趙知?jiǎng)牛?黃艷波， 強(qiáng)芳芳， 楊安鋒

(1.杭州電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院，杭州 310018； 2. 杭州電子科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，杭州 310018)

常規(guī)的多通道盲源分離( Blind Source Separation，BSS)算法不適用于單通道盲源分離(Single Channel BSS，SCBSS)，目前對(duì)SCBSS的解決方法主要有三類：①基于循環(huán)譜域?yàn)V波的SCBSS算法[1-3]；②基于信號(hào)參數(shù)差異的SCBSS算法[4-6]；③基于虛擬多通道的SCBSS算法[7-13]。前兩類算法性能與源信號(hào)特性密切相關(guān)，第三類算法常用小波分解、小波包分解、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)和增強(qiáng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Essential EMD，EEMD)與ICA結(jié)合，但是小波基和分解層數(shù)選擇困難、EMD分解經(jīng)常出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象等問題，這些直接影響算法的分離性能。

Dragomiretskiy等[14-15]提出了基于變分模式分解(Variational Mode Decomposition, VMD )的單通道盲源分離(VMD-SCBSS)算法，但是該算法需要預(yù)先知道模態(tài)數(shù)K。高艷豐等[16]提出一種基于變分模式分解和 Teager 能量算子相結(jié)合的高壓輸電線路雷擊故障行波檢測(cè)方法。馬增強(qiáng)等[17]針對(duì)滾動(dòng)軸承早期故障振動(dòng)信號(hào)信噪比低、故障特征提取困難的問題，提出了基于變分模式分解和能量算子的滾動(dòng)軸承故障特征提取方法，并提出了一種確定模式數(shù)K的方法。針對(duì)混合的源信號(hào)數(shù)未知，本文提出基于反饋VMD的通信信號(hào)SCBSS算法。

1 VMDF-SCBSS算法

1.1 變分問題的構(gòu)造

VMD是基于維納濾波、Hilbert變換和混合頻率的變分問題的求解過程，通過尋找約束變分模式最優(yōu)解自適應(yīng)地將信號(hào)分解成一系列的具有稀疏特性的模式分量。

VMD的目的是將待分析信號(hào)x(t)分解成K個(gè)具有特定稀疏性的模式信號(hào)uk(t)，每個(gè)uk(t)的帶寬之和最小，其約束條件是各個(gè)uk(t)之和等于待分析信號(hào)。

利用Hilbert變換計(jì)算每個(gè)uk(t)的解析信號(hào)為

(1)

并將各個(gè)模式的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶，即

(2)

估計(jì)各個(gè)模式的帶寬，約束變分問題可表示如下

(3)

式中：uk(t)={u1(t),…,uK(t)}；ωk(t)={ω1(t),…ωK(t)}。

為了求解式(3)變分問題，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘法算子λ(t)，即將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成非約束優(yōu)化問題，如式(4)所示。其中α的取值保證信號(hào)重構(gòu)精度，λ(t)使約束條件保持嚴(yán)格性。

(4)

(5)

(6)

(7)

收斂條件如式(8)所示

(8)

1.2 頻域更新公式推導(dǎo)

由于uk(t)和ωk(t)的更新困難，本文從頻域進(jìn)行更新，然后傅里葉反變換實(shí)現(xiàn)uk(t)和ωk(t)的更新式。

(9)

(10)

(11)

將式(11)第一項(xiàng)中的ω用ω-ωk替換并計(jì)算2-范數(shù)，可得：

(12)

令

(13)

2Δ*(ω)=0

(14)

2Δ(ω)=0

(15)

由式(14)和式(15)求得最小值解為

(16)

與uk(t)的最小化問題處理方式相同，將中心頻率更新問題轉(zhuǎn)換到頻域。由式(13)可知，fh(ω)的第二項(xiàng)不包含ωk，因此可得

(17)

求最小值解可得

(18)

此中心頻率是在模式中觀察到的瞬時(shí)相位的最小二乘線性回歸的頻率。

(19)

(20)

(21)

式中：τ為帶寬。

1.3 VMDF-SCBSS算法

將VMD應(yīng)用于單通道盲源分離(將此方法簡(jiǎn)記為VMD-SCBSS)，VMD分解得到的模式分量uk(t)就是對(duì)應(yīng)的源信號(hào)，但由式(19)、式(20)和式(21)可知，VMD算法需要預(yù)先確定模式數(shù)目K。VMD-SCBSS算法在源信號(hào)數(shù)目未知的情況下，K值需由VMD得到的頻譜判斷，其值與算法預(yù)先設(shè)定的中心頻率差值Δf有關(guān)。如果設(shè)定的Δf較大，可能發(fā)生欠分解；如果設(shè)定的Δf較小，可能發(fā)生過分解。所以，Δf設(shè)置不合理，可能引起K判定失誤，從而影響源信號(hào)分離。

針對(duì)此問題，本文提出了基于反饋VMD的SCBSS(簡(jiǎn)記為VMDF-SCBSS)算法，該算法無(wú)需預(yù)先設(shè)置Δf。反饋VMD就是將每次分解得到的最純的模式分量反饋到VMD的輸入端，并在VMD的輸入端減去這個(gè)模式分量，將剩余的信號(hào)作為新的信號(hào)繼續(xù)進(jìn)行二模式的VMD，重復(fù)這個(gè)過程，直到混合信號(hào)分解完全。

令第Kn次分解得到的模式分量為uKn,1(t)和uKn,2(t)與觀測(cè)信號(hào)x(t)的相似系數(shù)分別為δKn,1和δKn,2，δKn,i(i=1,2)的計(jì)算如式(22)所示

(22)

根據(jù)式(23)求I，則最純模式分量為uKn,I(t)。

(23)

分解完全的判別條件為

max{δKn,1,δKn,2}

(24)

因此，本文提出的基于反饋VMD的SCBSS算法主要步驟如下：

步驟1 模式數(shù)目K=2，初始化迭代次數(shù)Kn=1，xKn(t)=x(t)。

步驟3 利用式(22)計(jì)算相似系數(shù)δKn,1和δKn,2，利用式(23)得到分解最純模式分量uKn,I(t)(I取1或2)。

步驟4 當(dāng)式(24)成立時(shí)，停止反饋和分解，源信號(hào)個(gè)數(shù)等于Kn+1。否則轉(zhuǎn)“步驟5”。

步驟5 將步驟3選取的模式分量uKn,I(t)反饋到VMD的輸入端，并從輸入信號(hào)中減去該模式分量，即xKn+1(t)=xKn(t)-uKn,I(t)。xKn+1(t)作為新的VMD輸入，令Kn=Kn+1，重復(fù)“步驟2”～“步驟4”過程。

根據(jù)上述算法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)單通道的盲源分離，而且可以確定源信號(hào)數(shù)目為Kn+1。

2 算法仿真與性能分析

本節(jié)仿真分析VMDF-SCBSS算法性能，并與VMD-SCBSS算法比較。仿真中余弦信號(hào)、2ASK和BPSK調(diào)制信號(hào)作為源信號(hào)s1(t)、s2(t)和s3(t)，采樣速率為20 kHz，幅度均為1；單通道觀測(cè)信號(hào)為x(t)=A·S(t)，其中A是一維隨機(jī)行矢量；S=[s1(t)s2(t)s3(t)]T。算法中參數(shù)設(shè)置如下：ε=1×10-7，懲罰因子和帶寬使用默認(rèn)值，即α=2 000，τ=0。

2.1 K對(duì)VMD-SCBSS算法的影響

s1(t)、s2(t)和s3(t)的載頻分別為5 kHz、4 kHz和1 kHz，不同K值VMD-SCBSS算法得到的各模式中心頻率如表1所示。

表1 不同K值時(shí)VMD-SCBSS算法得到的各模式中心頻率

由表1可知，VMD-SCBSS算法的分離性能受K值影響大。當(dāng)K未知時(shí)，VMD-SCBSS算法需依據(jù)頻率間隔Δf確定模式數(shù)目K，不同的Δf對(duì)分離結(jié)果有較大的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[17]確定模式數(shù)目K方法和表1可知，Δf=1 kHz時(shí)，確定的模式數(shù)目為K=2，小于源信號(hào)數(shù)目3，設(shè)置的Δf過大；Δf=0.5 kHz時(shí)，確定的模式數(shù)目為K=3，設(shè)置的Δf正好合適；Δf=0.1 kHz時(shí)，確定的模式數(shù)目為K=4，大于源信號(hào)數(shù)目3，設(shè)置的Δf過小。由此可知，VMD-SCBSS算法性能受Δf影響大。

2.2 VMDF-SCBSS算法

2.2.1 最純模式分量確定

在無(wú)噪情況下，迭代次數(shù)Kn=1時(shí)，由VMDF-SCBSS算法分離得到的信號(hào)u1,1(t)和u1,2(t)與觀測(cè)信號(hào)x(t)的相似系數(shù)δ1,1、δ1,2及u1,1(t)和u1,2(t)與源信號(hào)S(t)的相似系數(shù)矩陣δS1如表2所示。

表2 δ1,1、δ1,2和δS1

由表2可知，δ1,2δ1,1，根據(jù)本節(jié)提出的算法可知，u1,2(t)是最純模式分量，可作為一路源信號(hào)反饋到VMD的輸入端；δS1的第一列第二行的數(shù)值接近于1，即u1,2(t)與源信號(hào)s1(t)的相似系數(shù)為0.990 8，驗(yàn)證u1,2(t)是一路源信號(hào)。

將u1,2(t)反饋到輸入端，并從信號(hào)x1(t)中減去，剩余信號(hào)記為x2(t)。此時(shí)Kn=2，VMDF-SCBSS算法得到的信號(hào)u2,1(t)和u2,2(t)與觀測(cè)信號(hào)x(t)的相似系數(shù)δ2,1、δ2,2及u2,1(t)和u2,2(t)與源信號(hào)S(t)的相似系數(shù)矩陣δS2，如表3所示。

表3 δ2,1、δ2,2和δS2

由表3可知，δ2,1δ2,2；u2,1(t)是最純模式分量，可作為源信號(hào)的一路信號(hào)。同樣δS2的第三列的第一行的數(shù)值接近于1，即u2,1(t)與源信號(hào)s3(t)的相似系數(shù)為0.958 2，驗(yàn)證了u2,1(t)是源信號(hào)的估計(jì)。

2.2.2 迭代終止判斷

由表2和表3可知，δ1,2δ1,1δ2,1δ2,2，也就是說(shuō)Kn=2時(shí)，分離信號(hào)與觀測(cè)信號(hào)的相似系數(shù)的最大值小于Kn=1時(shí)的分離信號(hào)與觀測(cè)信號(hào)的相似系數(shù)最小值。根據(jù)本節(jié)提出的VMD停止條件可確定Kn=2時(shí)VMD已經(jīng)完成，源信號(hào)個(gè)數(shù)為Kn+1=3個(gè)，且u1,2(t)、u2,1(t)、u2,2(t)分別是源信號(hào)s1(t)、s3(t)、s2(t)的估計(jì)。

為了證明Kn=2時(shí)分解已經(jīng)成功，令Kn=3，由VMDF-SCBSS算法得到分離信號(hào)u3,1(t)和u3,2(t)與x(t)的相似系數(shù)δ3,1、δ3,2及u3,1(t)和u3,2(t)與源信號(hào)S(t)的相似系數(shù)矩陣δS3，如表4所示。

表4 δ3,1、δ3,2和δS3

比較表3和表4可知，這次分解得到的u3,2(t)是源信號(hào)s2(t)的估計(jì)，與u2,2(t)相同，所以這次分解沒有意義，即Kn=2時(shí)已經(jīng)將源信號(hào)全部分離。

2.2.3 源信號(hào)載頻對(duì)分離性能的影響

當(dāng)余弦信號(hào)、2ASK和BPSK信號(hào)的載頻(fc1，fc2，fc3)分別為(5，4，1) kHz、(5，4，3) kHz和(4.5，4，3.5) kHz時(shí)，VMDF-SCBSS算法得到分離信號(hào)與源信號(hào)s1(t)、s2(t)和s3(t)的相似系數(shù)矩陣，如表5所示。

表5 VMDF-SCBSS算法相似系數(shù)矩陣

表5中：加粗加下劃線的數(shù)字表示該元素理想情況應(yīng)為1；帶框的數(shù)字表示理想情況為零，現(xiàn)該元素值大于0.2。由此可見，源信號(hào)載頻相差越大，VMDF-SCBSS算法分離性能越好。

2.2.4 實(shí)際信號(hào)分離性能

載頻分別為5 kHz和1 kHz的余弦信號(hào)和2ASK信號(hào)混合后，由基于AD9361的軟件無(wú)線電平臺(tái)發(fā)射并采集，源信號(hào)和由VMDF-SCBSS算法分離的分離信號(hào)的部分波形如圖1所示。

(a) 源信號(hào)_余弦信號(hào)

(b) 源信號(hào)_2ASK信號(hào)

(c) 分離信號(hào)_余弦信號(hào)

(d) 分離信號(hào)_2ASK信號(hào)

圖1 VMDF-SCBSS算法分離效果

Fig.1 VMDF-SCBSS algorithm separation performance

2.3 兩種算法比較

2.3.1 分離性能比較

信號(hào)參數(shù)同“2.1”節(jié)，K=3。不同信噪比條件下，VMDF-SCBSS算法和VMD-SCBSS算法得到的分離信號(hào)與源信號(hào)的平均相似系數(shù)，如圖2所示。

圖2 不同信噪比條件下兩種算法的平均相似系數(shù)

由圖2可知，VMDF-SCBSS算法分離性能優(yōu)于K值已知的VMD-SCBSS算法性能；低信噪比時(shí)用VMD-SCBSS算法分離性能較差，大于8 dB時(shí)平均相似系數(shù)大于0.9，分離效果較好，而VMDF-SCBSS算法在信噪比大于5 dB時(shí)，就能達(dá)到較好的分離效果。

2.3.2 復(fù)雜度分析

3 結(jié) 論

將反饋機(jī)制引入VMD中，提出了基于反饋VMD的單通道盲源分離(VMDF-SCBSS)算法，該算法分離性能優(yōu)于VMD-SCBSS算法，不需要預(yù)先設(shè)置頻率間隔Δf參數(shù)，能夠自動(dòng)確定源信號(hào)數(shù)，算法復(fù)雜度低于后者。如何進(jìn)一步提高源信號(hào)載頻靠得較近時(shí)分離性能值得進(jìn)一步研究。