山東省廣饒縣第一中學(xué)二校區(qū) 繆永春

探索性問題是相對(duì)于給出明確條件和結(jié)論的封閉性問題而言。探索性問題形式新穎、解法多樣，需要靈活綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法，它的主要形式體現(xiàn)在以下幾種。

一、歸納型

例如：觀察下列各式：

①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1，

②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1。

分析上述各式的共同特點(diǎn)，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并證明你的結(jié)論。

分析：分別對(duì)兩式進(jìn)行整理，tan10°tan20°+tan60°（tan20°+tan10°）=1，tan5°tan10°+tan75°（tan10°+tan5°）=1，由此可以看出具有兩角和的正切函數(shù)的特點(diǎn)，并且30°+60°=90°，75°+15°=90°，據(jù)此可得出相應(yīng)的等式。

點(diǎn)評(píng)：解決這類問題關(guān)鍵是對(duì)于所學(xué)的公式及變形要有熟練的掌握程度，同時(shí)要對(duì)題目中相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行有效的整理并能發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)。

二、存在型

分析：本題主要考查一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，關(guān)鍵在于正確分清一元二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)性求值域。

點(diǎn)評(píng)：本題利用函數(shù)的最值確定了對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，使問題變得簡(jiǎn)單。同時(shí)，解決存在型問題要注意以下三點(diǎn)：一是認(rèn)真審題，明確目的。二是善于挖掘隱含條件，提高準(zhǔn)確性。三是開闊思路，因題定法。

三、類比推理型

分析：首先利用綜合法證明結(jié)論正確，然后依據(jù)直角三角形與四面體之間形狀的對(duì)比猜想結(jié)論，并予以證明。

解：如圖1 所示，由射影定理知，AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=BC·DC，

圖1

圖2

∴猜想正確。

點(diǎn)評(píng)：類比推理是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象有一部分屬性類比推出這兩個(gè)對(duì)象及其屬性為類似的一種推理方法。

四、條件探索型

分析：要證明線線垂直，往往需要轉(zhuǎn)化為線面垂直來進(jìn)行證明。

圖3

點(diǎn)評(píng)：這類問題的解決需要添加的條件并不是唯一的，我們可以將結(jié)論當(dāng)作已知條件，尋找能使該結(jié)論成立的條件，使得問題成立。