惠遠先 ，李培巒 ，戴麗華

（1.廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣東廣州510006；2.普洱學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南普洱665000；3.河南科技大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南洛陽471023）

0 引 言

微分方程的振動理論是微分方程定性理論一個比較成熟的分支,在機械振動、生物制藥、控制工程、力學等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。

考慮一類三階廣義Emden-Fowler型分布時滯方程

的振動性。方便起見,記Z(t)=x(t)+并假設(shè)下列條件成立：

(H1)0＜α≤ 1,β＞ 0,γ＞ 0,且α,β,γ為2個正奇數(shù)之商;

定義1若動力方程(1)的一個非平凡解有任意大的零點,則稱其為振動解,否則為非振動解。若動力方程(1)的所有解均振動,則稱該方程是振動的,否則為非振動的。

近年來,Emden-Fowler型微分方程廣泛應(yīng)用于物理學和工程領(lǐng)域,其振動理論廣受關(guān)注,成果頗豐[1-15]。PHILOS[1-2]建立了經(jīng)典Emden-Fowler方程

的若干振動準則;SUN等[3]和BACULIKOVA等[4]給出了方程

的振動結(jié)果;文獻[5-9]研究了方程

的振動性質(zhì);文獻[10-15]給出了三階Emden-Fowler時滯動力方程的若干振動性質(zhì)。

本文利用廣義Riccati變換和不等式技巧,給出方程(1)在0＜α≤1,β＞0,γ＞0下的若干新的振動定理,所得結(jié)果不僅將文獻[1-9]的研究對象拓展到了三階情形,而且將文獻[10-15]中的振動性質(zhì)由α=1,β=γ＞0推廣到0＜α≤1,β＞0,γ＞0,最后給出了若干例子來驗證結(jié)論的有效性。

1 相關(guān)引理

引理1設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解,則Z(t)有以下2種可能：

(Ⅰ)Z(t)＞ 0,Z′(t)＞ 0,Z″(t)＞ 0;

(Ⅱ)Z(t)＞ 0,Z′(t)＜ 0,Z″(t)＞ 0。

證明設(shè)x(t)是動力方程(1)的最終正解,由Z(t)的定義可得Z(t)≥x(t)＞ 0,

[r(t)|Z″(t)|β-1Z″(t)]'=[r(t)(Z″(t))β]'=

則r(t)|Z″(t)|β-1Z″(t)單調(diào)遞減且最終定號,因此有Z″(t)＞ 0或者Z″(t)＜ 0兩種情形。

假 定Z″(t)＜0, 由 條 件 (H1) 知 ,-r(t)x(-Z″(t))β＜0,故存在一個充分大的正數(shù)t1及K1＞ 0,使得

整理得

上式兩邊從t1到t積分,可得

令t→+∞,由條件(H2)知,Z′(t)→-∞,所以存在t2＞t1及正數(shù)K2＞ 0,使得

兩邊從t2到t積分得

令t→+∞,則Z(t)→-∞,這與Z(t)＞0矛盾,于是Z″(t)＞ 0成立,所求得證。

引理2設(shè)X,Y為非負實數(shù),則當0＜λ≤1時,Xλ+Yλ≤ 21-λ(X+Y)λ。

證明由函數(shù)f(x)=xλ(0＜λ≤1)的凹凸性便可證得,此略。

引理3[9](Bernoulli不等式) 對任意實數(shù)x＞-1,當0≤r≤1時,(1+x)r≤1+rx;當r≤ 0或r≥ 1時,(1+x)r≥ 1+rx。

引理4[16]設(shè)存在2個非負函數(shù)A＞0,B＞0和θ＞ 0,則

引理5設(shè)x(t)是動力方程(1)的最終正解,Z(t)滿足引理 1條件(Ⅰ),則

其中,

證明由Z(t)的定義、條件(Ⅰ)、(H3)、(H4)及引理2、引理3可得

由 條 件 (Ⅰ)知 ,Z(t)＞0,Z′(t)＞0, 所 以Z(δ(t,c))≥Z(δ(t1,c)),t≥t1。 記Z(δ(t1,c))=k＞ 0,則Z(δ(t,c))≥k,t≥t1。于是

令

則由方程(1)可得式(2)成立。

引 理 6[3]設(shè)Z(t)＞0,Z′(t)＞0,Z″(t)＞0,Z?(t)≤0,t≥T0,則存在η∈(0,1)和Tη＞to,使得

引理7設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解,且Z(t)滿足(Ⅰ),若存在函數(shù)ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)且做廣義Riccati變換

則可得一類廣義Riccati不等式

其中,

證明由ω?(t)的定義及引理5、引理6可得

(ⅰ) 當γ＞β＞ 0時,

由 方 程 (1)知 ,[r(t)Z″(t)β]'=r′(t)Z″(t)β+β?r(t)(Z″(t))β-1Z?(t)≤ 0, 因 為β＞ 0,r(t)≥0,r′(t)≥ 0,Z″(t)＞ 0,故當t充分大時,Z?(t)≤ 0,從而

從而

故可得當γ＞β＞0時,廣義Riccati不等式

(ⅱ)當β≥γ＞ 0時,

同樣,由Z?(t)≤ 0知,Z″(t)單調(diào)遞減,故存在充分大的T2＞t2,使得

故

于是得到β≥γ＞0時的廣義Riccati不等式

現(xiàn) 記T=max{T1,T2},λ=min{β,γ},m=綜合上述(i)和(ii)可得,當β＞0,γ＞ 0時廣義Riccati不等式(3)成立。

引理8設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解,Z(t)滿足引理1條件(Ⅱ),若則

證明x(t)是方程(1)的最終正解,Z(t)滿足引理 1條件(Ⅱ)。因為Z(t)＞ 0,Z′(t)＜ 0,則由單調(diào)有界定理可知則l≥ 0。

假設(shè)l＞0,由于存在,記則對任意小正數(shù)可得l＜Z(t)＜l+ε,0 ≤p(t)＜ε,從而

兩邊關(guān)于s從t到+∞積分得

兩邊關(guān)于u從t0到+∞積分,關(guān)于v從T到+∞積分得

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)條件(H1)～(H5)及式(4)成立。若

則方程(1)的任意解振動或收斂于0。

證明假設(shè)x(t)為方程(1)的任意非振動解,不失一般性,可設(shè)x(t)是動力方程(1)的最終正解。當Z(t)滿足引理1情形(Ⅰ)時,由引理7可得式(3)成立,再由引理4得

兩邊從T到t積分得

令t→ +∞,由式(5)可得ω?(t)→ -∞,這與ω?(t)＞0矛盾,從而x(t)為方程(1)的振動解。

當Z(t)滿足引理1情形(Ⅱ)時,由式(4)和引理8知所求得證。

假設(shè)ρ(t)=δ(t,c),定理1則為推論1。

推論1假定條件(H1)～(H5)及式(4)成立。若

則方程(1)的任意解振動或收斂于0。

下文將利用Philos型積分平均條件,給出方程(1)的若干新的振動結(jié)果。為此令

若滿足：

(iii)存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),

h(t,s)∈C(D0,R),使得定理2假定(H1)～(H5)及式(4)成立。若

則方程(1)的任意解振動或收斂于0。

證明假設(shè)x(t)為方程(1)的任意非振動解,不失一般性,令x(t)為動力方程(1)的最終正解。當Z(t)滿足引理 1 情形(Ⅰ)時,由引理 7知,式(3)成立,兩邊同乘以H(t,s),且兩邊從T到t(t＞T)積分得

整理得

與式(7)矛盾,從而x(t)為動力方程(1)的振動解。

當Z(t)滿足引理1情形(Ⅱ)時,由于式(4)成立,由引理8知所求得證。

取H(t,s)=(t-s)n,則定理2可簡化為Kamenev型振動結(jié)果：

推論2假定(H1)～(H5)及式(4)成立。若

則方程(1)的任意解振動或收斂于0。

定理3假設(shè)(H1)～(H5)及式(4)成立。若

其中,A+(s)=max{A(s),0},則方程(1)的任意解振動或收斂于0。

證明設(shè)x(t)為方程(1)的任意非振動解,不失一般性,可設(shè)x(t)是動力方程(1)的最終正解。當Z(t)滿足引理1情形(Ⅰ)時,由定理2的證明可得式(9)成立,再由 (C3)得

利用式(8)及(C3)可得

令

則由式(12)可得

由于只有

2種情形,下面分別假設(shè)以上2種情形成立。利用反證法均可得到矛盾的結(jié)論,從而得原假設(shè)不成立。

情形1假設(shè)

則由式(11)得

這與(C4)矛盾,所以式(14)不成立。

情形2假設(shè)

設(shè)η是一個充分小的正數(shù),利用條件(C1)得

由式(15)可得,對任意大的正數(shù)μ＞0,有

利用(C1)及方程(16)、(17),取T'＞T,由分部積分法可得

由于μ為任意大的正數(shù),由式(13)、(17)可得

兩邊同時除以F(tn),當n充分大時

故

又因為

利用Schwarz不等式得

兩邊同除以F(tn),由(C2)得

這與方程(20)矛盾,所以假設(shè)(15)不成立。

綜合情形1和情形2的證明,由于方程(14)與(15)均不成立,所以原假設(shè)不成立,從而x(t)為方程(1)的振動解。

當Z(t)滿足引理1條件(Ⅱ)時,由于式(4)成立,由引理8可知所求得證。

3 例 子

下面給出2個例子來驗證本文結(jié)果的有效性。

由于

易得方程(21)滿足條件(H1)～(H5)及式(4)。

則

故

從而由定理1知,方程(21)的任意解振動或收斂于0。

注1 由于方程(21)超出了文獻[1-15]相應(yīng)結(jié)論的適用范圍,所以,利用文獻[1-15]無法得到方程(21)的振動性質(zhì)。

例2方程(1)中,取則方程(1)為

易得方程(22)滿足條件(H1)～(H5)及式(4)。

所以

從而由定理2可得,方程(22)的任意解振動或收斂于0。

注2 顯然無法從文獻[1-15]的相關(guān)結(jié)論中得到例2的結(jié)論。