HoshinGupta，張瀟

(1.長江科學院 水資源綜合利用研究所，武漢 430010；2. 亞利桑那大學 水利和大氣科學學院，美國 圖森 85721； 3. 長江勘測規(guī)劃設(shè)計研究院 水利規(guī)劃研究院，武漢 430010)

1 研究背景

水量平衡模型的概念是由Thornthwaite[1]于1948年提出的，可以用于估計降雨、融雪、蒸發(fā)、徑流、地下水補給等的水量平衡關(guān)系，也可以用于徑流預報、河湖水位預報、地下水位預報以及研究氣候變化對水文的影響等，在國內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用[2-3]。

Thomas[4]1981年提出的abcd月水量平衡模型是一種簡單高效的四參數(shù)概念性水文模型。該模型主要輸入數(shù)據(jù)為月降雨量和月潛在蒸散發(fā)量，輸出數(shù)據(jù)為月徑流深、土壤含水量及地下水含量。abcd模型具有概念清楚、參數(shù)少且易優(yōu)化、模擬精度高等特點，因而在國際上得到了廣泛應(yīng)用。比如， Sankarasubramanian等[5]2002年采用abcd模型對美國1 337個站點的月徑流、氣溫和降雨資料進行了分析，并探討了實際蒸散發(fā)和徑流年際變化之間的關(guān)系。Martinez等[6]2010年將abcd模型應(yīng)用于美國674個流域并探討了用于指導模型選擇、參數(shù)估計、性能評估的診斷性方法。但在國內(nèi)，對abcd模型的研究及應(yīng)用基本處于空白狀態(tài)。鄧慧平等[7]1998年采用的模型類似于abcd模型，但只有c和d共計2個參數(shù)。李帥等[8]2011年對比了8種月水量平衡模型的徑流模擬效果，結(jié)果表明abcd模型和其他5種月水量平衡模型模擬效果較好。但以上研究均未對模型參數(shù)的敏感性進行過研究。

本文在介紹abcd模型的原理及結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，以新安江流域徑流預報為例，分析模型應(yīng)用的可行性及模型參數(shù)的敏感性，研究模型的適應(yīng)性與有效性，旨在為我國中小流域進行徑流預報提供一種簡捷高效的方法。

2 abcd模型

abcd模型的輸入數(shù)據(jù)為月降雨量和月潛在蒸散發(fā)量，輸出數(shù)據(jù)為月徑流深、土壤含水量及地下水含量。abcd模型由2部分儲水組件組成：土壤含水層及地下水層(見圖1)，其基本原理為水量平衡原理。

圖1 abcd模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of “abcd” model structure

土壤含水層中的水量平衡方程可表示為

Pt-ETt-DRt-GRt=St-St1。

(1)

式中:Pt為月降雨量；ETt為實際月蒸散發(fā)量(mm)；DRt為地表直接徑流量(mm)；GRt代表地下水補給量(mm)；St和St1代表當前月和上月土壤含水量(mm)。

根據(jù)式(1)可以得到模型的2個狀態(tài)變量——有效水量Wt和可能蒸散發(fā)量Yt，即：

Wt=St1+Pt=St+ETt+GRt+DRt；

(2)

Yt=St+ETt。

(3)

可能蒸散發(fā)量Yt是指能夠以蒸散發(fā)的形式離開流域的最大水量，而有效水量Wt則是可能蒸散發(fā)量與土壤含水層出流量(包括地表直接徑流量以及地下水補給量)之和[5]。可能蒸散發(fā)量Yt可用有效水量Wt的非線性函數(shù)關(guān)系來表示，即

(4)

式中：a為土壤完全飽和前形成徑流的概率；參數(shù)b為不飽和含水層儲水量的上限。

abcd模型中可能蒸散發(fā)量與有效水量的關(guān)系曲線如圖2所示。Yt≤Wt，Y′t(0)=1,Y′t()=0，隨著Wt增大，Yt會越來越接近于b然后保持不變，因此b可以認為是不飽和含水層儲水量的上限。當Yt達到上限b之后，多余的降雨量將會轉(zhuǎn)化成地表徑流以及地下水補給量。

圖2 abcd模型中可能蒸散發(fā)量與有效水量的關(guān)系曲線Fig.2 Curve of possible evapotranspiration againsteffective water quantity in “abcd” model

當土壤含水量未達飽和之前，徑流量與前期土壤含水量有關(guān)，因此使用參數(shù)a表示土壤完全飽和前形成徑流的概率。abcd模型假定由于蒸散發(fā)導致土壤含水量S減少的速度與潛在蒸散發(fā)量之間的比例是St/b，即：

(5)

(6)

式中PETt代表潛在蒸散發(fā)量。本次研究中，潛在蒸散發(fā)量的計算采用Thornthwaite公式[1]。

對于地下水層組件而言，其水量平衡方程為

Gt+GDt=Gt1+GRt。

(7)

式中：GDt為地下徑流；GRt為地下水補給量；Gt和Gt1分別為當前月和上月的地下水儲存量。

地下水補給量GRt和地下徑流GDt可分別表示為：

GRt=c(Wt-Yt) ；

(8)

GDt=dGt。

(9)

式中：參數(shù)c為土壤含水層補給地下水量的比例；參數(shù)d為地下水形成出流的速度。地表徑流與地下徑流的總和為DRt+GDt。

abcd模型有2個非常重要的特點：

(1)該模型的使用不需要土壤含水量及地下水量的觀測資料，盡管這些資料能夠提高參數(shù)率定的正確率，但在模型的使用中它們不是必需的，此外，在計算徑流量的時候也不需要區(qū)分直接徑流和地下水出流。

(2)該模型在不估計土壤含水層各項參數(shù)的基礎(chǔ)上仍然可以模擬土壤含水量的變化過程。

圖3 新安江流域地理位置概化圖Fig.3 Generalized geographical map ofXin’an River Basin

3 模型應(yīng)用

3.1 研究區(qū)概況

本文應(yīng)用新安江流域1930—2006年的實測月降雨和徑流資料(新安江水庫管理局提供)對abcd模型進行驗證，其中1930—2000年為率定期，2001—2006年為校驗期。新安江流域位于中國東部，安徽省與浙江省的交界處(圖3)，流域面積10 442 km2。流域多年平均降雨量為1 700.4 mm，年內(nèi)分布不均，汛期(4—9月份)雨量占全年總雨量的70%；流域多年平均徑流量達106億m3，在汛期和非汛期差異很大。

3.2 參數(shù)率定

選擇模擬徑流與實測徑流的均方誤差(Mean-square Error，MSE)或Nash確定性系數(shù)(Nash-Sutcliffe Efficiency，NSE)作為模型參數(shù)優(yōu)選的目標函數(shù)，采用段青云1992年提出的SCE-UA算法搜尋全局最優(yōu)解，該算法已被國內(nèi)外研究者廣泛采用[6,7,9-10]。MSE和NSE可以分別表示為：

(10)

(11)

本研究中，參數(shù)a的取值范圍為(0，1]，參數(shù)b的取值范圍為(0，1 000]，參數(shù)c的取值范圍為(0，1]，參數(shù)d的取值范圍為(0，1]，最終通過參數(shù)優(yōu)選程序估計的參數(shù)a，b，c，d的值分別為0.95，288，0.211，0.61。

3.3 模擬結(jié)果分析

由于水文觀測誤差、預報模型結(jié)構(gòu)、參數(shù)估計不確定性等原因，徑流預報的誤差不可避免。均方誤差MSE與Nash確定性系數(shù)NSE是2個最常用的評價模擬值與觀測值擬合程度的指標。本研究采用NSE，(μs-μo)/μo，(σs-σo)/σo以及r作為模型性能評價的指標，其中:μs，μo分別為模擬徑流與實測徑流的平均值;σs與σo分別為模擬徑流與實測徑流的均方差;r為模擬徑流與實測徑流之間的相關(guān)系數(shù)。各指標的計算公式為：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

NSE值和r越接近于1， (μs-μo)/μo和(σs-σo)/σo越接近于0，說明擬合的程度越好。率定期(1930—2000年)與校驗期(2001—2006年)各指標值見表1?？梢钥闯?，模型在汛期的模擬效果優(yōu)于非汛期，校驗期汛期與非汛期NSE值分別為0.929和0.863，說明模型擬合程度較高。

表1 率定期與校驗期模型評價指標結(jié)果Table 1 Evaluation indicators of “abcd” model inboth calibration and validation periods

3.4 參數(shù)敏感性分析

本研究中，參數(shù)敏感性分析是指參數(shù)a，b，c，d在一定范圍內(nèi)的變化對模型性能產(chǎn)生的影響。研究參數(shù)敏感性對于提高模型參數(shù)率定的效率和精度都有重要意義。本文分別采用單變量和多變量的分析方法探討abcd模型4個性能評價指標對4個參數(shù)變化的響應(yīng)程度。

圖4 單變量法中4個模型性能指標對參數(shù)a，b，c，d的響應(yīng)結(jié)果Fig.4 Responses of four performance indicators toparameters a, b, c and d by univariate method

3.4.1 單變量法

單變量法指的是保持其中3個參數(shù)不變，另外1個參數(shù)按一定步長增長的方法。表1的4個性能評價指標中，NSE為主要控制指標，其余3個為次要指標。進行參數(shù)a，b，c，d對模型4個性能評價指標的影響分析。參數(shù)a，c，d的有效取值范圍為(0,1]，步長設(shè)為0.05，共20個步長;參數(shù)b的有效取值范圍為(0，1 000]，步長設(shè)為50，共20個步長。以參數(shù)自動率定的最優(yōu)結(jié)果為固定值，各參數(shù)按設(shè)定的步長逐步增長，4個模型性能評價指標對參數(shù)a，b，c，d的響應(yīng)結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出：

(1)對于指標NSE而言，當參數(shù)b和c變化時，指標NSE變化較大；d變化時，NSE變化最??；顯然，當b和c在S5附近，a在S19附近，NSE值最大。

(2)對于指標(μs-μo)/μo而言，參數(shù)a與b的變化對指標結(jié)果影響較大；當a在S19附近，b在S6附近，該指標更接近于0。

(3)對于指標(σs-σo)/σo而言，參數(shù)b與c的變化對指標結(jié)果影響較大；顯然，當a和d越大，b和c越小，該指標更接近于0。

(4)對于指標r而言，參數(shù)c對其影響最大，b次之，d最?。伙@然，當參數(shù)a，b，c，d位于S1至S9之間時，該指標更接近于1。

(5)綜合分析，當參數(shù)a接近S19，參數(shù)b接近S5，參數(shù)c接近S3，參數(shù)d接近S19時，4個指標均能達到較為理想的結(jié)果。該分析結(jié)果與參數(shù)自動率定的結(jié)果一致。

3.4.2 多變量法

單變量分析有一個弊端，因為需要保持其中3個參數(shù)不變而另1個參數(shù)增加固定步長，那么無論這3個參數(shù)保持于哪個固定值對分析的結(jié)果都會造成一定的隨機性，同時單變量法并不能明確知道哪個參數(shù)對模型性能的影響最大，哪個最小，若要解決這個問題，則需進行全面試驗的分析。

正交法是研究多因素多水平的一種有效設(shè)計方法，根據(jù)正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表性的點具備了“均勻分散，齊整可比”的特點。正交法可以減少全面試驗的次數(shù)、減少人力物力、保證試驗的代表性。正交表記為Ln(mk)，m是各因素的水平，k(列數(shù))是因素的個數(shù)，n是安排試驗的次數(shù)(行數(shù))。本次研究中有4個因素(分別為a，b，c和d)，每個因素取9個水平(a，c和d這3個參數(shù)的有效取值范圍為(0,1]，選取的9個水平分別為0.1，0.2，…，0.9；b的有效取值范圍為(0,1 000]，選取的9個水平為100，200，…，900)，共進行81次試驗，即L81(94)，而如果進行全面試驗的話則需進行94=6 561次。正交表最重要的2條性質(zhì)為：①每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，即在試驗中各因素出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，各因素之間是對等的；②在任意兩列中，將同一行的兩個數(shù)字稱為有序數(shù)對時，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)是相等的。即在L81(94)表中，有序數(shù)對共有81個，每種數(shù)對出現(xiàn)次數(shù)相等。由于以上2種性質(zhì)，用正交表來安排試驗時，各因素的各種水平是搭配均衡的。

完成81次試驗后，對試驗數(shù)據(jù)進行極差分析。各參數(shù)各水平對應(yīng)的試驗指標平均值如圖5所示，平均值中的最大值減最小值則為極差，極差值的大小反映了模型對該參數(shù)的敏感性程度。

圖5 多變量法中各參數(shù)各水平對應(yīng)的試驗指標平均值Fig.5 Average values of model performance indicatorscorresponding to four parameters at each level bymultivariate method

從圖5可以明顯看出：

(1)參數(shù)c對應(yīng)指標NSE的極差值最大，為0.37；b,d對應(yīng)NSE的極差值次之，分別為0.18，0.17；a對應(yīng)NSE的極差值最小，為0.10。因此c對模型的影響最大，a最小，即模型對參數(shù)c更為敏感，對a最不敏感。此外，還可以看出，模型指標NSE隨著參數(shù)a的增大呈不規(guī)則變化，但整體呈增大趨勢，隨著b的增大先增大再減小，在L2—L3之間達到最大，隨著c的增大而減小，隨著d的增大而增大。

(2)指標(μs-μo)/μo的結(jié)果表明，a越大，該指標越接近于0，模擬精度越高，b在L2附近達到最優(yōu)，而c與d對該指標則影響不大。

(3)指標(σs-σo)/σo的結(jié)果表明，b與c越小，d越大，該指標越接近于0，而參數(shù)a的影響則相應(yīng)較小。

(4)指標r的結(jié)果表明，a，b，d對該指標的影響相對于c而言較小，c越小，該指標越接近于1。

(5)綜合分析，對于參數(shù)a而言，a越大則模型綜合指標越高；對于參數(shù)b而言，b越接近于L1，L2，模型綜合指標越高；對于參數(shù)c而言，c越小則模型綜合指標越高；對于參數(shù)d而言，d越大則模型綜合指標越高。可知，參數(shù)自動率定的結(jié)果(a=0.95，b=288，c=0.211，d=0.61)與參數(shù)敏感性分析的結(jié)果相一致。

4 結(jié) 論

(1)abcd模型概念清楚，參數(shù)少且易優(yōu)化，采用新安江流域1930—2006年的實測月降雨和徑流資料對模型進行驗證，模型率定期與校驗期徑流模擬值與實測值的對比結(jié)果顯示，校驗期汛期與非汛期NSE值分別為0.929和0.863，(μs-μo)/μo值分別為0.024和0.138，(σs-σo)/σo值分別為0.052和0.020，r值分別為0.968和0.942，模擬精度較高，并且該模型在使用過程中不需要土壤含水量及地下水相關(guān)資料，因此具有很高的適應(yīng)性。

(2)進行模型參數(shù)敏感性分析有利于加深對abcd模型的理解，有利于提高模型參數(shù)率定的效率和精度。計算結(jié)果顯示，單變量法與多變量法結(jié)果相近，abcd模型主要評價指標NSE對參數(shù)c(土壤含水層補給地下水量的比例)最為敏感，d(地下水出流速度)和b(不飽和含水層儲水量的上限)次之，a(土壤完全飽和前形成徑流的傾向性)最不敏感。

本文著重闡述了abcd模型的原理及結(jié)構(gòu)，旨在為其他研究人員提供一種可供選擇的簡捷高效的方法，但未對比abcd模型與其他降雨徑流模型的模擬效果的區(qū)別，在今后的研究過程中應(yīng)加以深入分析。此外，abcd模型應(yīng)用于新安江流域取得了較好的模擬效果，應(yīng)用于其他流域(如干旱、高寒區(qū)域)是否仍有較高的適應(yīng)性則有待進一步研究。