高 升

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

引 言

為方便討論,先引入一些記號和定義。本文提到的整數(shù),均為有理整數(shù)。表示全體整數(shù)之集，+表示全體正整數(shù)之集，≥0表示全體非負整數(shù)之集，表示全體有理數(shù)之集。兩個整數(shù)a和b的最大公因子記作g.c.d.(a,b)。對任一實數(shù)x，“[x]”表示不超過x的最大整數(shù)。

特別地，當a0∈，a1,a2,a3,…∈+時，稱「a0,a1,a2,…,an」為有限簡單連分數(shù)，稱「a0,a1,a2,……」為無限簡單連分數(shù)；當a0∈而a1,a2,a3,…為大于1的整數(shù)時，稱「a0,a1,a2,…,an」為有限半單連分數(shù)，稱「a0,a1,a2,……」為無限半單連分數(shù)。

(1)若存在m∈≥0和k∈+，使得?n≥m，都有an+k=an，則稱為循環(huán)數(shù)列，稱無限連分數(shù)「a0,a1,a2,……」或「a0,a1,a2,……」為循環(huán)連分數(shù)，稱k為該數(shù)列或該連分數(shù)的周期，此時將該連分數(shù)記為或

(2)若存在k∈+，使得?n≥0，都有an+k=an，則稱為純循環(huán)數(shù)列，稱無限連分數(shù)「a0,a1,a2,……」或「a0,a1,a2,……」為純循環(huán)連分數(shù)。

設(shè)Δ∈+非完全平方數(shù)，則可以用的無限簡單連分數(shù)展開式的漸近分數(shù)給出Pell方程x2-Δy2=±1的基本解(即最小正解)和全部正整數(shù)解。這是數(shù)論中廣為人知的經(jīng)典結(jié)果(參見專著[2]的第3章第3節(jié)，[4]的第7章第6節(jié)，或者[5]中的定理3.18)。

對于在實二次域理論中應(yīng)用廣泛的Pell方程x2-Δy2=4，求解過程更復(fù)雜。根據(jù)[3]中第1章引理2.4，如果非完全平方的正整數(shù)Δ=b2+4ac，其中a,b,c∈，|b|ac，g.c.d.(a,b,c)=1，那么可以用的無限簡單連分數(shù)展開式的漸近分數(shù)給出方程x2-Δy2=4的最小正解和全部正整數(shù)解。困難的地方在于，此時必須討論的無限簡單連分數(shù)展開式的最小周期的奇偶性。在最小周期為奇數(shù)和最小周期為偶數(shù)這兩種情況下，方程x2-Δy2=4的解的情況存在較大差異。

本文將以二次無理數(shù)的無限半單連分數(shù)展開式為工具給出Pell方程x2-Δy2=4的最小正解和全部正整數(shù)解。這種方法的優(yōu)點是無需討論最小周期的奇偶性，在各種情況下都有統(tǒng)一的表達式。

1 預(yù)備知識

為了便于應(yīng)用，將半單連分數(shù)的基本性質(zhì)列舉如下(這些性質(zhì)都是已知的，可以在[1]，[5],[6]中找到)。

引理2.1 設(shè)x1,…,xn為實數(shù)。若xj≥2(1j1，則「x1,…,xn」>1。

s-2=0，s-1=1，t-2=-1，t-1=0；sn=xnsn-1-sn-2，tn=xntn-1-tn-2，?n≥0；

又設(shè)a∈，則以下結(jié)論成立(假定其中出現(xiàn)的各連分數(shù)和分數(shù)都有意義)：

(1)?n∈+,?r∈≥0,有「x0,…,xn-1,xn,…,xn+r,a」=「x0,…,xn-1,「xn,…,xn+r,a」」；

(2)?n∈≥0，有(約定：當n=0時，等式左邊就表示a)；

(3)?n∈≥0，有

引理2.3(半單連分數(shù)的基本運算性質(zhì))(假定其中出現(xiàn)的各連分數(shù)和分數(shù)都有意義)

(1)?n∈+，有

(2)設(shè)a,b∈，n∈≥0，則且

(3)設(shè)k∈+，a2,a4,…,a2k-2∈，a1,a3,…,a2k-1∈+，則有

(1)?n∈≥0，?δ∈[1,+)，?ε∈(0,+)，都有「x0,…,xn,δ」<「x0,…,xn,δ+ε」；

(2)?n∈≥0，都有「x0,…,xn」>「x0,…,xn,xn+1」>x0-1；

引理2.5(半單連分數(shù)展開式的存在性和唯一性)

(i)?j≥1，有aj≥2；

(ii)?j≥0，有ξj=「aj,aj+1,aj+2,aj+3,…」；

(iii)ξ=「a0,a1,a2,a3,…」(即任一實數(shù)都可展開為無限半單連分數(shù))；

(i)?n≥0，有an=[θn]+1，且θ=「a0,…,an-1,θn」；

(ii)?n≥1，有θn≥1；

(iii)θ為有理數(shù)的充要條件是：存在j0≥0，使得aj=2(?j≥j0)；

(iv)θ為無理數(shù)的充要條件是：集合{j∈|j≥0,aj≥3}含無限多個元素。

引理2.6 設(shè)ξ為無理數(shù)且ξ=「a0,a1,a2,a3,…」，其中aj∈(?j≥0)，且aj≥2(?j≥1)，則ξ為二次無理數(shù)的充要條件是：存在m∈≥0和k∈+，使得?n≥m，有an+k=an。

引理2.7 設(shè)ξ為實二次無理數(shù)，則ξ可表示為無限純循環(huán)半單連分數(shù)的充要條件是：ξ>1且ξ的共軛數(shù)屬于開區(qū)間(0,1)。

以下命題是初等的，但對于本文主要定理的證明很有用。

證明 若已知g.c.d.(u1,v1)=1，則存在λ,μ∈，使得λu1+μv1=1，即于是，由已知條件可知即(r11λ+r12μ)u+(r21λ+r22μ)v=1，從而必有g(shù).c.d.(u,v)=1。

3 本文主要結(jié)果及其證明

引理3.1 若a,b,c∈，|b|ac，且Δ=b2+4ac非完全平方數(shù)(此時當然有a≠0且c≠0)，則必存在a0,a1,…,ak∈，其中a1,…,ak≥2，使得

由引理2.3(4)可以推出以下結(jié)論。

(1)若l=2k(其中k∈+)，則α可表示為無限循環(huán)半單連分數(shù)

(2)若l=2k-1(其中k∈+)，則α可表示為無限循環(huán)半單連分數(shù)

以下定理將該恒等式推廣到無限循環(huán)半單連分數(shù)的情形，系本文的原創(chuàng)。

(sk-1+βtk-1)m=smk-1+βtmk-1。

(1)

證明 由已知條件可知，存在整系數(shù)二次多項式ax2-bx-c(其中a,b,c∈，a>0)，使得ax2-bx-c=a(x-α)(x+β)。此時,有

由已知條件，可知s0=a0，t0=1。再由半單連分數(shù)的漸近分數(shù)的性質(zhì)(引理2.2)可知，?n≥1，都有sn=ansn-1-sn-2，tn=antn-1-tn-2。

?m≥0，有α=「a0,…,amk,amk+1,amk+2,amk+3,amk+4,……」

=「a0,…,amk,a1,a2,a3,a4,……」

=「a0,…,amk,「a1,a2,a3,a4,……」」

(2)

下面運用對m的歸納法來證明(1)式，即(sk-1+βtk-1)m=smk-1+βtmk-1(?m≥0)。

當m=0時結(jié)論顯然成立。

假設(shè)(1)式對非負整數(shù)m成立，我們分兩種情況來證明它對m+1仍然成立。

第一種情況，設(shè)k=1。此時sk-1=s0=a0，tk-1=t0=1。由歸納假設(shè)，有

(s0+βt0)m=(a0+β)m=sm-1+βtm-1，從而

(s0+βt0)m+1=(a0+β)m+1=(a0+β)m(a0+β)

=(sm-1+βtm-1)(a0+β)

=a0sm-1+β(a0tm-1+sm-1)+tm-1β2

=sm+βtm(由(2)式)，

所以此時(1)式對m+1仍然成立。

第二種情況，設(shè)k≥2。此時我們有

=「a0,…,amk,「a1,a2,…,ak-1」」

所以，由既約分數(shù)的性質(zhì)可知

smktk-1+smk-1(sk-1-a0tk-1)=s(m+1)k-1，tmktk-1+tmk-1(sk-1-a0tk-1)=t(m+1)k-1。

(3)

于是，我們有

(sk-1+βtk-1)m+1=(sk-1+βtk-1)m(sk-1+βtk-1)

=(smk-1+βtmk-1)(sk-1+βtk-1)(由歸納假設(shè))

=smk-1sk-1+β(smk-1tk-1+tmk-1sk-1)+β2tmk-1tk-1

=smk-1sk-1+(smk-a0smk-1)tk-1+β[(tmk-a0tmk-1)tk-1+tmk-1sk-1](由(2)式)

=s(m+1)k-1+βt(m+1)k-1(由(3)式)，

即(1)式對m+1仍然成立。

推論3.4 設(shè)實二次無理數(shù)α=「a0,a1,a2,a3,……」=「b0,b1,b2,b3,……」，其中a0,b0∈，和都是正整數(shù)列，且bj≥2(?j≥1)；又設(shè)?n≥1，有an+l=an和bn+m=bn，且l和m分別為循環(huán)簡單連分數(shù)「a0,a1,a2,a3,……」和循環(huán)半單連分數(shù)「b0,b1,b2,b3,……」的最小周期。設(shè)β為α的共軛數(shù)的相反數(shù)，又設(shè)其中p,s∈，q,t∈+，g.c.d.(p,q)=g.c.d.(s,t)=1，則以下結(jié)論成立：

(1)當l為偶數(shù)時，必有s+βt=p+βq；

(2)當l為奇數(shù)時，必有s+βt=(p+βq)2。

(1)設(shè)l=2k(k∈+)。由引理3.2(1)可知，

=「a0,a1,a2,a3,…,a2k-1」(由引理2.3(3))

由既約分數(shù)的性質(zhì)可知s=p，t=q，從而s+βt=p+βq。

(2)設(shè)l=2k-1(k∈+)。由引理3.2(2)可知，

=「a0,a1,a2,a3,…,a2k-1,a1,a2,a3,a4,…,a2k-2」(由引理2.3(3))

=「a0,a1,a2,a3,…,a2k-1,a2k,a2k+1,a2k+2,a2k+3,…,a4k-3」

所以s=p2l-1且t=q2l-1，進而s+βt=p2l-1+βq2l-1=(pl-1+βql-1)2=(p+βq)2。

以下定理是本文的主要結(jié)果，用無限循環(huán)半單連分數(shù)的漸近分數(shù)給出了一類在代數(shù)數(shù)論中有重要應(yīng)用的Pell方程的最小正解和全部正整數(shù)解。

定理3.5 設(shè)a,b,c∈，|b|ac，g.c.d.(a,b,c)=1，且Δ=b2+4ac非完全平方數(shù)。記設(shè)α的無限半單連分數(shù)展開式為「a0,a1,a2,a3,…」，它的最小周期為k，其中為整數(shù)列，當j≥1時恒有aj≥2。對每個n≥0，設(shè)「a0,a1,…,an」=sn/tn，其中sn∈，tn∈+，g.c.d.(sn,tn)=1，則以下結(jié)論成立：

(1)Pell方程x2-Δy2=4的最小正解為sk-1+βtk-1；

(2){(x,y)∈+×+|x2-Δy2=4}

證明 設(shè)α的無限簡單連分數(shù)展開式為「A0,A1,A2,A3,……」，最小周期為h，其中A0∈，Aj∈+(?j≥1)。由[3]中第1章引理1.2可知，必有對每個m≥0，令「A0,A1,…,Am」=pm/qm，其中pm∈，qm∈+，g.c.d.(pm,qm)=1。

(2)這可以從[3]中第1章引理2.2和本文的定理3.3直接推出。

致謝

作者感謝趙立璐教授對本文引理3.2提供的幫助。