王紅娟，鄧輝, 唐梓豪，李萬(wàn)才

(成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610059)

流變學(xué)的研究較為復(fù)雜，其中巖土體蠕變是流變的重要研究?jī)?nèi)容之一。蠕變被定義為在恒應(yīng)力作用下應(yīng)變與時(shí)間的關(guān)系。軟弱工程巖體的蠕變特性對(duì)工程的影響有著很重要的影響[1]，加速蠕變階段的描述既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)。

現(xiàn)如今，有大量的蠕變模型被提出用以描述巖石蠕變的變形特征。按照構(gòu)建模型的方法，可分為元件和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｚw寶云[2]等對(duì)砂巖短時(shí)三軸蠕變模型的黏性元件進(jìn)行了非線性改進(jìn)，與Kelvin模型串聯(lián)，得到了一種新的黏彈塑性蠕變模型，該模型可正確表征蠕變4個(gè)階段的特征。最后，基于BFUS非線性?xún)?yōu)化算法對(duì)該模型參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，同時(shí)將模型擬合曲線與改進(jìn)西原模型曲線進(jìn)行了比較分析，驗(yàn)證了非線性黏彈塑性蠕變模型的正確性；郭佳奇[3]等用FC元件取代整數(shù)階微積分Kelvin-Voigt流變模型中的牛頓體元件，形成了基于分?jǐn)?shù)階微積分的蠕變模型，該模型在保證了擬合精度的情況下減少了模型參數(shù)；陳家瑞[4]等在分?jǐn)?shù)階微積分理論的基礎(chǔ)上，基于三參量流變模型，提出了一個(gè)新的流變模型，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件1stOpt擬合參數(shù)，最終得到的模型能較好地描述破碎泥巖的流變規(guī)律；楊文東[5]等提出了由瞬彈性Hooke體，黏彈塑性村山體和非線性黏彈塑性體串聯(lián)而成的巖石非線性黏彈塑性流變模型，該流變模型可以描述巖石流變的減速、等速特別是加速蠕變階段，且通過(guò)反演，該模型的可靠性也得到證實(shí)；張明[6]等就錦屏一級(jí)水電站的大理巖進(jìn)行流變模型的選擇，提出了Hooke-Kelvin模型，該模型較Burgers模型更適合表達(dá)大理巖的蠕變特征；徐衛(wèi)亞[7]等提出了由黏彈塑性體和五元件線性黏彈性模型串聯(lián)的河海模型，該模型能較好地反應(yīng)巖石加速流變的性質(zhì)。以上大多只通過(guò)與某一種巖石的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合來(lái)驗(yàn)證模型正確性，不具有廣泛代表性。

綜合以上考慮，本文基于分?jǐn)?shù)階微積分，提出了一種能正確表征加速蠕變階段的蠕變方程，以西原模型為基礎(chǔ)，引入了加速流變起始時(shí)間點(diǎn)[8]，采用軟體元件表示非線性階段，提出了一種參數(shù)可變的非線性黏彈性蠕變模型，給出了該模型的本構(gòu)方程。并使用不同類(lèi)型巖石在不同圍壓下的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)該模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，試驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)曲線都能較好地吻合，驗(yàn)證了模型的正確性。

1 分?jǐn)?shù)階微積分定義簡(jiǎn)介

本文提出的蠕變模型需要借助于分?jǐn)?shù)階微積分理論，故對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分做如下簡(jiǎn)單介紹。

分?jǐn)?shù)階微積分有多種不同定義。在巖土工程學(xué)科中，Riemann-Liouville定義應(yīng)用最廣。以下對(duì)R-L定義進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹[9]。對(duì)于函數(shù)f(t)的β階積分定義為

(1)

式中，d為微分算子。分?jǐn)?shù)階微分則定義為:

(2)

式中，β>0，且n-1<β≤n(n為正整數(shù))。

Γ(β)為Gamma函數(shù)，其定義為：

(3)

2 基于分?jǐn)?shù)階微積分建立的軟體元件

理想彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿(mǎn)足Hook定律，即σ(t)～ε(t)，其蠕變形式表達(dá)為：

(4)

式中σ——常應(yīng)力；E——彈性模量[10]。

(5)

式中η——黏性系數(shù)。

(6)

式中η——黏性系數(shù)；β——求導(dǎo)階數(shù)。

當(dāng)應(yīng)力為常數(shù)時(shí)，即σ保持不變。元件將描述流變行為的蠕變，對(duì)式(6)兩邊進(jìn)行分?jǐn)?shù)階積分，根據(jù)分?jǐn)?shù)階R-L積分定義，可得：

(7)

當(dāng)β=0或β=1時(shí)，即Γ(β+1)=Γ(1)或Γ(β+1)=Γ(2) 時(shí)，式(7)退化為Hook體和Newton 體。

3 分?jǐn)?shù)階流變模型的建立

3.1 線性黏彈性流變模型

為得到一個(gè)應(yīng)用范圍廣、適用性強(qiáng)且能更大程度模擬巖石蠕變過(guò)程的模型，本文建立了一個(gè)由彈簧體、開(kāi)爾文體和一個(gè)可反應(yīng)加速流變起始時(shí)間的黏塑性元件串聯(lián)組成的蠕變模型，見(jiàn)圖1。

在線性流變模型中，當(dāng)σ<σs時(shí)，即i和ii共同作用時(shí)[11]，應(yīng)變有如下關(guān)系：

εi,ii=εe+εve

(8)

式中εe——胡克體中彈簧的彈性應(yīng)變；εve——黏彈性應(yīng)變；εi,ii——瞬時(shí)蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的總和。Hook體中，應(yīng)力應(yīng)變有如下關(guān)系：

σ=EH·εe

(9)

式中，EH為胡克體中彈簧的彈性模量。Newton/Kelvin體中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下：

(10)

εe1為開(kāi)爾文體中彈簧彈性應(yīng)變，γ意義如上，由并聯(lián)模型性質(zhì)可知：

εe1=εve=εii

(11)

所以得到：

(12)

即

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行Laplace變換得：

(14)

式中，E(s)為復(fù)變量s的函數(shù)，解得：

(15)

對(duì)式(15)進(jìn)行拉普拉斯逆變換得：

εve(t)=

(16)

3.2 非線性黏塑性元件

李良泉[8]假定破壞荷載和破壞時(shí)間、破壞荷載和加速流變歷時(shí)存在一定的關(guān)系，可用指數(shù)形式來(lái)表示為：

(17)

式中t——破壞時(shí)間；σ0——巖石瞬時(shí)強(qiáng)度；σ∞——長(zhǎng)期強(qiáng)度；Δt——加速流變歷時(shí)；α和β均為常系數(shù)，則可得巖石加速流變的起始時(shí)間為：

(18)

徐衛(wèi)亞[7]就綠片巖三軸流變?cè)囼?yàn)曲線，提出了一個(gè)可反映加速流變特性的非線性黏塑性體。本文引用其形式，同時(shí)引入一個(gè)新的參數(shù)Δt，可得非線性階段蠕變方程為

(19)

即：

(20)

3.3 考慮參數(shù)可變的流變模型

現(xiàn)有的蠕變模型大多是由元件模型經(jīng)過(guò)串并聯(lián)組合而成，且力學(xué)參數(shù)很多為常參數(shù)，但在實(shí)際情況下，如黏滯系數(shù)和彈性模量等的取值都是時(shí)間的函數(shù)。丁志坤[12]根據(jù)試驗(yàn)，提出了EH是定常而EK是時(shí)間t的函數(shù)，并給出了EK的表達(dá)式為：

EK(t)=p1+p2ep3t

(21)

式中，p1、p2、p3為常參數(shù)，本文考慮了彈性模量為非定常的情況，綜合三部分應(yīng)變，可得到巖石非線性黏彈塑性本構(gòu)模型，該模型的本構(gòu)方程為：

ε(t)=

(22)

4 模型驗(yàn)證

本文所提出的五元件蠕變模型，結(jié)合黃海峰等[13-15]對(duì)不同種類(lèi)巖石的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行擬合。紅砂的應(yīng)力大小和長(zhǎng)期強(qiáng)度分別為55、23.56 MPa，巖鹽的應(yīng)力大小和長(zhǎng)期強(qiáng)度分別為45、37.8 MPa，泥巖的應(yīng)力大小和長(zhǎng)期強(qiáng)度分別為40、36.21 MPa，由于所施加應(yīng)力水平均大于長(zhǎng)期強(qiáng)度，故需考慮加速階段。此時(shí)待擬合參數(shù)為11個(gè)，這是由于本文考慮了變參數(shù)[15]的影響，雖然擬合參數(shù)較多，但也可通過(guò)擬合工具快速獲取。本文利用數(shù)學(xué)軟件1stOpt對(duì)式(22)中的參數(shù)進(jìn)行擬合，所得結(jié)果見(jiàn)表1。經(jīng)計(jì)算得知：紅砂巖、鹽巖和泥巖的相關(guān)系數(shù)R2的值分別為0.97、0.96和0.99。試驗(yàn)值與擬合曲線對(duì)比見(jiàn)圖2，可見(jiàn)試驗(yàn)值和擬合曲線符合很好，這是由于采用了分?jǐn)?shù)階進(jìn)行建模[17-19]。表1和圖2僅僅展示了圍壓100 MPa下的擬合效果，為了進(jìn)一步檢驗(yàn)該模型，采用200 MPa下的紅砂巖蠕變數(shù)據(jù)模擬，結(jié)果見(jiàn)圖3?？梢?jiàn)，新模型能夠較好地反映軟巖的蠕變特性。

表1 非線性蠕變模型參數(shù)

通過(guò)對(duì)比曲線可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于3種不同的巖石來(lái)說(shuō)，瞬時(shí)蠕變階段和穩(wěn)態(tài)階段都能較好地吻合，非線性階段的試驗(yàn)曲線也能和預(yù)測(cè)曲線大致重合，證明了該模型的適用性和正確性。

5 結(jié)論

本文依據(jù)元件模型，在元件本構(gòu)方程基礎(chǔ)上引入非定常參數(shù)，使模型能更準(zhǔn)確描述巖石蠕變?nèi)^(guò)程，通過(guò)紅砂巖、巖鹽以及泥巖的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)該模型的驗(yàn)證，得到以下結(jié)論。

a) 通過(guò)對(duì)紅砂巖，巖鹽以及泥巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，發(fā)現(xiàn)該模型能較好地?cái)M合巖石流變過(guò)程，加速階段同樣吻合，具有合理性，同時(shí)也證明了模型的適用性。

b) 所建模型能較好地模擬軟巖的蠕變?nèi)^(guò)程，便于使用。在今后的研究中，將考慮把模型嵌入數(shù)值模擬軟件之中，以期將其很好地應(yīng)用于工程實(shí)際之中。