龔亮亮

(江蘇省南京市第三高級(jí)中學(xué) 210000)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性是近幾年高考重點(diǎn)考查內(nèi)容.本文通過(guò)例題分析，對(duì)解決帶參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性這一類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié).

例1求函數(shù)y=3x2-2lnx的單調(diào)減區(qū)間.

例2已知f(x)=ex-ax-1,試求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析要求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，由于定義域?yàn)镽，只需對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零即可.但導(dǎo)數(shù)f′(x)中帶有參數(shù)，怎么辦？因此，需要我們對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論.那么討論的標(biāo)準(zhǔn)呢？筆者認(rèn)為要抓住導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，因此需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論.

解∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.

令f′(x)≥0，得ex≥a.

當(dāng)a≤0時(shí)，有f′(x)>0在R上恒成立；

當(dāng)a>0時(shí)，有x≥lna.

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞);

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[lna,+∞).

反思：本題求導(dǎo)以后是關(guān)于x的二次函數(shù)，參數(shù)在常數(shù)項(xiàng)位置，因此直接仿照例2對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論即可.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=a2lnx-x2+ax，a>0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

讀者可以思考：若a∈R呢？

分析對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)以后跟例3一樣，也只需對(duì)分子部分的二次式x2-ax+2討論即可.但跟例3比較也有不同之處，本題二次式x2-ax+2不可直接因式分解，怎么辦？如何討論？

當(dāng)Δ=a2-8<0，對(duì)?x>0,f′(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上遞增.

當(dāng)Δ=0，∴f(x)在(0,+∞)上遞增.

故在(0,x1)增，在(x1,x2)減，在(x2,+∞)增.

反思本題求導(dǎo)以后需討論的分子部分也是關(guān)于x的二次函數(shù)，參數(shù)在一次項(xiàng)位置，但不能直接因式分解，因此仍然抓住函數(shù)的零點(diǎn)，通過(guò)判別式結(jié)合圖象對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論.

例5已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

分析本題因?yàn)槎x域?yàn)?0,+∞)，因此僅需對(duì)求導(dǎo)后的分子部分進(jìn)行討論.由于x2前面帶有參數(shù)a，因此判斷2ax2+a+1是否存在零點(diǎn)，首先要對(duì)a是否為0進(jìn)行討論.還要注意到常數(shù)項(xiàng)是a+1，因此還需對(duì)a進(jìn)一步討論.

當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0,故f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增；

當(dāng)a≤-1時(shí)，f′(x)<0,故f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減；

令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),

(1)當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

x∈(1,+∞)時(shí)，g(x)<0,此時(shí)函數(shù)f′(x)<0單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)a≤0 時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在 (1, +∞)上單調(diào)遞增；

反思本題關(guān)鍵是對(duì)g(x)=ax2-x+1-a進(jìn)行分析討論，與例5相比g(x)多了一次項(xiàng).但問(wèn)題解決的關(guān)鍵仍然是對(duì)g(x)=ax2-x+1-a的零點(diǎn)進(jìn)行討論.

由此可見(jiàn)，利用導(dǎo)數(shù)求帶參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往到最后即轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)函數(shù)中的二次函數(shù)部分進(jìn)行的討論問(wèn)題，題目難度可隨參數(shù)位置不同而不同.當(dāng)然，我們分類(lèi)討論的時(shí)候只要抓住了導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在零點(diǎn), 零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)以及零點(diǎn)是否相等,一般都可以將問(wèn)題解決.