韓 冬，郭建新，郭廷榮，高益軍

0 引 言

低軌小衛(wèi)星常用磁力矩器與地球磁場相互作用產(chǎn)生力矩，用于衛(wèi)星的角動(dòng)量卸載和姿態(tài)控制.LEO軌道的地球磁場強(qiáng)度較大，一般為20 000 nT左右，使用小型的磁力矩器就可以產(chǎn)生10-4N·m～10-3N·m的力矩.對于太陽同步軌道，衛(wèi)星對地定向狀態(tài)下的地磁場強(qiáng)度周期變化的，可以通過選擇合適的位置開啟磁力矩器產(chǎn)生合適力矩進(jìn)行角動(dòng)量卸載[1]或者使用三軸磁力矩器進(jìn)行姿態(tài)控制[2].對于高軌衛(wèi)星，由于地球磁場較弱，一般不使用磁力矩器.然而高軌衛(wèi)星受到的干擾力矩以太陽光壓力矩為主，量級一般小于10-5N·m，若采用磁力矩器進(jìn)行角動(dòng)量卸載，也可以避免使用推力器卸載時(shí)對軌道產(chǎn)生的影響，當(dāng)對衛(wèi)星軌道的預(yù)報(bào)精度要求較高時(shí)，可以采用磁力矩器進(jìn)行角動(dòng)量卸載.

1 靜止軌道的磁場

對于地球靜止軌道衛(wèi)星，地理緯度δ為小量，對IGRF地磁場模型取前兩階，并做簡化如下：

式中,Br為徑向的地磁場分量，Bλ為地理經(jīng)度方向的地磁場分量，Bδ為地理緯度方向的分量，

式中，R0為地磁半徑，a是GEO軌道的半長軸.

地磁場在GEO衛(wèi)星軌道系分量可以近似為

基于該磁場模型，磁場方向主要在沿Y軸，衛(wèi)星就不在Y軸安裝測力矩器.Z軸的磁力矩器產(chǎn)生的Y方向力矩較小.X軸磁力矩器對Y軸的卸載能力更強(qiáng).

圖1 地磁場的XZ分量與定點(diǎn)地理經(jīng)度的關(guān)系Fig.1 The relationship for X/Z components ofmagnetosphere and longitude

GEO的磁場由于高度較高，易受太陽風(fēng)導(dǎo)致的磁暴事件的影響.當(dāng)強(qiáng)磁暴發(fā)生時(shí)，磁層頂部由于受到高速太陽風(fēng)的劇烈擠壓而被壓縮到地球同步軌道之內(nèi)，發(fā)生同步軌道磁層頂穿越事件.此時(shí)不僅會因所處的磁場環(huán)境發(fā)生變化而影響姿態(tài)，還會因?yàn)槭チ舜艌龅谋Ｗo(hù)而使衛(wèi)星直接受到太陽風(fēng)的沖擊.更加精確的描述靜止軌道位置處的磁場可以采用Tyganenko模型[3-4]，這個(gè)模型是結(jié)合磁場觀測資料和一定的物理考慮建立起來的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，模型甚至能夠近似磁暴期間的磁場變化情況[5].但是該模型比較復(fù)雜，難以用來進(jìn)行磁卸載策略的設(shè)計(jì).這里根據(jù)美國GOES衛(wèi)星磁強(qiáng)計(jì)的測量結(jié)果[6]，驗(yàn)證上述近似磁場強(qiáng)度度的正確性.圖2為GOES14和GOES15衛(wèi)星測量的2019年6月11日至6月13日的磁場強(qiáng)度值.可以看到明顯的天周期特性，但是其平均值與上述近似模型的結(jié)果都在100 nT左右.磁力矩器工作時(shí)產(chǎn)生的力矩也很小，需要靠長時(shí)間的積累來產(chǎn)生角動(dòng)量，磁場強(qiáng)度的周期性變化對積累角動(dòng)量的影響較小，因此上述近似模型可以用于磁卸載的策略的計(jì)算.

圖2 GOES14和GOES15衛(wèi)星在軌測量的地磁場強(qiáng)度Fig.2 Magnetometer measurements ofGEOS 14 and GEOS 15

2 磁卸載方法

GEO衛(wèi)星的干擾力矩具有軌道周期特性，周期變化的角動(dòng)量可以由動(dòng)量輪吸收，是不需要卸載的.只有長期積累的角動(dòng)量需要卸載.因此，可以每天進(jìn)行一次卸載規(guī)劃，根據(jù)當(dāng)前需要卸載的角動(dòng)量確定后續(xù)一天的卸載計(jì)劃.

若沿衛(wèi)星的X軸安裝磁力矩器，其產(chǎn)生的本體系的力矩為：

[M0 0]T×[BxByBz]T=

[0 -MBzMBy]T

其中M為磁力矩器的磁矩.

Z軸的磁力矩器產(chǎn)生的本體系的力矩為：

[0 0M]T×[BxByBz]T=

[-MByMBx0]T.

假定X軸磁力矩器的磁矩為400 Am2，磁力矩器工作，產(chǎn)生的Y軸力矩約為1.2×10-5N·m，產(chǎn)生的Z軸力矩約為4.0×10-5N·m.累計(jì)一天，Y軸每天最大卸載能力為1.0 N·m·s，XZ平面內(nèi)每天的最大卸載能力為2.2 N·m·s.但兩個(gè)方向的卸載能力不可能同時(shí)達(dá)到最大值.

下面對磁棒的卸載開關(guān)控制律進(jìn)行推導(dǎo).忽略姿態(tài)偏差、軌道傾角的影響，沿衛(wèi)星星體X軸方向安裝的磁力矩器產(chǎn)生的力矩在慣性系為：

沿衛(wèi)星星體Z軸方向安裝的磁力矩器產(chǎn)生的力矩在慣性系為：

式中，α是衛(wèi)星的赤經(jīng)，此處所述的慣性系與衛(wèi)星過春分點(diǎn)時(shí)刻的軌道系重合.X軸磁力矩器和Z軸磁力矩器產(chǎn)生力矩相比，在XZ平面內(nèi)大小相同，僅在相位上差90°.Y方向產(chǎn)生的力矩分別與Bz和Bx有關(guān).

從上式可以看出，Y軸需要卸載的角動(dòng)量能夠唯一確定磁力矩器正向通電還是負(fù)向通電，兩個(gè)磁力矩器在Y方向上的力矩大小分別與Bz/Bx相關(guān).在此基礎(chǔ)上，可以選擇磁力矩器工作的“赤經(jīng)”來滿足XZ方向的卸載力矩需求.X/Z兩個(gè)磁力矩器在XZ平面上的力矩相同，只是相位相差90°.因此下面基于X軸磁力矩器單獨(dú)工作，對卸載方法進(jìn)行討論.

磁力矩器采用開關(guān)設(shè)計(jì)，只要開啟，其產(chǎn)生的磁矩就是最大磁矩.每個(gè)磁力矩器有正向通電、反向通電和關(guān)三種狀態(tài).通過調(diào)節(jié)開關(guān)時(shí)間，可以得到需要的力矩和角動(dòng)量累積量.設(shè)磁力矩器在開啟時(shí)刻的相對赤經(jīng)為αON,關(guān)閉時(shí)刻的相對赤經(jīng)為αOFF，則對X軸磁力矩器慣性系下的力矩進(jìn)行積分得到磁力矩器工作產(chǎn)生的角動(dòng)量為：

其中ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度.

設(shè)當(dāng)前需要卸載的角動(dòng)量為ΔH=[ΔHxΔHyΔHz]T.將X軸和Z軸的產(chǎn)生的卸載角動(dòng)量分別與需要卸載的角動(dòng)量相反，得到XZ平面的卸載方程：

其中arctan2(y,x)函數(shù)表示反正切函數(shù)，但其結(jié)果的取值范圍為[-π,π).

將Y軸產(chǎn)生的卸載角動(dòng)量與所需卸載角動(dòng)量相反，得到Y(jié)軸方向的卸載方程：

首先，根據(jù)ΔHy確定磁力矩器的正負(fù)通電狀態(tài)：

然后，根據(jù)XZ平面內(nèi)的角動(dòng)量卸載方程可以得到：

或

兩組解分別對應(yīng)磁力矩器工作時(shí)間小于半圈和大于半圈.為了兼顧Y軸的卸載，可以從兩個(gè)解中選出對Y軸卸載較為有利的一組解.對兩組解分別計(jì)算卸載完成后Y軸剩余的“角動(dòng)量”即|αOFF-αON-2αy|,并取該值較小的一組解.

磁力矩器第一次通電弧段：

磁力矩器第二次通電弧段：

綜上所述，磁力矩器每天的工作模式有四種，如圖3所示.模式A和模式B均為一次通電，模式A的通電時(shí)間小于半個(gè)軌道周期，模式B的通電時(shí)間大于半個(gè)軌道.模式C和模式D均為正負(fù)兩次通電，模式D的兩次通電各半個(gè)軌道周期，模式C第一次通電時(shí)間為半個(gè)軌道周期，第二次通電隨時(shí)間小于半個(gè)軌道周期.

這四種模式下，對XZ平面和Y方向的卸載能力是不同的.圖4給出了在兩個(gè)磁力矩器同時(shí)工作的情況下的卸載能力范圍、卸載工作模式的對應(yīng)關(guān)系.每一天的磁卸載產(chǎn)生的角動(dòng)量對應(yīng)圖中模式A/B/C/D曲線上的某一點(diǎn).坐標(biāo)橫軸和縱軸表示每天的干擾角動(dòng)量累計(jì)量.當(dāng)干擾角動(dòng)量在模式B和模式C兩條線圍成區(qū)域以下時(shí)，磁卸載能自動(dòng)在四個(gè)模式之間自動(dòng)切換，完成三軸角動(dòng)量卸載.在模式B/C兩條線以上區(qū)域時(shí)，只有XZ方向的角動(dòng)量可完全卸載，Y方向的角動(dòng)量將逐漸累積.當(dāng)每天累計(jì)角動(dòng)量在D區(qū)時(shí)，兩個(gè)方向的角動(dòng)量都不能完全卸載，都將逐漸累積.當(dāng)每天累計(jì)角動(dòng)量在D區(qū)時(shí)，會出現(xiàn)卸載模式始終在D模式下運(yùn)行.此時(shí)XZ平面內(nèi)卸載較多，Y方向不進(jìn)行卸載.Y方向也有可能累計(jì)較快.此時(shí)可以通過引入XZ平面內(nèi)的卸載比例系數(shù)kxz,使得XZ平面內(nèi)在一圈內(nèi)可以卸載量為kxzαx和kxzαz,同時(shí)對Y軸又產(chǎn)生了一定的卸載作用，這樣可以調(diào)節(jié)三軸角動(dòng)量的增長速度.圖中左上角的四個(gè)圓點(diǎn)表示某GEO衛(wèi)星在光壓力矩作用下每天的角動(dòng)量積累量，在不同的季節(jié)有不同的值.四個(gè)點(diǎn)均在區(qū)域B中，說明磁力矩器可以實(shí)現(xiàn)卸載，并且一般都工作在模式B下.

圖3 四種角動(dòng)量卸載工作情況示意圖Fig.3 Four kinds of angular momentum unloading modes

圖4 卸載工作區(qū)域劃分和能力范圍Fig.4 Unloading region and unloading scope

3 磁卸載策略仿真

使用以上的卸載策略進(jìn)行仿真.仿真中，衛(wèi)星在每天的固定時(shí)間進(jìn)行磁卸載策略計(jì)算，根據(jù)當(dāng)前的角動(dòng)量進(jìn)行下一次卸載規(guī)劃.隨后的一天中，按照計(jì)算結(jié)果控制開關(guān)磁力矩器.一天后，再根據(jù)當(dāng)時(shí)的衛(wèi)星三軸角動(dòng)量重新計(jì)算卸載策略.

3.1 仿真算例一

衛(wèi)星本體系下光壓力矩包含常值項(xiàng)和周期項(xiàng)，即以下的形式：

Ti=T0+T1icos(u-u0i),其中i=x,y,z

由于是在衛(wèi)星本體下表示的力矩，其在角動(dòng)量積累上影響三軸是不同.對于Y軸，常值項(xiàng)引起角動(dòng)量積累，周期性引起角動(dòng)量周期變化；對于X軸和Z軸，常值項(xiàng)引起角動(dòng)量周期變化，周期項(xiàng)引起角動(dòng)量積累.

仿真算例一的三軸常值項(xiàng)為[0.5 5 0.5]，三軸周期項(xiàng)為[10 22 -10]，干擾力矩的單位為10-6N·m.在這種設(shè)置下，衛(wèi)星Y軸角動(dòng)量累積較快.從圖6磁力矩器工作弧段看，其工作模式在A和B之間切換，大部分時(shí)間工作在模式A，每隔1～2天出現(xiàn)一次模式B.

圖5 仿真算例一角動(dòng)量變化情況及磁力矩器產(chǎn)生的卸載力矩Fig.5 Angular momentum and the torque madeby magnetorquer of example 1

圖6 仿真算例一磁力矩器工作弧段Fig.6 Magnetorquer work arc for example 1

3.2 仿真算例二

仿真算例二的三軸常值項(xiàng)為[0.5 5 0.5]，三軸周期項(xiàng)為[40 22 -40]，干擾力矩的單位為10-6N·m.在這種設(shè)置下，衛(wèi)星三軸角動(dòng)量累積較快.當(dāng)kxz=1.0進(jìn)行仿真發(fā)現(xiàn)磁力矩器始終工作在模式D，導(dǎo)致Y角動(dòng)量增長較快.將XZ卸載比例kxz設(shè)置為0.8，仿真結(jié)果如下圖所示.磁力矩器工作模式大部分都是模式C.XZ平面內(nèi)的角動(dòng)量和Y軸的角動(dòng)量增長速度比較均勻.仿真60天，XZ平面內(nèi)的角動(dòng)量增加到27 N·m·s左右，Y軸角動(dòng)量增長到13 N·m·s左右.

圖7 仿真算例二角動(dòng)量變化情況及磁力矩器產(chǎn)生的卸載力矩Fig.7 Angular momentum and the torque madeby magnetorquer of example 2

圖8 仿真算例二磁力矩器工作弧段Fig.8 Magnetorquer work arc for example 2

4 結(jié) 論

針對GEO衛(wèi)星使用磁力矩器進(jìn)行角動(dòng)量卸載問題，首先基于近似的地磁場模型分析了同步軌道上磁場的特征.由于地球靜止軌道的地磁場強(qiáng)度基本為常值，磁卸載方法與低軌衛(wèi)星有較大的差別.根據(jù)開關(guān)式磁力矩器產(chǎn)生力矩的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了GEO衛(wèi)星的磁卸載方案.對于中國上空的GEO衛(wèi)星，采用一個(gè)沿衛(wèi)星X軸安裝的磁力矩器，對赤道平面內(nèi)(XZ平面)的角動(dòng)量和南北極方向(Y方向)的角動(dòng)量有四種卸載工作模式.星上每天根據(jù)星體角動(dòng)量積累情況，計(jì)算下一天的磁力矩器開關(guān)機(jī)時(shí)間，可以有效的兼顧這兩個(gè)方向的卸載，從而實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星三軸角動(dòng)量卸載.