李德潤(rùn)

摘 要：勾股定理又稱為Pythagoras定理，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域和實(shí)際的應(yīng)用中具有重要的作用。經(jīng)過(guò)不斷的研究，眼睛研究出了400多種證明勾股定理的方式方法。本文根據(jù)對(duì)國(guó)內(nèi)外學(xué)者的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)對(duì)勾股定理的推廣應(yīng)用進(jìn)行細(xì)致的研究。

關(guān)鍵詞：勾股定理 證明方法 應(yīng)用分析

一、引言

勾股定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)具有里程碑的意義。從我國(guó)最早時(shí)期的天文著作《周脾算經(jīng)》中所記載的：勾股三，股修四，徑隅五。再者就是由古希臘數(shù)學(xué)家畢拉哥研究發(fā)現(xiàn)，并被古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里記錄在《幾何原本》中；直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形。這些都是由畢拉哥拉斯定理在最開(kāi)始時(shí)記錄的。

勾股定理是證明問(wèn)題的證據(jù)最多的定理之一，在代數(shù)和幾何領(lǐng)域內(nèi)被廣泛應(yīng)用，它不僅能解決直角三角形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)面積問(wèn)題，而且解決了現(xiàn)實(shí)生活中的許多實(shí)際問(wèn)題。因此，勾股定理不但但解決了高考題中的一些解題方法，也是解決現(xiàn)實(shí)生活中建筑施工和尋找井筒基準(zhǔn)線中心問(wèn)題的重要方法。在過(guò)去的四千年歷史里， 勾股定理在不斷演變的過(guò)程中又總結(jié)出來(lái)許多新的證明方法，同樣在另外一些地方被應(yīng)用。

二、中國(guó)古代勾股定理的詮釋

在著名數(shù)學(xué)家商高的證明下， 《周髀算經(jīng)》成為我國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)著作，其主要內(nèi)容包括天文和數(shù)學(xué)知識(shí)，其展現(xiàn)出我國(guó)古代人民聰明的智慧。 《周髀算經(jīng)》中記載了周公與大夫商高的一段話，商高當(dāng)時(shí)回答說(shuō)：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅。既方其外，數(shù)之所由生也”。

英國(guó)人約瑟夫.李約瑟將這段話解釋為：將一個(gè)長(zhǎng)方形沿對(duì)角線切割，寬度等于3個(gè)單位，長(zhǎng)度為4個(gè)單位，這樣兩對(duì)角之間的對(duì)角線長(zhǎng)為5個(gè)單位。也就是我們常講的勾三股四玄五。 其次我們?cè)儆眠@條對(duì)角線為邊畫(huà)一個(gè)大正方形，再用幾個(gè)同上文的半矩形把這個(gè)大正方形圍起來(lái)，從而形成一個(gè)方形盤。

三、勾股定理的證明方法

3.1面積法。勾股定理的面積法也就是將兩種面積表示方法表示同一圖形的面積，從而建立方程來(lái)解決問(wèn)題的方法叫面積法，是勾股定理在幾何領(lǐng)域的基本。

3.2向量法。如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩斜邊看作在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的投影，則可以從另一個(gè)角度考察勾股定理的意義。即，向量長(zhǎng)度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長(zhǎng)度的平方之和。

3.3分段算法。所謂的“分段算法”實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)方法，通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆侄尾⒓右詮浹a(bǔ)來(lái)解決問(wèn)題。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家經(jīng)常用這種方法證明畢達(dá)哥拉斯定理。它是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一大特色，在世界數(shù)學(xué)史上有著獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。

四、勾股定理的應(yīng)用

4.1在代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用。溝谷定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里是被廣泛應(yīng)用的，其中“形”和“數(shù)”這兩個(gè)層面給人們很大啟迪，如果單從“數(shù)”這一角度去分析勾股定理，我們就會(huì)注意到數(shù)論中表達(dá)的“整勾股數(shù)組”，也就是不定方程式的“正整數(shù)解組”，稱之為“勾股數(shù)”

4.2在初等幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。勾股定理從定義上來(lái)講，在諸多幾何問(wèn)題中，大多數(shù)幾何證明題基本上都可以利用勾股定理來(lái)分析解題思路的。

4.3在立體幾何為題中的應(yīng)用。大家都知道三維空間，也就是立體幾何，立體幾何需要學(xué)生根據(jù)三維空間圖并利用勾股定理來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，因此立體幾何和勾股定理是分不開(kāi)的。

小 結(jié)

從以上幾個(gè)方面來(lái)看，勾股定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有非常重要的意義，也是人類文明史上的一顆耀眼的寶石，能否熟練的應(yīng)用就要看我們能不能掌握其中的關(guān)鍵點(diǎn)及技巧，如果能熟練掌握，那么我們就可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，解題也會(huì)變得更加方便、快捷。時(shí)至今日，勾股定理的證明方法已多達(dá)400多種， 本文對(duì)勾股定理證明中用到 的 面 積 法，拼 接 法 等 都 給 出 了一些經(jīng)典的例子。隨著科技的進(jìn)步和社會(huì)的發(fā)展，勾 股定理將會(huì)推廣到 更 深 更 遠(yuǎn) 的 地 方。例 如，在 三 維 空 間 中，在面三角形上，或是在n維空間中。勾股定理作用廣 泛，博大精深，更深層次地研究還需進(jìn)一步探索。

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