易 強(qiáng)，王 平，趙才友，盛 曦，盧 俊

(1.西南交通大學(xué)高速鐵路線(xiàn)路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610031；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都 610031)

鐵路軌道結(jié)構(gòu)直線(xiàn)段通常設(shè)計(jì)為相同的基本單元沿線(xiàn)路縱向規(guī)則排列，對(duì)于有砟軌道，基本單元由一個(gè)扣件間距內(nèi)鋼軌、扣件系統(tǒng)、軌枕、道床以及下部基礎(chǔ)組成，因此鐵路軌道結(jié)構(gòu)可視為周期結(jié)構(gòu)。近代固體物理學(xué)研究表明周期結(jié)構(gòu)具有重要的物理特性，即彈性波帶隙特性。彈性波在周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生一系列特殊的物理特性，周期結(jié)構(gòu)具有能夠抑制彈性波傳播的頻率范圍，這些頻率范圍稱(chēng)為帶隙[1]。另一方面，結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲產(chǎn)生的本質(zhì)原因通常可歸結(jié)為結(jié)構(gòu)中彈性波傳播效應(yīng)以及結(jié)構(gòu)彈性波與周?chē)橘|(zhì)的相互耦合作用[2]，因此分析研究彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性對(duì)于軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲控制具有重要的意義。固體物理領(lǐng)域提出的聲子晶體概念為周期結(jié)構(gòu)中彈性波的研究工作提供了新的研究思路，聲子晶體是一類(lèi)由特殊設(shè)計(jì)的人工結(jié)構(gòu)單元周期排列構(gòu)成的新材料或新結(jié)構(gòu)[3]，屬于人工周期結(jié)構(gòu)范疇。因此可以從軌道結(jié)構(gòu)周期特征出發(fā)，基于聲子晶體基本理論和基本方法研究彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性。

目前針對(duì)人工周期結(jié)構(gòu)的研究已取得較多成果，最初的研究主要關(guān)注實(shí)際工程中廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)，如周期性梁桿結(jié)構(gòu)和板殼結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[4]研究周期性梁、板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，提出傳遞矩陣法、空間諧波法等計(jì)算方法，并首次給出無(wú)限周期梁板結(jié)構(gòu)的彈性波帶隙特性。文獻(xiàn)[5]研究周期性Timoshenko梁中壓縮波、扭轉(zhuǎn)波、彎曲波的耦合振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[6]提出聲子晶體概念后，聲子晶體具有的帶隙特性得到廣泛關(guān)注。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)帶隙產(chǎn)生機(jī)制、帶隙計(jì)算方法以及聲子晶體的應(yīng)用等方面開(kāi)展大量研究工作[2]。國(guó)防科技大學(xué)溫熙森教授團(tuán)隊(duì)將聲子晶體帶隙原理引入典型機(jī)械結(jié)構(gòu)減振降噪設(shè)計(jì)中，開(kāi)展彈性波在周期性結(jié)構(gòu)中傳播特性及控制的研究。文獻(xiàn)[7]采用平面波展開(kāi)法研究彎曲波在局域共振梁結(jié)構(gòu)中的傳播特性，實(shí)現(xiàn)寬頻帶隙設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[8]針對(duì)薄板結(jié)構(gòu)分別通過(guò)理論和試驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證聲子晶體帶隙在控制低頻振動(dòng)方面的能力。文獻(xiàn)[9-10]將聲子晶體理論引入充液管路系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，利用帶隙特性實(shí)現(xiàn)充液管路的減振設(shè)計(jì)。

對(duì)于鐵路軌道結(jié)構(gòu)，也有大量學(xué)者從周期特征出發(fā)開(kāi)展相應(yīng)的研究工作。文獻(xiàn)[11]針對(duì)周期彈性點(diǎn)支撐軌道結(jié)構(gòu)提出廣義狀態(tài)矩陣以求解其導(dǎo)納函數(shù)，并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[12]將軌道結(jié)構(gòu)劃分為周期尺寸為10 mm的單元，并將鋼軌截面通過(guò)有限單元描述，以得到50～5 000 Hz范圍內(nèi)的軌道振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[13]針對(duì)連續(xù)彈性支撐梁模型、周期離散點(diǎn)支撐梁模型以及考慮鋼軌截面變形的連續(xù)支撐模型分別進(jìn)行計(jì)算分析，結(jié)果表明橫向振動(dòng)特性與鋼軌截面變形密切相關(guān)，采用考慮截面變形的軌道模型能夠有效預(yù)測(cè)橫向振動(dòng)，而垂向振動(dòng)則需考慮軌道結(jié)構(gòu)周期性。文獻(xiàn)[14]分析周期性軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)特性，并指出在較寬且明顯的衰減域內(nèi)鋼軌噪聲輻射較小，且pinned-pinned振動(dòng)可以在周期性支撐的鋼軌中自由傳播。文獻(xiàn)[15]采用多梁模型模擬鋼軌截面，運(yùn)用格林公式和疊加原理計(jì)算有限長(zhǎng)離散支撐鋼軌橫向振動(dòng)，得到較準(zhǔn)確的結(jié)果。文獻(xiàn)[16-17]利用2.5維有限元法計(jì)算移動(dòng)荷載下周期性軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)以及振動(dòng)傳播常數(shù)隨頻率的變化曲線(xiàn)。文獻(xiàn)[18]在計(jì)算周期性軌道結(jié)構(gòu)垂向?qū)Ъ{以及振動(dòng)衰減率特性時(shí)，在pinned-pinned共振頻率附近發(fā)現(xiàn)了振動(dòng)傳播的阻帶(帶隙)，但并未對(duì)這一特征進(jìn)行深入分析。

有砟鐵路軌道是典型的無(wú)限周期結(jié)構(gòu)，目前，周期性軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)方面的研究已取得了大量成果，但有關(guān)彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中傳播特性的研究尚待深入。本文結(jié)合聲子晶體基本理論研究彈性波在普通有砟軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性，并利用功率流方法分析周期性軌道結(jié)構(gòu)中的能量傳播問(wèn)題。

1 有砟軌道結(jié)構(gòu)彈性波帶隙特性

以有砟軌道結(jié)構(gòu)為例，軌道結(jié)構(gòu)的彈性主要由扣件系統(tǒng)以及道床提供，如圖1(a)所示。此時(shí)將軌道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為由鋼軌、扣件、軌枕、道床組成的無(wú)限周期結(jié)構(gòu)，并建立雙層彈性點(diǎn)支承軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1(b)所示。

圖1 有砟軌道主要組成及其計(jì)算模型

當(dāng)彈性介質(zhì)受到外力作用時(shí)，并非彈性介質(zhì)中所有部分都立刻產(chǎn)生位移、應(yīng)力和應(yīng)變，而是外力作用開(kāi)始之后，在作用處產(chǎn)生變形，使該點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生振動(dòng)并通過(guò)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用在介質(zhì)內(nèi)由近及遠(yuǎn)向外傳播，這種振動(dòng)狀態(tài)在彈性介質(zhì)中的傳播過(guò)程，稱(chēng)為彈性波。對(duì)于均勻、連續(xù)、線(xiàn)性介質(zhì)中彈性波的傳播，其波動(dòng)方程可表示為[19]

(1)

式中：u為位移分量；ρ為介質(zhì)密度；C11和C44為彈性模量元；p=x，y，z。

研究彈性波在周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，基于Bloch定理，對(duì)于任意一個(gè)給定的Bloch波數(shù)k，可以求出一系列對(duì)應(yīng)的本征值和相應(yīng)的本征矢，每一個(gè)本征值和本征矢都對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率和相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。波數(shù)k取遍整個(gè)不可約Brillouin區(qū)，得到本征頻率隨波數(shù)k的變化曲線(xiàn)，稱(chēng)為頻散曲線(xiàn)，也叫作能帶結(jié)構(gòu)圖，其包含了彈性波傳播的相位關(guān)系及幅值衰減關(guān)系。

根據(jù)Bloch定理，周期結(jié)構(gòu)中的彈性波在每個(gè)周期的響應(yīng)與相鄰周期相關(guān)[2]。

um+1(x,t)=e-iklum(x,t)

(2)

軌道結(jié)構(gòu)中鋼軌采用Timoshenko梁進(jìn)行描述，因此鋼軌自由波動(dòng)方程可表示為[19]

(3)

式中：G為鋼軌剪切模量；A為鋼軌橫截面積；κ為剪切因子；E為鋼軌彈性模量；I為鋼軌截面慣性矩；ρ為鋼軌密度；v為鋼軌垂向位移；φ為鋼軌彎曲轉(zhuǎn)角；u為鋼軌縱向位移。其自由波解為[19]

(4)

式中：V為垂向位移振幅；Vψ為轉(zhuǎn)角振幅；U為縱向位移振幅；kn為自由梁中波數(shù)。轉(zhuǎn)角位移比值關(guān)系為

(5)

此時(shí)，彎曲波中存在2對(duì)互為相反數(shù)的波數(shù)，縱波中存在1對(duì)互為相反數(shù)的波數(shù)，因此位移響應(yīng)可寫(xiě)為

(6)

鋼軌狀態(tài)向量可表示為

ψ=[qf]=[vφuQMN]

(7)

式中：q為位移向量，包括垂向位移v、彎曲轉(zhuǎn)角φ、縱向位移u；f為力向量，包括剪力Q、彎矩M、軸力N。

即可得到相鄰周期單元之間的傳遞矩陣為

T=Tl·Ts

(8)

式中：Tl為彈性波傳播距離為l時(shí)的狀態(tài)向量傳遞矩陣；Ts為扣件兩端鋼軌狀態(tài)向量傳遞矩陣

其中：kv、kl表示鋼軌下部支撐動(dòng)態(tài)剛度。

En為狀態(tài)向量因子

結(jié)合Bloch定理可得周期性軌道結(jié)構(gòu)彈性波傳播特征方程為

|T-e-iklI|=0

(9)

式中：k為沿周期性軌道結(jié)構(gòu)傳播的特征波(包括彎曲波和縱波)的波數(shù)，也稱(chēng)Bloch波數(shù)，實(shí)部表示彈性波相位改變，虛部表示彈性波阻尼，即波的傳播衰減系數(shù)。求解式(9)可得波數(shù)k與頻率f之間的關(guān)系，即頻散特性。由于周期單元之間通過(guò)垂向位移、彎曲轉(zhuǎn)角、縱向位移3個(gè)自由度耦合，因此通過(guò)求解上述特征方程，可得周期性軌道中三種特征波的頻散特性曲線(xiàn)。

1.1 軌道結(jié)構(gòu)頻散特性

軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)取值見(jiàn)表1。

表1 有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖2 周期軌道結(jié)構(gòu)中彎曲波頻散曲線(xiàn)

圖3 周期軌道結(jié)構(gòu)中縱波頻散曲線(xiàn)

周期性軌道結(jié)構(gòu)中彎曲波頻散曲線(xiàn)如圖2所示，縱波頻散曲線(xiàn)如圖3所示，灰色區(qū)域?yàn)閹斗秶?/p>

由圖2和圖3可知，在不考慮阻尼情況下，彎曲波和縱波在周期性軌道結(jié)構(gòu)中的傳播存在明顯的通帶、禁帶特征。鋼軌中彎曲波由兩類(lèi)特征波組成[20]：第一類(lèi)彎曲波在全頻段內(nèi)波數(shù)虛部均不為0，即全頻段均為帶隙范圍，因此第一類(lèi)彎曲波為近場(chǎng)波；第二類(lèi)彎曲波則在0～1 500 Hz范圍內(nèi)存在3個(gè)帶隙，分別為0～129 Hz、182～262 Hz、1 080～1 125 Hz，因此鋼軌中彎曲波帶隙特性由第二類(lèi)彎曲波決定。縱波在0～300 Hz范圍內(nèi)存在兩個(gè)帶隙，分別為0～24 Hz、44～80 Hz。在這些頻率范圍內(nèi)，軌道結(jié)構(gòu)中彈性波波數(shù)虛部均不為0，因此在傳播過(guò)程中快速衰減。

1.2 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響

彈性波帶隙特性是周期性軌道結(jié)構(gòu)的固有屬性，軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響其帶隙特征?？奂?、道床垂向剛度以及扣件間距對(duì)軌道結(jié)構(gòu)彎曲波帶隙的影響如圖4所示，不同顏色代表帶隙對(duì)彈性波傳播的衰減能力。由圖4可知，隨著扣件剛度增加，帶隙寬度逐漸增大；隨著道床剛度的增加，第一階帶隙寬度逐漸增大，第二階帶隙寬度逐漸減小，而第三階帶隙位置與寬度均保持不變；隨著扣件間距增加，第一階和第二階帶隙寬度略有減小，第三階帶隙逐漸向低頻移動(dòng)但帶隙寬度保持不變。因此可以通過(guò)改變扣件剛度、道床剛度以及扣件間距等措施，控制軌道結(jié)構(gòu)中振動(dòng)的傳播。

圖4 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彎曲波帶隙的影響

周期性軌道結(jié)構(gòu)頻散關(guān)系表明彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播具有帶隙特性，帶隙范圍內(nèi)彈性波的傳播受到抑制，彈性波在通帶范圍內(nèi)可自由傳播。彈性波在軌道結(jié)構(gòu)的傳播過(guò)程中必然會(huì)向外界傳播振動(dòng)或輻射噪聲，對(duì)于鋼軌振動(dòng)，可以設(shè)計(jì)軌道結(jié)構(gòu)帶隙，將其限制在局部位置，抑制振動(dòng)的傳播，進(jìn)一步通過(guò)阻尼耗能等措施實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的控制；由于鋼軌振動(dòng)輻射的噪聲與振動(dòng)衰減特性密切相關(guān)[18]，利用帶隙特性可實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的衰減，從而降低鋼軌噪聲。另一方面，由于彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播過(guò)程實(shí)質(zhì)上是振動(dòng)能量的傳遞過(guò)程，因此有必要從能量的角度出發(fā)，進(jìn)一步深入分析周期軌道結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播。

2 周期性軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)

單一的力或位移傳遞率不能有效地評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)中的能量傳遞，功率流方法綜合了力和速度響應(yīng)的大小及相位關(guān)系，給出了振動(dòng)傳輸?shù)囊粋€(gè)絕對(duì)度量[21]。通過(guò)對(duì)功率流分析可以更加深入地研究彈性波能量在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播，揭示振動(dòng)傳輸機(jī)制。

功率流分析前需要得到軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，因此首先計(jì)算周期性軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。由于軌道結(jié)構(gòu)具有明顯的周期性，彈性波在周期性軌道結(jié)構(gòu)中的傳播具有帶隙特征，且不同成分的彈性波具有不同的傳播性質(zhì)。因此根據(jù)周期結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播特性，利用彈性波疊加原理，即可求得周期性軌道結(jié)構(gòu)在荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。無(wú)限長(zhǎng)自由梁在集中力荷載作用下的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)可表示為[22]

(10)

式中：F為外力荷載；xr為響應(yīng)位置；x0為荷載激勵(lì)位置。

圖5 無(wú)限長(zhǎng)周期支撐梁

在鋼軌上方作用外力F0時(shí)，如圖5所示，將周期支撐視為支反力作用于無(wú)限長(zhǎng)鋼軌上，根據(jù)Bloch定理，支反力滿(mǎn)足周期條件[5]

(11)

式中：Fsr為激勵(lì)右側(cè)第s跨處支反力；Fsl為激勵(lì)左側(cè)第s跨處支反力；s為正整數(shù)；u為周期結(jié)構(gòu)中的傳播常數(shù)。傳播常數(shù)與Bloch波數(shù)之間的關(guān)系為[5]

u=-ikl

(12)

將式(11)代入式(10)，通過(guò)計(jì)算在所有支反力和外力作用下無(wú)限長(zhǎng)梁的位移響應(yīng)，利用彈性波疊加原理即可得到軌道結(jié)構(gòu)某一位置處的位移。因此，在受載跨內(nèi)xr處位移響應(yīng)可表示為[23]

(13)

式中：0≤|xr|≤l且將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置為0l扣件所在位置。

式(13)中的兩個(gè)無(wú)限級(jí)數(shù)由軌道結(jié)構(gòu)中自由跨支反力組成，由于滿(mǎn)足周期條件，可簡(jiǎn)化為

(14)

對(duì)于周期性軌道結(jié)構(gòu)，將鋼軌簡(jiǎn)化為T(mén)imoshenko梁，鋼軌彎曲波沿正負(fù)方向存在兩種不同的傳播常數(shù)±u1、±u2，因此每個(gè)支反力需要分為兩個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)不同成分的彈性波。在扣件處支反力和鋼軌位移滿(mǎn)足以下平衡條件

-Fs/kv=v(xs)

(15)

式中：Fs為第s個(gè)支撐點(diǎn)作用力；kv為軌下等效動(dòng)剛度；v為該支撐點(diǎn)處鋼軌位移。兩類(lèi)彎曲波成分引起的扣件支反力可表示為

(16)

第s個(gè)支撐點(diǎn)處總反力為

(17)

將式(17)代入式(14)可得受載跨內(nèi)任意位置的鋼軌位移響應(yīng)

(18)

此時(shí)響應(yīng)函數(shù)中存在6個(gè)未知變量：F0l、F0r、F11l、F12l、F11r、F12r，需要6個(gè)平衡條件才能求解。選擇支撐位置為2r、1r、0r、0l、1l、2l處力和位移平衡條件，即可求得6個(gè)未知數(shù)，從而得到軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。以0r處平衡條件為例：將xr=l帶入式(18)并結(jié)合力和位移平衡條件(式(15))，可得到0r處平衡方程

(19)

同理可寫(xiě)出其他位置處平衡方程，求解得到F0l、F0r、F11l、F12l、F11r、F12r并代入式(18)即可求得無(wú)限長(zhǎng)周期軌道結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。

以表1中有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)為例，得到無(wú)限長(zhǎng)周期軌道結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載(幅值為1 N)作用下鋼軌原點(diǎn)的導(dǎo)納函數(shù)，如圖6所示。由于振動(dòng)的本質(zhì)為彈性波在結(jié)構(gòu)中的傳播，因此周期性軌道結(jié)構(gòu)固有頻率與其彈性波帶隙頻率一一對(duì)應(yīng)。同時(shí)建立有限長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)模型(由160個(gè)元胞組成)，采用有限元方法計(jì)算得到扣件跨中位置處原點(diǎn)的導(dǎo)納函數(shù)，如圖7所示?？梢钥闯觯瑑煞N方法基本能夠得到一致的結(jié)果。但對(duì)于有限長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)，當(dāng)頻率處于通帶范圍內(nèi)時(shí)，由于此時(shí)彈性波傳播距離較遠(yuǎn)，邊界處的反射將使計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確；帶隙范圍內(nèi)彈性波在較短距離內(nèi)衰減，采用有限長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)即可準(zhǔn)確描述。

圖6 無(wú)限長(zhǎng)周期性軌道結(jié)構(gòu)鋼軌導(dǎo)納函數(shù)

圖7 有限、無(wú)限長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)鋼軌導(dǎo)納函數(shù)對(duì)比

3 周期性軌道結(jié)構(gòu)功率流分析

若某點(diǎn)所受簡(jiǎn)諧力為Feiωt，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度響應(yīng)為Veiωt，功率流計(jì)算公式為[21]

(20)

式中：下標(biāo)i為節(jié)點(diǎn)編號(hào)。

將鋼軌考慮為T(mén)imoshenko梁時(shí)，鋼軌中彎曲波功率流可分為剪力和彎矩分別攜帶的功率流兩部分。當(dāng)在鋼軌跨中位置以及1/4跨位置施加單位簡(jiǎn)諧垂向激勵(lì)時(shí)，鋼軌剪力和彎矩響應(yīng)如圖8、圖9所示。在跨中激勵(lì)時(shí)，鋼軌剪力保持不變，始終為輸入力幅值的一半，而彎矩則在軌道結(jié)構(gòu)固有頻率處出現(xiàn)極值。在1/4跨位置激勵(lì)時(shí)，鋼軌剪力和彎矩均在固有頻率處出現(xiàn)極值。

圖8 跨中位置施加激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的剪力和彎矩

圖9 1/4跨位置施加激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的剪力和彎矩

在鋼軌跨中位置施加單位簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流以及鋼軌傳播功率流如圖10所示。由計(jì)算結(jié)果可知，輸入軌道結(jié)構(gòu)中的功率流也存在帶隙特性，在禁帶范圍內(nèi)不能向軌道中輸入功率流，且在通帶范圍內(nèi)，輸入系統(tǒng)的功率流一半沿正向傳播，一半沿負(fù)方向傳播。當(dāng)考慮軌道結(jié)構(gòu)阻尼后，通帶內(nèi)輸入的功率流變化不明顯，而帶隙范圍內(nèi)可向軌道結(jié)構(gòu)輸入功率流。

圖10 輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流(灰色區(qū)域?yàn)閹斗秶?

在不同位置處激勵(lì)時(shí)，軌道結(jié)構(gòu)輸入功率流隨頻率的變化曲線(xiàn)如圖11所示。由圖11可以看出，在第一帶隙、第一通帶和第二帶隙范圍內(nèi)，不同位置的激勵(lì)輸入軌道結(jié)構(gòu)的功率流大小基本相同；當(dāng)頻率處于第二階通帶頻率范圍內(nèi)時(shí)(258～1 013 Hz)，靠近跨中位置輸入功率流較大；但在第三階通帶頻率范圍內(nèi)則靠近扣件位置輸入功率流較大。這是由不同頻率下軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)決定的，當(dāng)作用在跨中位置時(shí)，可激勵(lì)產(chǎn)生pinned-pinned共振，此時(shí)輸入鋼軌和傳播的功率流達(dá)到最大。

圖11 不同位置激勵(lì)時(shí)輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流(考慮阻尼情況)

當(dāng)在扣件上方激勵(lì)時(shí)，輸入功率流、傳播功率流以及激勵(lì)位置處軌枕功率流如圖12所示。由圖12可知軌枕振動(dòng)能量主要集中在300 Hz以?xún)?nèi)。而在第二階帶隙范圍內(nèi)，軌枕功率流接近鋼軌功率流，此時(shí)軌枕發(fā)生共振，軌枕作為局域振子能夠吸收大量振動(dòng)能量。彎曲波功率流在周期性軌道結(jié)構(gòu)中的傳播系數(shù)隨頻率的變化如圖13所示，其中傳輸系數(shù)的參考值為激勵(lì)位置處的鋼軌功率流。從圖13可以看出，彎曲波功率流在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播呈明顯的帶隙特征，在帶隙頻率范圍內(nèi)彎曲波能量的傳播得到明顯的抑制。

圖12 鋼軌、軌枕功率流(扣件上方激勵(lì))

圖13 彎曲波功率流沿鋼軌縱向傳播情況

在不同的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)下，在鋼軌跨中激勵(lì)時(shí)輸入軌道結(jié)構(gòu)功率流如圖14所示。與軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的調(diào)控規(guī)律類(lèi)似，當(dāng)增加扣件剛度時(shí)，第一帶隙范圍內(nèi)功率流降低，且峰值向高頻移動(dòng)，在第二帶隙范圍內(nèi)整體向高頻移動(dòng)，增加扣件剛度導(dǎo)致第三帶隙拓寬；增加道床剛度則對(duì)第一帶隙范圍改變明顯，對(duì)第三帶隙沒(méi)有影響；改變扣件間距對(duì)第一和第二帶隙峰值略有影響，但主要影響第三帶隙的位置。因此，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)可對(duì)彈性波傳播進(jìn)行調(diào)控，達(dá)到振動(dòng)噪聲控制的目的。

圖14 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)功率流影響

4 結(jié)論

本文從軌道結(jié)構(gòu)周期特性出發(fā)，以有砟軌道結(jié)構(gòu)為例，結(jié)合聲子晶體基本理論，開(kāi)展彈性波在周期性軌道結(jié)構(gòu)中傳播特性的研究。基于Bloch定理并結(jié)合傳遞矩陣法，得到周期性軌道結(jié)構(gòu)頻散曲線(xiàn)及其帶隙特征；基于彈性波疊加原理并結(jié)合周期特征求解無(wú)限長(zhǎng)周期軌道結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，利用功率流方法分析振動(dòng)能量在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播特性。得到以下結(jié)論：

(1)周期性軌道結(jié)構(gòu)具有明顯的帶隙特性，在0～1 500 Hz范圍內(nèi)，鋼軌彎曲波存在3個(gè)帶隙，縱波存在2個(gè)帶隙，帶隙范圍以?xún)?nèi)彈性波的傳播受到抑制。

(2) 對(duì)于有限長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)，當(dāng)頻率處于通帶范圍內(nèi)時(shí)，由于彈性波傳播較遠(yuǎn)，在邊界處反射將造成計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確；帶隙范圍內(nèi)彈性波在較短距離內(nèi)衰減，采用有限長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)即可準(zhǔn)確描述。

(3) 周期性軌道結(jié)構(gòu)中功率流傳播同樣存在通帶、禁帶特性。在禁帶頻率范圍內(nèi)，振源不能向軌道結(jié)構(gòu)輸入功率流；在通帶范圍內(nèi)能夠輸入功率流且輸入的功率流中一半正向傳播，一半負(fù)向傳播。

(4) 軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈性波傳播特性產(chǎn)生明顯的影響，因此可以通過(guò)設(shè)計(jì)合理的軌道結(jié)構(gòu)來(lái)調(diào)控彈性波在軌道結(jié)構(gòu)中的傳播，為軌道結(jié)構(gòu)減振降噪設(shè)計(jì)提供參考。