孔岳，李敏，*，陳偉民

（1.北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100083； 2.中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所，北京100190）

能源問(wèn)題是當(dāng)前中國(guó)面臨的重大問(wèn)題，因此推動(dòng)頁(yè)巖氣等非常規(guī)油氣資源的開(kāi)采和利用具有非常重要的意義。當(dāng)前頁(yè)巖氣開(kāi)采多采用水力壓裂技術(shù)，其中實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)水力致裂裂紋的發(fā)展情況、判讀裂紋開(kāi)裂機(jī)制能夠?yàn)閴毫逊桨傅膬?yōu)化提供切實(shí)的依據(jù)，對(duì)提高頁(yè)巖氣產(chǎn)量至關(guān)重要。目前廣泛采用的方法是基于矩張量理論的裂紋實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)方法，即通過(guò)裂紋開(kāi)裂產(chǎn)生的聲發(fā)射信號(hào)反演裂紋矩張量，進(jìn)而求解裂紋信息[1-2]。矩張量理論最早發(fā)展于地球物理學(xué)領(lǐng)域，被用來(lái)監(jiān)測(cè)地震的震源機(jī)制。Burridge和Knopoff[3]根據(jù)動(dòng)力學(xué)等效概念，提出了使用動(dòng)態(tài)等效力來(lái)描述裂紋張開(kāi)過(guò)程。進(jìn)而，Knopoff和Randall[4]討論了幾種特殊形式矩張量對(duì)應(yīng)的裂紋形態(tài)。為探索矩張量理論的應(yīng)用價(jià)值，早期很多學(xué)者[5-7]嘗試通過(guò)面波來(lái)反演裂紋矩張量。由于技術(shù)水平的限制，為了得到穩(wěn)定、唯一的矩張量反演結(jié)果，計(jì)算中需要人工引入多種約束條件。由于約束條件的不同會(huì)影響矩張量反演結(jié)果，約束條件的選取必須具有可靠的物理依據(jù)，由此也引出了關(guān)于裂紋類(lèi)型和矩張量形式的討論[8-9]。在總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上，Aki和Richards[10]詳細(xì)推導(dǎo)了裂紋矩張量等效的理論基礎(chǔ)，并給出了矩張量表述的地震波表達(dá)式。以此為基礎(chǔ)，Ohtsu[11]提出利用地震波中遠(yuǎn)場(chǎng)壓縮波（P波）成分反演矩張量的方法，該方法形式簡(jiǎn)單并且針對(duì)工程應(yīng)用條件作了相應(yīng)的改進(jìn)和簡(jiǎn)化。后續(xù)對(duì)矩張量反演方法的研究大多是針對(duì)矩張量反演過(guò)程的改進(jìn)[12-13]和反演結(jié)果可靠性的分析[14-15]。

在矩張量反演中，噪聲是一個(gè)不可忽視的問(wèn)題。由于地質(zhì)結(jié)構(gòu)存在顯著的不均勻性和各向異性[16-17]，彈性波在介質(zhì)中傳播時(shí)會(huì)發(fā)生明顯的散射、反射等現(xiàn)象[18-19]。另外，矩張量反演中的點(diǎn)震源假設(shè)和遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)將彈性波信號(hào)理想化，導(dǎo)致反演過(guò)程不考慮裂紋開(kāi)裂產(chǎn)生的高頻波和中近場(chǎng)成分的影響。對(duì)于矩張量反演，這部分彈性波成分也可以看作特殊的噪聲信號(hào)。由于噪聲信號(hào)成分大多具有不確定性，因此矩張量反演結(jié)果會(huì)出現(xiàn)無(wú)法預(yù)料的偏差甚至錯(cuò)誤[20-21]。針對(duì)噪聲問(wèn)題，目前常用的手段是在開(kāi)始反演前，使用數(shù)字信號(hào)處理方法對(duì)聲發(fā)射信號(hào)進(jìn)行處理[22]，然而，裂紋動(dòng)力學(xué)特性無(wú)法預(yù)先了解，地質(zhì)結(jié)構(gòu)也是復(fù)雜且未知的，導(dǎo)致噪聲信號(hào)的特征很難評(píng)估，由此可見(jiàn)對(duì)噪聲信號(hào)的篩選和處理是一件非常困難的事情。

裂紋矩張量反演方法的本質(zhì)，是通過(guò)傳感器捕捉裂紋開(kāi)裂產(chǎn)生的聲發(fā)射信號(hào)幅值在空間中的分布規(guī)律，進(jìn)而識(shí)別特定的裂紋。合理的傳感器空間排布形式能夠降低噪聲對(duì)反演結(jié)果的影響，提高反演結(jié)果的精度。目前，對(duì)矩張量反演中傳感器位置的研究還比較少。對(duì)于地震的矩張量反演[20，23-24]，由于地震臺(tái)站多為永久性建筑，工程中一般根據(jù)震源定位選擇臨近的地震臺(tái)站所得地震波形進(jìn)行反演。對(duì)于實(shí)驗(yàn)室條件下的巖石壓裂聲發(fā)射實(shí)驗(yàn)[25-27]，雖然試件尺寸較小且傳感器布置的自由度很高，研究中傳感器位置的選取僅僅根據(jù)均勻排布、盡可能擴(kuò)大覆蓋面等依據(jù)來(lái)確定?？傮w來(lái)看，矩張量反演中對(duì)于傳感器（臺(tái)站）位置選擇的研究還不夠深入。因此，本文從傳感器空間排布形式入手，以相應(yīng)的理論分析為基礎(chǔ)，研究在聲發(fā)射信號(hào)包含一定噪聲的情況下，不同的傳感器排布方案取得的矩張量反演精度，為工程應(yīng)用提供相關(guān)的意見(jiàn)和指導(dǎo)，即如何選擇合適的傳感器排布形式來(lái)提高裂紋矩張量反演精度。

1 理論分析

1.1 裂紋矩張量反演理論

根據(jù)矩張量理論的裂紋載荷等效原理[10]，任何一個(gè)裂紋都可以通過(guò)唯一的矩張量來(lái)描述。在均勻各向同性介質(zhì)中，對(duì)于一個(gè)裂紋，假設(shè)裂紋面的法向向量為n，裂紋面開(kāi)裂的位移向量為l，則其對(duì)應(yīng)的矩張量形式為

式中：mpq為矩張量元素；λ和 μ為拉梅常數(shù)；當(dāng)p=q時(shí)，δpq取1，否則取0；lk和lp為裂紋面位移單位向量的分量；nk和nq為裂紋面法向單位向量的分量；V為裂紋開(kāi)裂體積。

由矩張量表述的裂紋開(kāi)裂彈性波位移場(chǎng)的表達(dá)式為[10]

式中：un為彈性體中某處沿方向n的位移，n=1，2，3，分別代表x、y、z 3個(gè)坐標(biāo)方向；Σ代表裂紋面；Gnp，q為第2類(lèi)格林函數(shù)；S（t）為震源函數(shù)。由于式（2）展開(kāi)后的形式過(guò)于復(fù)雜，不利于工程應(yīng)用，因此引入遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)和點(diǎn)震源假設(shè)來(lái)對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，其中遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)認(rèn)為傳感器與震源的距離足夠遠(yuǎn)，此時(shí)聲發(fā)射信號(hào)中只包含遠(yuǎn)場(chǎng)成分；點(diǎn)震源假設(shè)認(rèn)為震源尺寸遠(yuǎn)小于彈性波波長(zhǎng)，因此裂紋面上每個(gè)點(diǎn)發(fā)出的彈性波的相位都相同，且每個(gè)點(diǎn)到任意一個(gè)傳感器的距離也相同，此時(shí)裂紋的真實(shí)幾何形狀可以忽略。則由矩張量表述的裂紋彈性波表達(dá)式可簡(jiǎn)化為[10]

式中：rn、rp和rq為震源-傳感器連線方向余弦的分量，n，p，q=1，2，3，分別代表x、y、z 3個(gè)坐標(biāo)方向；ρ為介質(zhì)材料密度；R為傳感器與震源的距離；vp和vs分別為縱波波速和橫波波速。進(jìn)一步，可認(rèn)為震源函數(shù)具有單位階躍形式[28]，且考慮到壓縮波（P波）成分的波速最快，工程中使用式（4）來(lái)反演矩張量[29]：

式中：An為傳感器接收到的沿n方向位移信號(hào)的初動(dòng)極大值；Cs為傳感器靈敏度參數(shù)，工程中該參數(shù)一般通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定，數(shù)值試驗(yàn)中取1；Ref（t，r）表示反射系數(shù)，用于修正地面反射對(duì)彈性波幅值的影響，數(shù)值試驗(yàn)中取rn；mpq表示矩張量元素，一個(gè)完整的矩張量包含9個(gè)元素，其中獨(dú)立元素有6個(gè)。也就是說(shuō)，通過(guò)6個(gè)不同位置的傳感器可以得到6個(gè)與式（4）形式相同的代數(shù)方程，方程聯(lián)立可以求解得到完整的矩張量。

1.2 傳感器位置選擇理論

矩張量反演方法的核心是求解一組方程組，即由6個(gè)傳感器得到的形如式（4）的方程所組成的方程組，當(dāng)考慮噪聲信號(hào)時(shí)，方程組可以寫(xiě)成的矩陣形式為

進(jìn)而式（5）可寫(xiě)成

其中：B為方程組的系數(shù)矩陣；Me為矩張量元素組成的列向量；AS為真實(shí)信號(hào)幅值；AN為噪聲信號(hào)幅值。本文希望在AN取值出現(xiàn)小幅度變化時(shí)，解向量Me的求解結(jié)果能夠保持穩(wěn)定。為了降低列向量Me對(duì)噪聲信號(hào)的敏感度，根據(jù)數(shù)值分析理論，需要降低系數(shù)矩陣B的條件數(shù)，條件數(shù)的定義為

適中：范數(shù)取無(wú)窮范數(shù)形式。

選擇合理傳感器的依據(jù)是使得系數(shù)矩陣的條件數(shù)盡可能的取小值。對(duì)比式（4）和式（5）可知，影響系數(shù)矩陣B取值的因素包括傳感器之間的相對(duì)位置和傳感器與震源的相對(duì)位置。一般情況下，傳感器的位置選定與地震發(fā)生之前，研究傳感器與震源的相對(duì)位置意義較小且會(huì)大幅度增加研究復(fù)雜性。因此研究只考慮傳感器之間的相對(duì)位置。由于矩張量反演至少涉及6個(gè)傳感器，即6個(gè)空間位置，18個(gè)自由度。通過(guò)理論推導(dǎo)傳感器最佳位置非常困難，因此本文通過(guò)枚舉的方法，通過(guò)大量的隨機(jī)分布實(shí)驗(yàn)尋找傳感器布局的一般規(guī)律。

2 隨機(jī)分布實(shí)驗(yàn)

2.1 傳感器位置選取及坐標(biāo)變換

為了尋找傳感器布局的一般規(guī)律，研究使用枚舉法隨機(jī)選擇不同的傳感器布局，通過(guò)對(duì)比不同傳感器布局下的矩張量反演誤差來(lái)尋求最優(yōu)的分布模式。首先在x-y面上一個(gè)半徑為1 m的圓內(nèi)（記作C0圓）隨機(jī)選擇6個(gè)初始傳感器坐標(biāo)點(diǎn)，記作L0，其中L0是6×3階矩陣，每一行存儲(chǔ)一個(gè)傳感器的坐標(biāo)。然后將傳感器坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換：

2.2 聲發(fā)射信號(hào)構(gòu)造

為了探究合理的傳感器排布形式，研究需要合適的聲發(fā)射數(shù)據(jù)用于矩張量反演。為了簡(jiǎn)化研究，排除其他因素的影響。本文使用人工合成的聲發(fā)射信號(hào)，在基礎(chǔ)信號(hào)中疊加一定比例的噪聲信號(hào)，考察不同傳感器排布形式對(duì)噪聲信號(hào)的敏感程度。針對(duì)特定的裂紋類(lèi)型，基礎(chǔ)信號(hào)使用式（3）計(jì)算，震源函數(shù)取類(lèi)單位階躍形式[11]。噪聲信號(hào)的幅值根據(jù)基礎(chǔ)信號(hào)的均方根計(jì)算：

式中：F為基礎(chǔ)信號(hào)的整體幅值水平；f0（ti）為ti時(shí)刻基礎(chǔ)信號(hào)的數(shù)值；N為位移序列中元素的個(gè)數(shù)。在基礎(chǔ)信號(hào)f0（ti）的基礎(chǔ)上，疊加白噪聲信號(hào)，即

其中：f（ti）為疊加上噪聲信號(hào)之后的聲發(fā)射信號(hào)，稱(chēng)之為真實(shí)信號(hào)；α為噪聲信號(hào)占基礎(chǔ)信號(hào)的比例；Rand（-1，1）表示區(qū)間[-1，1]上的一個(gè)均布隨機(jī)數(shù)。

2.3 反演誤差計(jì)算

為了定量研究傳感器排布形式對(duì)裂紋矩張量反演精度的影響，本文提出了一種矩張量反演誤差計(jì)算方法。傳統(tǒng)的矩張量分解處理方法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，且處理結(jié)果重點(diǎn)反映了裂紋的物理特性，對(duì)矩張量數(shù)學(xué)特征的反映則不夠直接和明顯。因此，參照線性代數(shù)中范數(shù)的概念，將矩張量看作一個(gè)3×3的矩陣，通過(guò)構(gòu)造特定形式的范數(shù)來(lái)定量表征矩張量反演誤差。

裂紋矩張量反演結(jié)果的誤差計(jì)算方法應(yīng)綜合考慮2個(gè)方面：一方面，最終的誤差結(jié)果應(yīng)考慮所有矩張量元素的誤差情況；另一方面，根據(jù)各個(gè)矩張量元素取值的大小，不同矩張量元素誤差對(duì)最終誤差結(jié)果影響的權(quán)重應(yīng)具有區(qū)分度。綜合以上兩方面的考慮，誤差計(jì)算方式為

式中：e為矩張量的反演誤差；M 為矩張量反演結(jié)果；M0為矩張量真實(shí)結(jié)果；Ne為矩張量元素的個(gè)數(shù)為矩陣中所有元素絕對(duì)值中的最大值表示矩陣Frobenius范數(shù)，相應(yīng)的表達(dá)式為

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)式（7）產(chǎn)生100組傳感器隨機(jī)分布形式，進(jìn)而根據(jù)式（3）求解相應(yīng)位置處的聲發(fā)射信號(hào)，根據(jù)式（4）反演矩張量，最后通過(guò)式（10）求解反演誤差。文獻(xiàn)[10]表明，地震裂紋主要以剪切裂紋為主，因此實(shí)驗(yàn)選擇剪切裂紋作為震源。在巖石介質(zhì)中，存在同一個(gè)區(qū)域內(nèi)包含多個(gè)裂紋源的情況，多個(gè)裂紋的識(shí)別主要依賴(lài)于聲發(fā)射信號(hào)初至波到時(shí)的拾取精度。另外，聲發(fā)射事件的強(qiáng)度也是一個(gè)重要指標(biāo)，但聲發(fā)射事件強(qiáng)度的識(shí)別依賴(lài)于聲發(fā)射信號(hào)初至波幅值的識(shí)別精度。總體來(lái)看，聲發(fā)射事件的發(fā)生數(shù)和強(qiáng)度的識(shí)別主要依賴(lài)于信號(hào)處理精度，與傳感器排布形式的關(guān)系相對(duì)較小。因此，為了簡(jiǎn)化研究過(guò)程，數(shù)值實(shí)驗(yàn)中只考慮單一震源具有相同震源強(qiáng)度的情況。

圖1 100種傳感器隨機(jī)排布形式反演得到的矩張量反演誤差對(duì)比Fig.1 Comparison of moment-tensor inversion errors calculated with 100 sensor stochastic arrangements

當(dāng)噪聲水平α=2%時(shí)，相應(yīng)的誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1所示。圖中每一個(gè)點(diǎn)代表一種隨機(jī)傳感器分布模式，極坐標(biāo)圖徑向坐標(biāo)代表反演誤差，周向坐標(biāo)隨機(jī)選取，沒(méi)有實(shí)際物理意義，其作用是區(qū)分每次反演結(jié)果。

從圖1中找出最靠近中心，即誤差最小的3個(gè)結(jié)果，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的傳感器排布形式，如圖2所示，圖中星號(hào)代表傳感器位置。由圖2可以看出，3種傳感器排布形式存在一定的相似性，即一個(gè)傳感器接近圓形區(qū)域的圓心，其他5個(gè)傳感器則靠近圓形邊界，且傳感器之間的方位差別相對(duì)比較均衡。由此可以猜想，性能最好的傳感器排布形式是正五邊形的形式：第1個(gè)傳感器布置在圓形，其他5個(gè)傳感器分別布置在圓形內(nèi)接正五邊形的5個(gè)角點(diǎn)上，如圖3所示，圖中黑色原點(diǎn)代表傳感器位置。

圖2 圖1中矩張量反演誤差最小的3個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的傳感器排布形式示意圖Fig.2 Schematic of sensor arrangements corresponding to three moment-tensor inversion errors with minimum values in Fig.1

為了探究正五邊形傳感器排布形式下的矩張量反演表現(xiàn)，將正五邊形傳感器排布形式應(yīng)用于矩張量反演中，并將計(jì)算結(jié)果與隨機(jī)傳感器排布形式所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)式（7）計(jì)算出正五邊形形式中6個(gè)傳感器的空間最終位置為

為使結(jié)果具有可比性，正五邊形傳感器（見(jiàn)式（12））分布在一個(gè)半徑為100 m的圓形區(qū)域內(nèi)，與隨機(jī)傳感器的分布范圍相同。將不同傳感器排布形式計(jì)算得到的矩張量反演誤差畫(huà)圖，如圖4所示。其中，十字符號(hào)（10個(gè)）代表正五邊形傳感器排布形式得到的矩張量反演誤差，米字符號(hào)（100個(gè)）代表隨機(jī)傳感器排布形式得到的反演誤差。噪聲水平α取1%，2%和3%。

圖3 傳感器正五邊形排布形式示意圖Fig.3 Schematic of sensors with an arrangement of regular pentagon

由圖4可以看出，在不同的噪聲水平下，誤差分布規(guī)律具有一致性。根據(jù)正五邊形傳感器排布形式計(jì)算得到的誤差（符號(hào)）均集中于坐標(biāo)圖的中央，而隨機(jī)傳感器排布形式計(jì)算得到的誤差則分布在周?chē)艽蟮姆秶鷥?nèi)。以上結(jié)果表明正五邊形傳感器排布形式在矩張量反演中具有非常優(yōu)秀的精度表現(xiàn)，雖然隨機(jī)噪聲信號(hào)導(dǎo)致正五邊形傳感器分布形式的反演結(jié)果出現(xiàn)波動(dòng)，但是波動(dòng)的幅度很小，多次反演的結(jié)果非常接近并且集中，由此可知在正五邊形傳感器排布形式的條件下，矩張量反演結(jié)果非常穩(wěn)定。相對(duì)于其他傳感器排布形式，此時(shí)的矩張量反演結(jié)果對(duì)噪聲的敏感程度很低。

圖4 不同噪聲水平下多種傳感器排布形式反演得到的矩張量反演誤差對(duì)比Fig.4 Comparison of moment-tensor inversion errors inverted with different sensor arrangements under different noise levels

4 原理分析

由第3節(jié)可知，正五邊形傳感器排布形式在矩張量反演中具有較好的精度表現(xiàn)。這一結(jié)論可以通過(guò)方程組的條件數(shù)來(lái)驗(yàn)證和解釋。根據(jù)式（6），可以計(jì)算出傳感器正五邊形排布以及每種隨機(jī)排布形式得到的線性方程組的條件數(shù)，所有條件數(shù)如圖5所示。圖中底部橫線為傳感器正五邊形排布形式對(duì)應(yīng)的條件數(shù)，星號(hào)表示每一次隨機(jī)排布形式對(duì)應(yīng)的條件數(shù)。圖中橫坐標(biāo)表示每一次傳感器隨機(jī)排布的實(shí)驗(yàn)編號(hào)，縱坐標(biāo)表示條件數(shù)。

圖5 矩張量反演中不同傳感器排布形式對(duì)應(yīng)的方程組條件數(shù)對(duì)比Fig.5 Comparison of condition numbers of equation set corresponding to different sensor arrangements in moment-tensor inversion

由圖5可知，數(shù)值試驗(yàn)涉及的傳感器隨機(jī)排布形式對(duì)應(yīng)的條件數(shù)均大于正五邊形排布形式對(duì)應(yīng)的條件數(shù)，也就是說(shuō)傳感器正五邊形排布形式的條件數(shù)是目前計(jì)算考慮的所有傳感器排布形式的下界。當(dāng)傳感器排布形式取正五邊形形式時(shí)，方程組中方程之間的線性度最低，良性度最高。此時(shí)，計(jì)算結(jié)果對(duì)噪聲的敏感度最低。在相同的噪聲水平下，反演結(jié)果最接近理論值，反演精度最高。

5 結(jié) 論

1）裂紋矩張量反演中，傳感器接收到的聲發(fā)射信號(hào)總包含一定比例的噪聲信號(hào)，這些噪聲信號(hào)會(huì)影響矩張量的反演精度，甚至導(dǎo)致反演結(jié)果完全錯(cuò)誤。優(yōu)化傳感器排布形式能夠有效降低反演結(jié)果對(duì)噪聲的敏感程度，提高矩張量的求解精度和穩(wěn)定性。

2）數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于單震源的情況，將傳感器按照正五邊形布置的方案性能最好。該方案中，5個(gè)傳感器布置在一個(gè)圓環(huán)上，且相鄰傳感器方位角間隔（傳感器-圓心連線的夾角）為72°，第6個(gè)傳感器布置在圓心。這種排布形式可以明顯降低信號(hào)噪聲對(duì)矩張量精度的影響，相比于相同分布范圍內(nèi)其他的排布形式，此時(shí)的矩張量反演結(jié)果更接近真實(shí)值，穩(wěn)定性更好。需要指出的是，當(dāng)傳感器以正五邊形形式排布時(shí)，根據(jù)工程應(yīng)用條件，盡可能增大傳感器的分布范圍（即圓環(huán)半徑）可進(jìn)一步提高矩張量的反演精度。

3）裂紋矩張量反演的核心是求解一組線性方程組。當(dāng)傳感器以正五邊形形式排布時(shí)，方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù)較小，此時(shí)雖然位移列向量由于噪聲發(fā)生小幅度變化，求解結(jié)果依然非常接近真實(shí)值，且波動(dòng)較小。