戴又善 ，倪杰

（1.浙江大學(xué)城市學(xué)院，浙江杭州310015；2.浙江大學(xué)物理系，浙江杭州310027）

愛因斯坦在1905年提出了狹義相對(duì)論[1-2]（以下簡(jiǎn)稱相對(duì)論）,100多年來，相對(duì)論經(jīng)受了大量實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，已成為近代物理的理論基礎(chǔ)。傳統(tǒng)相對(duì)論是建立在相對(duì)性原理和光速不變?cè)淼幕A(chǔ)上。傳統(tǒng)相對(duì)論告訴我們，慣性系之間的時(shí)空變換為洛倫茲變換[3]，但在各種相對(duì)論教科書和文獻(xiàn)中，推導(dǎo)洛倫茲變換公式通常需要基于一些基本假設(shè)，如時(shí)空為線性變換的假設(shè)以及光速不變的假設(shè)[4-5];在一些教科書和文獻(xiàn)中，常用牛頓慣性定律以及慣性系的時(shí)空平移不變性來證明慣性系的時(shí)空變換必須為線性變換[6-7]。當(dāng)然，系統(tǒng)的能量守恒和動(dòng)量守恒來源于時(shí)空的平移不變性。盡管這些物理定律和假設(shè)（如牛頓慣性定律，動(dòng)量守恒和能量守恒定律，以及光速不變假設(shè)）可以與相對(duì)性原理相自洽，但其本質(zhì)上均獨(dú)立于相對(duì)性原理，對(duì)于洛倫茲變換公式的推導(dǎo)只是充分條件而不一定是必要條件。如果不依賴這些額外假設(shè)，僅僅由相對(duì)性原理能否推導(dǎo)出慣性系之間的時(shí)空變換公式是一個(gè)值得探討的問題。

眾所周知，在相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)中依據(jù)光速不變假設(shè)可以推導(dǎo)出洛倫茲變換公式，而在相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中利用洛倫茲變換公式以及動(dòng)量守恒和能量守恒定律可以得到質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系E=mc2[8]。在一些場(chǎng)論的教科書中則是通過構(gòu)造單粒子的拉氏量來建立相對(duì)論力學(xué)[9-10]，但拉氏量的構(gòu)造需要以物理對(duì)稱性作為理論基礎(chǔ)，顯然上述的拉氏量具有洛倫茲變換和時(shí)空平移變換下的不變性。拉氏量中的洛倫茲對(duì)稱性和引進(jìn)極限速度c的物理依據(jù)是光速不變假設(shè),而時(shí)空平移不變性則意味著動(dòng)量守恒和能量守恒。因而通常認(rèn)為傳統(tǒng)相對(duì)論理論必須是建立在光速不變假設(shè)和動(dòng)量、能量守恒定律之上的。

光速不變假設(shè)是否為相對(duì)論的必要條件值得質(zhì)疑，光速不變的實(shí)質(zhì)是理論上將光子作為零靜質(zhì)量粒子以及引進(jìn)了光速c作為極限速度。由于相對(duì)論是普遍適用的基礎(chǔ)理論,不應(yīng)建立在特殊物質(zhì)的特性之上。即使不依賴光、不依賴靜質(zhì)量為零的粒子，相對(duì)論依然應(yīng)當(dāng)成立。筆者分別在文獻(xiàn)[11]中通過討論一個(gè)完全非彈性碰撞過程、在文獻(xiàn)[12]中通過討論一個(gè)兩體彈性散射過程、在文獻(xiàn)[13]中通過討論粒子的兩體衰變過程，均證明了只需依據(jù)相對(duì)性原理和動(dòng)量、能量守恒定律，就可以建立相對(duì)論理論；也可以不依賴靜質(zhì)量為零的粒子來引進(jìn)極限速度vm。說明光速不變假設(shè)只是建立相對(duì)論的一個(gè)充分而非必要條件。

雖然通常利用動(dòng)量守恒和能量守恒定律來推導(dǎo)相對(duì)論質(zhì)速關(guān)系和質(zhì)能關(guān)系，但對(duì)于動(dòng)量守恒和能量守恒定律是否為建立相對(duì)論的必要條件同樣存有疑問。質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系應(yīng)該是粒子的基本物理屬性，而一個(gè)自由粒子本身所具有的質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系顯然與相互作用過程無關(guān)，也與外部是否存在光子無關(guān)，因而粒子的質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系本質(zhì)上并不依賴于光速不變假設(shè)和相互作用守恒定律。

本文僅依據(jù)相對(duì)性原理，就可證明慣性系之間的時(shí)空變換必為線性變換。說明慣性系的時(shí)空線性變換特性是相對(duì)性原理的直接推論。同時(shí)，建立了時(shí)空線性變換系數(shù)與粒子無量綱質(zhì)速關(guān)系之間的普遍聯(lián)系。因此,只要知道了質(zhì)速關(guān)系就能完全確定時(shí)空變換公式。本文的推導(dǎo)無須討論相互作用過程，因而也不再依賴動(dòng)量守恒和能量守恒定律。依據(jù)相對(duì)性原理最終推導(dǎo)了慣性系之間時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換公式。需要說明的是，在筆者以前發(fā)表的相對(duì)論研究論文中，均假設(shè)了時(shí)空變換是線性變換[11-14]，因而本文也是依據(jù)相對(duì)性原理提供了對(duì)于慣性系時(shí)空變換必須是線性變換的一個(gè)補(bǔ)充證明。

1 時(shí)空變換公式與粒子質(zhì)速關(guān)系

下文僅限討論存在靜止參考系的粒子,即允許粒子靜止在參考系中，因此可以定義這類粒子具有非零的靜質(zhì)量m0>0。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí),粒子的動(dòng)量為p=p(v)。考慮單位矢量令函數(shù)m()=|，由此可得 p(v)=m()。因?yàn)楹蚿都是三維空間矢量，在空間反演下變號(hào)：則 有m(-)=m()，由此可知，要求 m()=m，其中v=|v|。而能量在空間反演下不變，E()=E。則粒子動(dòng)量和能量的一般形式分別為

其中m=m(v2)是粒子運(yùn)動(dòng)速度的函數(shù)，且具有質(zhì)量的量綱,稱為動(dòng)質(zhì)量，其函數(shù)關(guān)系通常稱為質(zhì)速關(guān)系。粒子的靜質(zhì)量為

依據(jù)相對(duì)性原理，所有慣性系都是等價(jià)的，則在不同慣性系中要求動(dòng)量和能量對(duì)于粒子速度的依賴關(guān)系具有相同的函數(shù)形式，即在任意慣性系S′中，當(dāng)粒子的速度為v'時(shí)，其動(dòng)量和能量可表示為

設(shè)一相對(duì)于慣性系S沿X方向以速度V運(yùn)動(dòng)的慣性系 S′，見圖 1。

圖1 不同慣性系的時(shí)空變換Fig.1 Transformation of space-time in different inertial reference frames

相應(yīng)地，一般時(shí)空變換關(guān)系為

對(duì)式（4）求導(dǎo)可得

由此可求得一般的速度變換關(guān)系為

由于S′系和S系在Y方向無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此，在2個(gè)參考系中粒子動(dòng)量的Y方向分量保持不變：py=p′

y（嚴(yán)格證明見附錄A）[15]。需要強(qiáng)調(diào)的是，這并非相互作用過程中的動(dòng)量守恒要求，而是動(dòng)量本身在參考系變換下所具有的線性變換特性。由式(6)可得

因而有

當(dāng)一粒子靜止在S′系中即v'=[0,0,0]，在S系中 該 粒 子 的 速 度 為 v=[V,0,0]，即 有 v′x=0，vx=V，v′2=0，v2=V2。 由 式 (6)第 1 式 可 得 0=即有

由式(8)則有

若考慮一粒子靜止在S系中,即v=[0,0,0]，則該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[-V,0,0]，即有 vx=0，v′

x=-V，v2=0，v′2=V2。代入式(8)后可化為

代入式(10),即有

需要說明的是，雖然上述關(guān)系是在粒子運(yùn)動(dòng)速度的某種特例情況下推得的，但由于f1(x,t)和f2(x,t)只是時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)，而與具體粒子的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，因此可推知上述關(guān)系式對(duì)粒子任意運(yùn)動(dòng)速度都普遍成立。代入式(5)，則有

對(duì)于慣性系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，由于V為常量，因此γ(V2)也與時(shí)空坐標(biāo)無關(guān)，對(duì)式（17）積分可得（取齊次時(shí)空變換，即令積分常數(shù)為0）：

由此無須引入額外的假設(shè)，僅依據(jù)相對(duì)性原理證明了不同慣性系之間的時(shí)空變換為線性變換。而慣性系的速度變換關(guān)系則為

以上推導(dǎo)說明不同慣性系之間的時(shí)空線性變換系數(shù)與無量綱質(zhì)速關(guān)系γ(V2)=m(V2)/m0的具體函數(shù)形式有關(guān)。通常在傳統(tǒng)相對(duì)論中，利用光速不變假設(shè)建立的洛倫茲變換公式為

則可確定相對(duì)應(yīng)的無量綱質(zhì)速關(guān)系為

其中V為慣性系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)速度為v=|v|時(shí)，粒子的質(zhì)速關(guān)系則為

另一方面，若依據(jù)相對(duì)性原理能夠求得粒子質(zhì)速關(guān)系，即使不引進(jìn)光速不變假設(shè)也可確定慣性系之間的時(shí)空變換公式。

2 相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系

由于S′系和S系均為沿X方向的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此，粒子動(dòng)量在X方向分量的變換關(guān)系為（嚴(yán)格證明見附錄 A）[15]：

需要指出的是，動(dòng)量和能量在不同參考系的線性變換特性是由廣延量的物質(zhì)相加性決定的，與時(shí)空是否具有平移不變性無關(guān)，即與動(dòng)量和能量是否守恒無關(guān)。事實(shí)上，動(dòng)量和能量的線性變換特性在非慣性系中同樣成立，只是其相應(yīng)的線性變換系數(shù)不再是常量，而是時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)b=b(x,t)。

對(duì)靜止在S系中即v=[0,0,0]的粒子，由式(19)可知，該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[-V,0,0]，代 入 式 (23)可 得 0=b11m(V2)(-V)+b10E(V2)，即

由此可得

若一粒子在S系中垂直于X方向做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即其運(yùn)動(dòng)速度為v=[0,vy,vz]，由式(19)可知，該粒子在S′系中的運(yùn)動(dòng)速度為 v'=[-V,vy/γ(V2),vz/γ(V2)]，則有

即有

由于v′2和V2的取值互相獨(dú)立，因此A必須為與粒子運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)的待定常量。則無須引進(jìn)光速不變假設(shè)，便可證明粒子能量正比于動(dòng)質(zhì)量，而與時(shí)空變換的具體形式無關(guān)。由于上述證明中不涉及相互作用過程，因此并不依賴于動(dòng)量守恒和能量守恒定律，對(duì)自由粒子同樣成立[15]。于是粒子能量為

需要說明的是，上述質(zhì)能關(guān)系雖然是在某種粒子運(yùn)動(dòng)速度的特例情況下推得，但由于粒子動(dòng)量-能量在不同慣性系的線性變換系數(shù)與粒子的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，因此，質(zhì)能關(guān)系式在粒子任意運(yùn)動(dòng)速度下均成立。

依據(jù)粒子能量變化與動(dòng)量變化的基本關(guān)系式：

可以建立有關(guān)粒子質(zhì)速關(guān)系的微分方程：

其中A=v2m，vm為普適的粒子運(yùn)動(dòng)速度上限[12-14]。這就意味著無須引進(jìn)光速不變假設(shè)，以及不依賴動(dòng)量和能量守恒定律，僅依據(jù)相對(duì)性原理即可求得不同慣性系之間時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換公式：

由式（34）不難證明極限速度vm為廣義洛倫茲變換下的不變量[11]，因此，若取vm=c,廣義洛倫茲變換就回到了傳統(tǒng)洛倫茲變換，而光速不變則成為了相對(duì)論的一個(gè)推論。

3 結(jié)論與討論

3.1 證明了時(shí)空線性變換是相對(duì)性原理對(duì)于慣性系的一個(gè)推論。依據(jù)相對(duì)性原理關(guān)于慣性系的等價(jià)性，要求粒子動(dòng)量、能量在不同慣性系中對(duì)于粒子速度的函數(shù)關(guān)系形式相同，則無須引進(jìn)光速不變和其他額外假設(shè)，證明了慣性系之間的時(shí)空變換為線性變換。

3.2 建立起慣性系時(shí)空線性變換系數(shù)與粒子無量綱質(zhì)速關(guān)系(V2)=m(V2)/m0之間的普遍聯(lián)系式(16)。依據(jù)動(dòng)量和能量的廣延量特性，粒子動(dòng)量-能量在不同參考系的變換是線性變換，其既適用于慣性系（線性變換系數(shù)為常量）,亦適用于非慣性系（線性變換系數(shù)為時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)）。在質(zhì)速關(guān)系中，速度是與時(shí)間和空間相關(guān)的量，而粒子的動(dòng)量和能量則依賴于動(dòng)質(zhì)量(即質(zhì)速關(guān)系)，這就在參考系的粒子動(dòng)量-能量變換與時(shí)空坐標(biāo)變換之間通過無量綱質(zhì)速關(guān)系γ()=m)/m0建立起了關(guān)鍵聯(lián)系，從而可用于確定參考系之間的具體變換關(guān)系式。只要依據(jù)相對(duì)性原理求得粒子無量綱質(zhì)速關(guān)系γ(V2)，就無須引進(jìn)光速不變假設(shè)來確定時(shí)空變換關(guān)系。

3.3 完全由相對(duì)性原理證明了粒子能量正比于動(dòng)質(zhì)量：Ε()=m()A。該普遍的質(zhì)能關(guān)系不依賴具體的參考系變換，因此A是相對(duì)論的一個(gè)基本普適常量。在質(zhì)能關(guān)系基礎(chǔ)上,通過建立和求解粒子質(zhì)速關(guān)系的微分方程，求得了粒子無量綱質(zhì)速關(guān)系()=進(jìn)而可以最終確定慣性系時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換公式。在廣義洛倫茲變換中，由更具普遍性的極限速度替代了光速c，極限速度vm的引進(jìn)是滿足相對(duì)性原理要求的,并不依賴于零靜質(zhì)量粒子的存在。的取值可由實(shí)驗(yàn)測(cè)量確定，無須通過引進(jìn)光速不變假設(shè)事先予以限定。普適常量A=v2m是完全獨(dú)立于光速而存在的，即相對(duì)論理論的建立并不依賴于光速，因此任何對(duì)光速不變假設(shè)的質(zhì)疑本質(zhì)上與相對(duì)論無關(guān)，其實(shí)質(zhì)僅僅是質(zhì)疑vm=c是否成立或是否嚴(yán)格成立。

3.4 證明了光速不變假設(shè)以及動(dòng)量守恒和能量守恒定律都不是建立相對(duì)論的必要條件。文獻(xiàn)[11-14]無須引進(jìn)光速不變假設(shè),通過各種相互作用過程的討論，依據(jù)相對(duì)性原理以及動(dòng)量守恒和能量守恒定律推導(dǎo)了廣義洛倫茲變換公式。而在本文更具普遍性的推導(dǎo)證明中，既不需要事先假設(shè)慣性系的時(shí)空變換為線性變換，也無須討論具體的相互作用過程，因而也不再涉及動(dòng)量守恒和能量守恒定律。

3.5 建立相對(duì)論的基本理論假設(shè)只需要一個(gè)相對(duì)性原理，由此可以自動(dòng)引進(jìn)極限速度vm，推導(dǎo)出粒子的質(zhì)能關(guān)系和質(zhì)速關(guān)系，進(jìn)而確定慣性系之間時(shí)空線性變換的廣義洛倫茲變換公式，從而建立起不依賴具體相互作用和具體物質(zhì)特性的更為普遍的相對(duì)論理論。它既與vm=c光速不變的傳統(tǒng)相對(duì)論相容，又適用于可能的vm≠c的變光速或超光速現(xiàn)象，從而使得相對(duì)論的理論基礎(chǔ)更加穩(wěn)固，應(yīng)用范圍更為廣泛。

感謝浙江省自然科學(xué)基金（“相對(duì)論理論的研究與改進(jìn)”，編號(hào)：LY17A050001）對(duì)本研究課題的鼓勵(lì)和資助！感謝美國(guó)普林斯頓高等研究院Einstein Postdoctoral Fellow戴亮對(duì)本文的有益建議。

4 附錄A:粒子動(dòng)量-能量變換的一般形式

由于動(dòng)量和能量都是廣延量，為了保證動(dòng)量和能量具有廣延量的物質(zhì)相加性，其在不同參考系中的變換關(guān)系必須為線性變換，則粒子動(dòng)量-能量在不同慣性系的變換可一般性寫為（其線性變換系數(shù)事先并不假定為常量，一般允許為時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)）

依據(jù)平動(dòng)速度變換公式(6)，則可證明

即有一般表達(dá)式

(i)證明 b12=b13=b02=b03=0。

若一粒子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度為v=[vx,vy,0]，則該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[v′x,v′y,0]；而若 v=[vx,-vy,0]，則有 v'=[v′x,-v′y,0]；因而均有 v2=v2x+v2y，v′2=v′2x+v′2y，pz=p′z=0。 由(A1)第1式得

由此可得b12p′y=-b12p′

y，即有 b12=0。 由(A1)第 4式得

由此可得b02p′y=-b02p′

y，即有 b02=0。

若一粒子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度為v=[vx,0,vz]，則該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[v′x,0,v′

z]；而若 v=[vx,0,-vz]，則有 v'=[v′x,0,-v′

z]；因而均有 v2=v2x+v2z，v′2=v′2x+v′2z，py=p′y=0。由(A1)第1式得

由此可得b13p′z=-b13p′

z,即有b13=0。由(A1)第4式得

由此可得b03p′z=-b03p′

z，即有 b03=0。

(ii)證明b20=b30=b21=b31=b23=b32=0。

若一粒子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度為v=[V,0,0]，則該粒子將靜止在 S′系中 v'=[0,0,0]，即有 v′2=0。由(A1)第 2式得 0=b20E′，則有 b20=0；由(A1)第3式得0=b30E′，則有 b30=0。

若一粒子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度為v=[vx,0,0]，則該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[v′x,0,0]；由(A1)第 2 式得 0=b21p′x，即有 b21=0；由(A1)第 3式得0=b31p′x，則有 b31=0。

若一粒子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度為v=[V,0,vz]，則該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[0,0,v′z]；由(A1)第2式得 0=b23p′z，即有 b23=0。

若一粒子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度為v=[V,vy,0]，則該粒子相對(duì)于S′系的運(yùn)動(dòng)速度為v'=[0,v′y,0]；由(A1)第 3式得 0=b32p′y，即有 b32=0。由此(A1)可化為

由(A8)的 py=b22(V)p′y，依據(jù)相對(duì)性原理，S′系和S系是等價(jià)對(duì)稱的，其逆變換為p′y=b22(-V)py。另在空間反演下動(dòng)量和速度均要反號(hào)(-py)=b22(-V)(-p′y)，即 有 py=b22(-V)p′y，由 此 可 得b22(-V)=b22(V)。則有

(iii)證明b22=b33=1。

即有[b22(V)]2=1，要求滿足條件b22(0)=1，則得b22=1。用類似方法可證明b33=1。