黃行蓉，劉久周，李琳

（1.北京航空航天大學 中法工程師學院，北京100083； 2.中國運載火箭技術(shù)研究院，北京100076；3.北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京100083）

模態(tài)分析技術(shù)已廣泛應用于分析線性工程結(jié)構(gòu)，伴隨其發(fā)展的模態(tài)綜合技術(shù)在對大型復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力特性分析中占有越來越重要的地位。相對而言，有關具有非線性動力學行為的大型復雜工程結(jié)構(gòu)分析的進展較為緩慢。鑒于模態(tài)分析方法在線性系統(tǒng)分析中所顯示的巨大作用，近年來研究人員也試圖將非線性模態(tài)的概念引入結(jié)構(gòu)分析，以期發(fā)展一套適用于非線性動力學系統(tǒng)的高效分析方法。例如，Jiang等[1]將非線性模態(tài)用于分析簡諧激勵下的系統(tǒng)振動特性；Touzé和Amabili[2]將非線性模態(tài)用于分析包含杜芬非線性項的減縮模型；Renson等[3]介紹了非線性模態(tài)應用于分析工程結(jié)構(gòu)動力學響應；Huang等[4]將非線性模態(tài)與模態(tài)綜合法結(jié)合用于分析一般非線性系統(tǒng)的動力學響應；Liu等[5]利用非線性模態(tài)研究了包含壓電阻尼的非線性結(jié)構(gòu)。為了求解各種非線性模態(tài)，衍生了多種數(shù)值計算方法，如正規(guī)形法、不變流形法、攝動法中的多尺度法，這些方法各具特點，各有其適合的范圍，但真正適用于求解大型工程結(jié)構(gòu)的方法并不多。

20世紀60年代初，Rosenberg[6]在其非線性模態(tài)奠基之作中指出，系統(tǒng)在共振區(qū)的響應可用該階非線性模態(tài)來近似；隨后，為了解決非線性模態(tài)不具疊加性問題，Szemplinska-Stupnicka[7]提出了單模態(tài)共振理論，建立了自由振動狀態(tài)下的系統(tǒng)非線性模態(tài)和響應幅值間的關系；Jézéquel[8]和Setio[9]等分別從理論和實驗的角度對該理論進行了完善和發(fā)展，將線性模態(tài)分析方法推廣到求解非線性系統(tǒng)響應。該理論已被眾多學者認可和應用[10-11]，如鄭兆昌[12]指出表征線性系統(tǒng)特性的主模態(tài)是溝通線性振動和非線性振動之間的橋梁。因此，主共振模態(tài)的計算與分析是大型復雜非線性結(jié)構(gòu)動力學特性分析中至關重要的一步。

本文基于非線性模態(tài)理論及非線性動力學系統(tǒng)計算方法的研究進展，提煉出了一種通用的、便于數(shù)值計算的非線性模態(tài)分析方法，并給出了分析步驟。本文方法的核心是建立主共振模態(tài)的特征頻率、振型與對應的模態(tài)振動幅值之間的關系，用模態(tài)參數(shù)的變化規(guī)律來刻畫非線性動力學特性。為了證明本文方法的一般性及普遍應用價值，在給出其基本理論與分析流程之后，首先以杜芬系統(tǒng)為例闡述了其在非線性實模態(tài)域的應用，并與用直接積分求解系統(tǒng)方程的結(jié)果作了對比；然后通過對干摩擦系統(tǒng)和壓電系統(tǒng)的求解與分析分別展示了其在非線性復模態(tài)域及多場耦合域的應用；最后給出了基于該理論對大型復雜非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)求解時的減縮方法。

1 非線性系統(tǒng)的模態(tài)分析方法理論

線性系統(tǒng)具有模態(tài)不變性、模態(tài)正交性和疊加性；線性系統(tǒng)的所有模態(tài)共同構(gòu)成了一組模態(tài)基，系統(tǒng)的所有解都可以由這些模態(tài)的線性疊加組合獲得。對于非線性系統(tǒng)來說，線性模態(tài)理論中的模態(tài)不變性和正交性不再成立。鑒于非線性動力學系統(tǒng)中的非線性力與系統(tǒng)自身運動狀態(tài)的相關性（在位形空間中依賴于位移或速度），非線性模態(tài)理論認為在模態(tài)空間里，非線性模態(tài)不像線性系統(tǒng)的模態(tài)那樣與外界因素無關，而是也與外界因素相關；這種相關性，可以通過引入一個隨外界因素變化的模態(tài)參數(shù)來表示。本文選取模態(tài)振動幅值（簡稱模態(tài)幅值）作為表征模態(tài)與外界因素直接相關的參數(shù)。模態(tài)幅值的引入意味著非線性振動模態(tài)與線性系統(tǒng)模態(tài)的本質(zhì)不同：對于離散系統(tǒng)它不再是一組成比例的數(shù)。

1.1 非線性模態(tài)理論

式中：M 為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣；P為外激勵力；u為位移。

式（2）意味著在主共振區(qū)，方程中的非線性力被分解成了兩部分對應非線性力產(chǎn)生的剛度效應對應非線性力產(chǎn)生的阻尼效應。

為了求解上述非線性問題，對非線性特征振型關于質(zhì)量矩陣作歸一化處理：

結(jié)合式（2）和式（3），通過牛頓-拉夫遜迭代算法可近似求解該非線性方程，得到以qj為參數(shù)的主共振模態(tài)的頻率和振型。

1.2 非線性模態(tài)參數(shù)

基于1.1節(jié)的非線性模態(tài)理論，可以提取出一系列表征非線性系統(tǒng)動力學行為的模態(tài)參數(shù)。類似線性系統(tǒng)，定義如下模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度：

設對應于某一個不變的外界狀態(tài)（即對應某一個qj），第j階主共振模態(tài)可表示成一系列線性模態(tài)振型的組合，假設選取N1階線性模態(tài) Φi來構(gòu)成該階非線性模態(tài)：

為了便于對系統(tǒng)作模態(tài)分析和之后求解系統(tǒng)的強迫響應，可進一步對這些非線性模態(tài)參數(shù)關于模態(tài)幅值的變化做插值處理，構(gòu)造非線性模態(tài)參數(shù)關于模態(tài)幅值的函數(shù)。

1.3 基于單模態(tài)共振理論求解系統(tǒng)強迫響應

當系統(tǒng)受到外界簡諧激勵P0cos（ωt）時，設主共振模態(tài)響應解的振動頻率與激振力頻率一致，為 ω。

由1.1節(jié)和1.2節(jié)已知，對于一個給定的qj，通過求解非線性方程式（2），即可得到模態(tài)參數(shù)，進一步用插值的方法還可以獲得這些模態(tài)參數(shù)與模態(tài)幅值近似的函數(shù)關系。接下來的問題是qj的確定。根據(jù)定義，qj是一個與外界因素相關的參數(shù)；其確定過程實際上也是具有外激勵的非線性系統(tǒng)運動方程求解的過程。可以利用1.2節(jié)中獲得的模態(tài)參數(shù)與模態(tài)幅值近似的函數(shù)關系，即將這些函數(shù)關系代入方程式（9），再利用牛頓-拉夫遜迭代算法求解該代數(shù)方程，則容易求出非線性模態(tài)幅值為

求得該激勵下非線性系統(tǒng)的模態(tài)幅值后，再將其代入1.2節(jié)中得到的模態(tài)參數(shù)關于模態(tài)幅值的函數(shù)關系，很容易求解出系統(tǒng)受到外界簡諧激勵時對應的單階主共振模態(tài)振型和與之對應的模態(tài)參數(shù)值，而單階非線性模態(tài)的穩(wěn)態(tài)響應則通過式（11）得到：

根據(jù)由單模態(tài)共振理論發(fā)展得到的主共振模態(tài)近似法[6-11]，最終系統(tǒng)的強迫響應可通過所選取的各單階非線性模態(tài)強迫響應疊加得到，如下：

式中：Nnl為選取的非線性模態(tài)階數(shù)。

需要強調(diào)的是，這里的非線性模態(tài)疊加與線性模態(tài)疊加有本質(zhì)差別。線性系統(tǒng)是基于模態(tài)的正交性，首先求出表征系統(tǒng)固有特性的模態(tài)（與外激勵無關），以模態(tài)為正交基構(gòu)造模態(tài)空間，在模態(tài)空間求解解耦的受迫振動方程；非線性系統(tǒng)第一不滿足模態(tài)正交性，第二其模態(tài)與外界激勵相關；其響應幅值的求解基于主共振模態(tài)近似理論，即認為共振區(qū)的系統(tǒng)響應可由單階非線性模態(tài)響應近似[6-7]。求解該單階非線性模態(tài)響應時，考慮到非線性模態(tài)與系統(tǒng)受激勵和響應水平的相關性，需先建立自由振動狀態(tài)下單階模態(tài)與其模態(tài)幅值的函數(shù)關系，再代入受迫振動方程迭代計算出特定激勵力下的單階模態(tài)幅值和非線性模態(tài)，最后代入式（11）和式（12）分別求出單階非線性模態(tài)響應和系統(tǒng)響應。

綜上所述，基于非線性模態(tài)分析求解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的步驟可以由圖1所示流程圖來表示。

圖1 非線性模態(tài)分析求解穩(wěn)態(tài)響應流程Fig.1 Flowchart of steady-state response solved by nonlinear modal analysis

需要指出的是，在計算過程中構(gòu)成j階非線性模態(tài)的線性模態(tài)階數(shù)Nl及非線性模態(tài)階數(shù)Nnl不能太小，但也不是越大越逼近精確值；與線性系統(tǒng)不同的是，在大于某一值后其值再增大將不再影響結(jié)果精度[4，13-14]。

上述方法在求解大型復雜非線性系統(tǒng)時極具優(yōu)勢。以諧波平衡法為例，若考慮m 階諧波成分，需要迭代求解mN×mN維非線性矩陣方程才能求解非線性系統(tǒng)的響應。然而應用本文方法在求解系統(tǒng)響應時，依據(jù)單模態(tài)共振理論，若選取Nnl階非線性模態(tài)來近似表示系統(tǒng)的解，非線性矩陣方程可被解耦成Nnl個N×1維的非線性方程，求解單階非線性模態(tài)響應時分為如下2步：①求解非線性模態(tài)，即求解N×1維非線性方程；②求解單階主共振模態(tài)對應的模態(tài)幅值，求解標量形式的單變量非線性方程，由此大大減少了計算時間和計算機所需內(nèi)存。

除了能獲得非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應之外，本文方法還能通過非線性模態(tài)參數(shù)，從模態(tài)角度分析系統(tǒng)的非線性特性，總結(jié)非線性系統(tǒng)的振動特性和非線性行為特征。

2 在非線性實模態(tài)域的應用

為了驗證本文方法的合理性，首先用該方法求解了杜芬系統(tǒng)，并將結(jié)果與直接積分求解杜芬方程的結(jié)果進行對比。

2.1 多自由度杜芬系統(tǒng)的求解

杜芬系統(tǒng)是一種同時具有線性剛度與立方剛度的系統(tǒng)。單自由度杜芬振子模型由Duffing[15]最早提出，Duffing及后人基于此模型研究總結(jié)了很多非線性系統(tǒng)的典型特性。在數(shù)值方法充分發(fā)展的今天，杜芬系統(tǒng)經(jīng)常用于檢驗新算法的功效。

受激振力頻率為ω的簡諧激勵的無阻尼杜芬系統(tǒng)的運動微分方程為

根據(jù)第1節(jié)所介紹的理論和方法，對式（13）求解時，先借助非線性模態(tài)理論求得非線性模態(tài)，再計算單階主共振模態(tài)對應的諧波激勵下系統(tǒng)的響應，最后對選取的單階主共振模態(tài)對應的穩(wěn)態(tài)響應做疊加，從而得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。由于是無阻尼系統(tǒng)，應用迭代算法求解該方程時仍在實數(shù)空間里。

將單階非線性共振模態(tài)對應的系統(tǒng)響應表示為

再將式（14）代入杜芬系統(tǒng)方程，可得

若忽略三階以上諧波成分的影響，僅考慮主諧波成分，可得系統(tǒng)的模態(tài)空間運動微分方程為

杜芬系統(tǒng)的非線性模態(tài)剛度為

2.2 二自由度杜芬系統(tǒng)的計算與分析

本節(jié)通過對一個包含杜芬振子的二自由度參數(shù)模型（見圖2）的具體求解，展示第1節(jié)中描述的非線性模態(tài)分析方法的可行性和有效性，并通過與在時域直接積分獲得的結(jié)果比較，驗證其正確性。

圖2 二自由度非線性參數(shù)模型Fig.2 2-DOF nonlinear parametric model

圖2所示參數(shù)模型采用無量綱參數(shù)，振子質(zhì)量分別為m1=1、m2=1，彈簧剛度分別為k1=600、k2=400。振子m1受簡諧激振力作用，當用其模擬旋轉(zhuǎn)機械的偏心力時，激振力表達式為：F=A0mrω2cos（ωt），m 為 偏 心 質(zhì) 量，r為 偏 心 半徑，取mr=0.01，A0為激振力幅值，取A0=0.03。在2個質(zhì)量塊m1和m2之間引入杜芬振子，立方項系數(shù)為α=1×108。為避免計算過程中共振區(qū)出現(xiàn)數(shù)值溢出問題，在計算時引入阻尼系數(shù)為0.5%的微小黏滯阻尼。則該系統(tǒng)對應的數(shù)值求解方程為

將第1節(jié)中描述的非線性模態(tài)理論應用于計算該杜芬非線性系統(tǒng)的強迫響應，并與龍格庫塔時域積分法計算得到的頻響曲線進行比較，m1和m2的響應比較曲線分別如圖3和圖4所示。

由圖3和圖4可知，非線性模態(tài)分析方法與時域積分法得到的頻響曲線吻合良好，由此驗證了非線性模態(tài)分析方法的準確性。上述結(jié)果表明，不論是m1還是m2，均在第二階共振頻率附近表現(xiàn)出了較強的非線性特征，出現(xiàn)了典型的跳躍現(xiàn)象，藍線和紅線錯位區(qū)為不穩(wěn)定區(qū)域。

圖3 針對杜芬系統(tǒng)采用時域積分法和非線性模態(tài)分析方法計算m1 的頻響曲線Fig.3 Frequency response curves of m1 computed by time-domain integration method and nonlinear modal analysis method for Duffing system

在用非線性模態(tài)分析方法求解的同時，還獲得了有助于分析非線性系統(tǒng)動力學特征的模態(tài)參數(shù)。非線性模態(tài)頻率和表征模態(tài)振型的模態(tài)參與系數(shù)隨非線性模態(tài)幅值的變化規(guī)律分別如圖5和圖6所示。

圖4 針對杜芬系統(tǒng)采用時域積分法和非線性模態(tài)分析方法計算m2 的頻響曲線Fig.4 Frequency response curves of m2 computed by time-domain integration method and nonlinear modal analysis method for Duffing system

圖5 杜芬系統(tǒng)的兩階非線性模態(tài)頻率隨模態(tài)幅值的變化Fig.5 Variation of nonlinear modal frequency with modal amplitude for the two modes of Duffing system

圖6 杜芬系統(tǒng)的兩階模態(tài)參與系數(shù)隨模態(tài)幅值的變化Fig.6 Variation of modal participation factor with modal amplitude for the two modes of Duffing system

通過分析圖5中2個模態(tài)頻率的變化趨勢，觀察到第一階從2.25 Hz逼近2.63 Hz趨近穩(wěn)定，第二階則從5.5 Hz開始不斷增大，最后呈發(fā)散趨勢，可初步得出第二階共振頻率非線性更強的結(jié)論。另外，通過比較圖6中兩階模態(tài)的模態(tài)參與系數(shù)，第一階為0.25小于第二階0.35，說明第一階非線性模態(tài)與第一階線性模態(tài)的相關性更大，且隨著模態(tài)幅值的增加，相關性相應增加。第二階非線性模態(tài)與第一階和第二階線性模態(tài)均有相關性，且隨著模態(tài)幅值的增加，與兩階線性模態(tài)的相關性均增加。另外，通過分析模態(tài)參與系數(shù)隨模態(tài)幅值的變化率可知，第二階非線性模態(tài)表現(xiàn)出更強的非線性。同樣地，也可得出第二階模態(tài)非線性較強的推論。

3 在非線性復模態(tài)域的應用

3.1 具有干摩擦阻尼的振動系統(tǒng)

干摩擦阻尼不受溫度限制、結(jié)構(gòu)簡單、減振效果明顯，且經(jīng)濟性好，這些優(yōu)勢使其成為航空發(fā)動機結(jié)構(gòu)部件最主要的減振方式[16]。干摩擦阻尼由接觸面之間的相對運動產(chǎn)生，圖7給出一種描述干摩擦阻尼器的力學模型[11]。圖中：kt為接觸面之間的接觸靜剛度，kd為接觸面產(chǎn)生相對滑移之前的線性動剛度，接觸面上的滑動摩擦因數(shù)為μd，正壓力為FN。由干摩擦產(chǎn)生的非線性運動阻力不僅與接觸面之間的相對位移有關，還與相對運動方向有關，因此，干摩擦阻尼器既具有剛度效應，又包含阻尼效應。

圖7 雙線性遲滯干摩擦模型示意圖[11]Fig.7 Schematic diagram of bilinear hysteresis dry friction model[11]

刻畫干摩擦力與位移的關系的模型有多種，最常用的是根據(jù)Masing法則建立的雙線性遲滯模型[17]，如圖8所示。該模型代表了系統(tǒng)振動一個穩(wěn)定周期內(nèi)摩擦力的變化規(guī)律，現(xiàn)以前四分之一周期為例說明。當接觸面之間的相對位移從0增加xd的過程中，兩接觸面之間的相對運動表現(xiàn)出黏滯特性；當相對位移突破xd這個特征位移時，相對運動出現(xiàn)宏觀滑移特性。上述過程中，接觸面上摩擦力大小隨相對位移的變化為

式中：特征位移xd與線性動剛度kd、接觸面上的滑動摩擦因數(shù) μd和正壓力FN相關，滿足：xd=μdFN/kd。

Masing法則的表述為：若初始加載過程中摩擦力和相對位移滿足如下函數(shù)關系：

則基于Masing法則構(gòu)造的遲滯環(huán)曲線滿足：

基于上述干摩擦模型的干摩擦力對系統(tǒng)的剛度和阻尼均有貢獻，因此對于一個穩(wěn)定周期，可將摩擦力在復域空間表示為

圖8 基于Masing法則建立的干摩擦遲滯環(huán)[17]Fig.8 Hysteresis loop of dry friction based on Masing's rule[17]

3.2 二自由度干摩擦系統(tǒng)的計算與分析

為了說明非線性模態(tài)分析方法在復模態(tài)域中的應用，沿用如圖2所示的二自由度參數(shù)模型，僅將其中的非線性剛度（杜芬剛度模型）用干摩擦（雙線性遲滯環(huán)）模型替代（假設系統(tǒng)中存在干摩擦阻尼器），系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度矩陣保持不變，外界激勵形式不變，激振力幅值取A0=3；此系統(tǒng)中干摩擦為主要阻尼，但為了避免計算中出現(xiàn)數(shù)值溢出問題，仍在求解過程中引入了阻尼因子為0.05%的極微弱黏滯阻尼。雙線性遲滯環(huán)模型參數(shù)kd=200、kt=0.2，接觸面上的滑動摩擦因數(shù)取μd=0.5，正壓力取FN=15 N。該系統(tǒng)對應的數(shù)值求解方程與式（18）相比，僅在激振力幅值和非線性力這2項上有差異，其中激振力幅值從0.03 N變?yōu)? N，非線性力從三次項變?yōu)橛墒剑?2）確定的干摩擦力。

當系統(tǒng)中的非線性力同時包含剛度項和阻尼項時，其運動方程中包含了復數(shù)項，對應的數(shù)值求解問題轉(zhuǎn)化為復域的求解問題，此處需注意將方程中的未知量設為復變量進行分析。根據(jù)非線性模態(tài)理論和紐馬克時域積分法計算的2個質(zhì)量塊的頻響幅值對比曲線分別如圖9和圖10所示。同時給出數(shù)值積分的結(jié)果，目的在于對非線性復模態(tài)分析計算結(jié)果的正確性進行校核。

圖9 針對干摩擦系統(tǒng)采用時域積分法和非線性模態(tài)分析方法計算m1 的頻響曲線Fig.9 Frequency response curves of m1 computed by time-domain integration method and nonlinear modal analysis method for dry friction system

圖10 針對干摩擦系統(tǒng)采用時域積分法和非線性模態(tài)分析方法計算m2 的頻響曲線Fig.10 Frequency response curves of m2 computed by time-domain integration method and nonlinear modal analysis method for dry friction system

由圖9和圖10可知，非線性模態(tài)理論分析帶有干摩擦阻尼器的隱式非線性系統(tǒng)同樣有效，與時域積分法相比，速度快而不損失計算精度。因此，可根據(jù)非線性模態(tài)分析方法，快速求出不同正壓力下的系統(tǒng)位移隨激振力頻率的變化曲線，如圖11和圖12所示，其中正壓力取0，5，15，55，105，2 000 N。對于質(zhì)量塊m1和m2來說，第一階共振頻率附近的最優(yōu)控制正壓力均值為15 N，而第二階共振頻率附近的最優(yōu)控制正壓力均值為55 N。

除此之外，在基于非線性模態(tài)理論計算頻響曲線時，還得到了系統(tǒng)的共振頻率和干摩擦模態(tài)阻尼比隨模態(tài)幅值的變化曲線，如圖13和圖14所示。如此就可以從模態(tài)的角度去分析系統(tǒng)的非線性特性。可以看到，當模態(tài)幅值增大時，第一、二階共振區(qū)的頻率均呈下降趨勢；第一階共振區(qū)的頻率從2.42 Hz降到2.25 Hz，第二階共振區(qū)的頻率從6.3 Hz降到5.5 Hz；其中2.42 Hz和6.3 Hz分別對應干摩擦阻尼器的接觸面處于黏滯狀態(tài)的系統(tǒng)二階固有頻率，即m1和m2間剛度為k2+kd+kt的情況；2.25 Hz和5.5 Hz對應干摩擦阻尼器的接觸面處于自由振動狀態(tài)的系統(tǒng)二階固有頻率，即m1和m2間剛度為k2+kt的情況；另外，兩階模態(tài)的干摩擦模態(tài)阻尼比均從零開始，達到最大值，然后減小，第一階模態(tài)阻尼比最大值為0.04，第二階模態(tài)阻尼比為0.08，均遠大于結(jié)構(gòu)中引入的黏滯阻尼0.05%，由此可知干摩擦阻尼起主導作用；且第二階干摩擦阻尼比大于第一階，若觀察圖9和圖10中的頻響曲線，可知第二階共振區(qū)響應確實得到了更好的抑制。

圖11 不同正壓力下m1 的頻響曲線Fig.11 Frequency response curves of m1 under different normal pressure

圖12 不同正壓力下m2 的頻響曲線Fig.12 Frequency response curves of m2 under different normal pressure

圖13 第一階共振頻率附近，不同正壓力下的非線性共振頻率和干摩擦模態(tài)阻尼比隨模態(tài)幅值的變化Fig.13 Variation of nonlinear resonance frequency and dry friction modal damping with modal amplitude under different normal pressure for the first order mode

圖14 第二階共振頻率附近，不同正壓力下的非線性共振頻率和干摩擦模態(tài)阻尼比隨模態(tài)幅值的變化Fig.14 Variation of nonlinear resonance frequency and dry friction modal damping with modal amplitude under different normal pressure for the second order mode

4 在多場耦合域的應用

4.1 非線性壓電阻尼

壓電材料是應用非常廣泛的智能材料之一。當壓電材料在特定方向上受到力的作用時，會在垂直于力的電極上出現(xiàn)正負相反的束縛電荷，這種現(xiàn)象稱為壓電效應；相反，在壓電材料電極上施加電壓時，壓電材料會發(fā)生彈性形變，這種現(xiàn)象稱為逆壓電效應?；趬弘娦臏p振技術(shù)近年來得到了極大發(fā)展，其中基于壓電材料的同步開關阻尼技術(shù)是一個前沿性的且具有廣闊應用前景的半主動減振技術(shù)。

壓電同步開關半主動減振技術(shù)的基本原理為：在彈性結(jié)構(gòu)表面粘貼壓電片（見圖15[5]），將同步開關電路與壓電片的2個電極相連，控制好開關開啟與閉合的時間即可以使壓電材料產(chǎn)生一個始終阻礙彈性結(jié)構(gòu)變形的力，因此形成的阻尼稱為（壓電）同步開關阻尼（Synchronized Switch Damping，SSD）；如果再將此電路與一個負電容電路串聯(lián)，可以大大提高機電轉(zhuǎn)換的效率，由此形成的壓電阻尼稱為基于負電容電路的同步開關阻尼（Synchronized Switch Damping based on Negative Capacitor，SSDNC）[5]。

根據(jù)SSD的原理，在結(jié)構(gòu)振動位移達到最大時電路開關閉合，此時壓電片電極電壓Vm與結(jié)構(gòu)位移幅值xM之間的關系為[16]

式中：αp為壓電片的力系數(shù)，表示壓電片在單位電壓下產(chǎn)生的力的大小，一般通過實驗方法獲得αp的大?。籆p為壓電片的內(nèi)置電容；Cn為電路中的負電容。忽略開關的閉合時間，可得SSDNC電路的電壓表達式為

式中：χC為電路中負電容值的大小與壓電片內(nèi)置電容值之比，表示為

由壓電材料本構(gòu)關系可以推導出壓電片對結(jié)構(gòu)的機電耦合作用力fc（t）與SSD電路中壓電片電極電壓VSSD（t）之間的關系為

圖15 SSDNC電路單元示意圖[5]Fig.15 Schematic diagram of SSDNC circuit unit[5]

式中：kc為壓電片的機械剛度，代表壓電同步開關阻尼力。

式（24）、式（26）表明，電壓VSSDNC（x，˙x，t）及由此產(chǎn)生的壓電片對結(jié)構(gòu)的作用力是結(jié)構(gòu)振動位移x（t）與振動速度˙x（t）的非線性函數(shù)，因此具有SSDNC的機電耦合系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

4.2 非線性壓電阻尼系統(tǒng)的計算與分析

為了展示非線性模態(tài)分析方法在耦合系統(tǒng)分析中的可行性和有效性，仍沿用如圖2所示的二自由度參數(shù)模型，僅將其中的非線性剛度（杜芬剛度模型）用SSD模型（式（24）和式（26））替代。模型參數(shù)為：電容比χC=0.9，機電耦合系數(shù)γp=壓電片的機械剛度kc=0.05，外界激勵形式不變，激振力幅值取A0=1；此外在系統(tǒng)中引入了微小的瑞利阻尼，質(zhì)量項比例系數(shù)為1×10-10，剛度項比例系數(shù)為0.02。則該系統(tǒng)對應的數(shù)值求解方程為

圖16 諧波平衡法和非線性模態(tài)分析方法計算m1 的頻響曲線Fig.16 Frequency response curves of m1 computed by harmonic balance method and nonlinear modal analysis method

根據(jù)非線性模態(tài)理論和諧波平衡法計算2個質(zhì)量塊的頻響幅值對比曲線分別如圖16和圖17所示。同時給出諧波平衡法的結(jié)果，目的在于對非線性模態(tài)分析方法用于耦合系統(tǒng)的計算結(jié)果的正確性進行校核。

在非線性模態(tài)分析過程中得到的兩階模態(tài)特性如圖18和圖19所示，可以觀察到，雖然SSD是非線性的，但具有該阻尼的系統(tǒng)卻具有線性系統(tǒng)的特性，即模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比并不隨自由振動狀態(tài)下的模態(tài)幅值發(fā)生變化，這意味著系統(tǒng)參數(shù)的設計可以獨立于激勵水平。

圖17 諧波平衡法和非線性模態(tài)分析方法計算m2 的頻響曲線Fig.17 Frequency response curves of m2 computed by harmonic balance method and nonlinear modal analysis method

圖18 第一階共振頻率附近，不同電容比下的非線性共振頻率和模態(tài)阻尼比隨模態(tài)幅值的變化Fig.18 Variation of nonlinear resonance frequency and modal damping with modal amplitude under different capacitance ratios for the first order mode

圖19 第二階共振頻率附近，不同電容比下的非線性共振頻率和模態(tài)阻尼隨模態(tài)幅值的變化Fig.19 Variation of nonlinear resonance frequency and modal damping with modal amplitude under different capacitance ratios for the second order mode

5 大型復雜非線性系統(tǒng)的減縮分析

工程實際中的交通工具、航空航天器等大型復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)均由眾多子結(jié)構(gòu)組成，為了抑制結(jié)構(gòu)振動，往往在子結(jié)構(gòu)連接面上引入阻尼材料或結(jié)構(gòu)，而這些具有減振作用的材料或結(jié)構(gòu)在剛度和阻尼特性上通常都是非線性的。線性振動系統(tǒng)分析中的模態(tài)綜合法將大型復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)劃分為若干子結(jié)構(gòu)，獨立分析各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)，根據(jù)目標頻率范圍對模態(tài)作適當?shù)慕財?，僅保留各子結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)，通過物理-模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換將物理空間自由度化為模態(tài)空間縮聚自由度，從而使計算規(guī)模大大減小，提高計算效率，節(jié)省大量計算時間。本節(jié)基于非線性模態(tài)理論，給出將模態(tài)綜合法推廣到具有非線性連接界面的大型復雜非線性系統(tǒng)的方法。

線性模態(tài)綜合法按子結(jié)構(gòu)界面的處理方式可分為固定界面、自由界面和混合界面三大類，主要不同之處在于選取的位移近似表達式及構(gòu)造的物理-模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換矩陣。下面按照經(jīng)典的固定界面模態(tài)綜合法（即Craig-Bampton方法）[18]，針對界面的處理方式及基本思想，論述基于非線性模態(tài)理論的減縮方法。

不失一般性，以2個子結(jié)構(gòu)（S1，S2）和兩者間的非線性連接面（J）組成的系統(tǒng)（見圖20）為例，論述此類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的減縮方法。

首先求解各子結(jié)構(gòu)對應的固定界面模態(tài)矩陣ΦS1和 ΦS2，即當各子結(jié)構(gòu)的界面自由度被固定時，子結(jié)構(gòu)S1和S2的模態(tài)振型由解如下特征值問題獲得：

式中：MS1和KS1分別為不包含界面自由度的子結(jié)構(gòu)S1的質(zhì)量和剛度矩陣；ΛS1和ΦS1分別為方程的特征值向量和特征向量矩陣。

圖20 由兩個子結(jié)構(gòu)和非線性連接面組成的系統(tǒng)簡圖Fig.20 Illustration of an assembled system with a nonlinear interface and two substructures

式中：MS2和KS2分別為子結(jié)構(gòu)S2的質(zhì)量和剛度矩陣；ΛS2和ΦS2分別為方程的特征值向量和特征向量矩陣。

為了修正施加固定邊界約束造成的計算誤差，引入由連接面上的自由度單位位移引起的子結(jié)構(gòu)變形，也稱作靜力約束模態(tài)，如下：

式中：ΨJ=IJ為單位矩陣，其物理意義是保留連接面上自由度的所有模態(tài)信息，不作任何模態(tài)截斷，模態(tài)坐標即為物理坐標；ΨS1J為連接界面J位移引起的S1內(nèi)部位移；ΨS2J為連接面位移引起的S2內(nèi)部位移。

修正過后的子結(jié)構(gòu)和界面位移表達式為

基于Craig-Bampton方法的物理-模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為

式中：qJ為界面分支模態(tài)位移；qS1為子結(jié)構(gòu)S1的模態(tài)位移；qS2為子結(jié)構(gòu)S2的模態(tài)位移；TPM為物理-模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換矩陣，為一個N×Nr的矩陣，Nr?N。物理空間位移向量u為N×1維的向量，包含NS個子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度和NJ個界面自由度，N=NJ+NS；在物理-模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換過程中，保留所有連接面自由度（數(shù)目為NJ），對各子結(jié)構(gòu)的固定界面模態(tài)作截斷，僅保留NSr階低階主模態(tài)信息，Nr=NJ+NSr，且NSr?NS，故有：Nr?N。最終經(jīng)過物理-模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換的運動方程矩陣形式為

基于如上減縮模型，應用非線性模態(tài)理論分析其動力學特征；減縮非線性模態(tài)分析方法的具體實施步驟如下：

步驟1 建立系統(tǒng)的完整有限元離散模型：

式中：D為阻尼矩陣。

步驟2 選取合適的減縮方法，將系統(tǒng)的完整有限元模型從物理空間轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間，保留子結(jié)構(gòu)中低階主模態(tài)進行模態(tài)截斷：

步驟3 根據(jù)單模態(tài)共振理論和利茲-伽遼金映射方法，建立非線性減縮模型在模態(tài)空間的自由振動方程：

步驟4 基于Bogolyubov線性等價原理[19]，利用數(shù)值方法求解上面的減縮問題，通過迭代算法求出減縮模型的主共振非線性模態(tài)

步驟5 基于步驟4中得到的主共振非線性模態(tài)坐標隨其模態(tài)幅值的變化規(guī)律，提取表征非線性動力學行為的模態(tài)參數(shù)，建立這些模態(tài)參數(shù)與模態(tài)幅值間的函數(shù)關系，并作曲線擬合。

步驟6 基于步驟5建立的非線性模態(tài)參數(shù)與模態(tài)幅值間的函數(shù)關系，利用數(shù)值方法迭代求解受到外界激勵時該主共振模態(tài)對應的模態(tài)幅值：

步驟7 將模態(tài)坐標映射到物理空間，得到該階模態(tài)對應的穩(wěn)態(tài)響應：

步驟8 對各階非線性主共振模態(tài)計算得到的響應結(jié)果作疊加得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應：

該減縮模態(tài)算法應用在模態(tài)間弱耦合的非線性系統(tǒng)上時能得到準確的結(jié)果，有關此方面的研究還在發(fā)展之中，筆者已針對包含有杜芬、干摩擦阻尼和SSD非線性的復雜系統(tǒng)做了初步嘗試，具體應用實例可參見文獻[4，13-14]。

6 結(jié) 論

1）本文基于非線性模態(tài)理論的研究進展，針對大型復雜非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析問題提煉了一套基于單模態(tài)共振理論和非線性模態(tài)理論的計算方法。

2）給出的杜芬系統(tǒng)和干摩擦系統(tǒng)的算例表明了本文方法對于求解強非線性系統(tǒng)的適用性——對于模態(tài)間弱耦合（主共振模態(tài)相對稀疏）的系統(tǒng)具有通用性；通過對具有非線性壓電阻尼系統(tǒng)的分析算例進一步表明了本文方法對于求解非線性系統(tǒng)具有普適性。

3）針對大型復雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，本文提出將上述論證的方法與模態(tài)綜合法結(jié)合的思想，并給出了具體實施步驟，其特點在于：基于此方法、步驟不僅可以快速求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，還能得到一組表征系統(tǒng)非線性動力學特性的模態(tài)參數(shù)（如模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼和模態(tài)參與系數(shù)），通過分析這些模態(tài)參數(shù)隨系統(tǒng)模態(tài)幅值的變化規(guī)律，有助于理解系統(tǒng)的非線性動力學行為。