis

3.2 物理試驗(yàn)

本次試驗(yàn)采用單軸氣浮臺(tái)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量約為150 kg·m2左右.采用專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的撓性模擬板模擬衛(wèi)星太陽(yáng)翼的撓性特性.其尺寸為：3 700 mm×300 mm×5 mm，材料為鋼.

本試驗(yàn)中，為了突出撓性附件的振動(dòng)特性，在太陽(yáng)翼模擬器的端部安裝砝碼，使其基頻降低到0.1 Hz.針對(duì)該模態(tài)頻率，設(shè)計(jì)如下濾波器：

其中，τ1=0.1，ξ1z=0.05，ξ1p=1.0，ω1z=ω1p=0.628 3.

圖4 俯仰軸角加速度濾波前后對(duì)比圖Fig.4 Angular Accelerations in Pitch Axis

圖5 滾動(dòng)軸角速度濾波前后對(duì)比圖Fig.5 Angular Velocities in Roll Axis

圖6 滾動(dòng)軸角速度濾波前后對(duì)比圖(放大)Fig.6 Detailed Angular Accelerations in Roll Axis

圖7 俯仰軸角速度濾波前后對(duì)比圖(放大)Fig.7 Detailed Angular Accelerations in Pitch Axis

圖8 滾動(dòng)軸機(jī)動(dòng)角度Fig.8 Angles in Roll Axis

圖9 俯仰軸機(jī)動(dòng)角度Fig.9 Angles in Pitch Axis

采用濾波器方法時(shí)，進(jìn)行了30°的機(jī)動(dòng)，仿真結(jié)果可以看到，進(jìn)行30°機(jī)動(dòng)時(shí)，機(jī)動(dòng)加穩(wěn)定的時(shí)間不過(guò)40 s，采用本文中設(shè)計(jì)的濾波器方法后，穩(wěn)定的時(shí)間小于10 s，整個(gè)系統(tǒng)機(jī)動(dòng)和穩(wěn)定的時(shí)間遠(yuǎn)小于項(xiàng)目預(yù)期指標(biāo).

而采用普通的Bang-Bang方法做機(jī)動(dòng)時(shí)，撓性附件激起的振動(dòng)持續(xù)時(shí)間達(dá)到近100 s.采用本文所用的濾波方法，將穩(wěn)定時(shí)間降低了約90%.

圖10 Bang-Bang指令下三軸控制力矩Fig.10 Control Torques in Bang-Bang Command

圖11 濾波后三軸控制力矩Fig.11 Control Torques in Command Filter

圖12 濾波前后第一模態(tài)坐標(biāo)對(duì)比圖Fig.12 Vibration of First Mode

圖13 濾波前后第二模態(tài)坐標(biāo)對(duì)比圖Fig.13 Vibration of Second Mode

圖14 單軸氣浮臺(tái)照片F(xiàn)ig.14 Air Floating Test-bed in Single Axis

圖15 平行構(gòu)型安裝的SGCMGFig.15 SGCMG in Parallel Configuration

圖16 機(jī)動(dòng)角度Fig.16 Maneuver Angles

圖17 機(jī)動(dòng)角度放大圖Fig.17 Detailed Maneuver Angles

圖18 機(jī)動(dòng)角速度Fig.18 Maneuver Angular Velocities

圖19 機(jī)動(dòng)角速度放大圖Fig.19 Detailed Maneuver Angular Velocities

4 結(jié) 論

針對(duì)低頻模態(tài)航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制，本文設(shè)計(jì)了基于濾波方法的機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃，結(jié)合姿態(tài)跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了撓性航天器機(jī)動(dòng)后的快速穩(wěn)定控制.相對(duì)Bang-Bang及其它機(jī)動(dòng)路徑規(guī)劃方法，本方法的特點(diǎn)是參數(shù)設(shè)計(jì)有依據(jù)，可針對(duì)具體航天器對(duì)象的撓性模態(tài)頻率進(jìn)行針對(duì)性設(shè)計(jì)，并且機(jī)動(dòng)到位后穩(wěn)定時(shí)間可預(yù)判，約為航天器主導(dǎo)撓性模態(tài)的振動(dòng)周期.通過(guò)數(shù)學(xué)仿真和物理試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性和結(jié)論的正確性.