(芙蓉外國語學(xué)校，浙江 金華 321004)

1 問題呈現(xiàn)，探索分析

圖1

例1如圖1,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線l交拋物線y2=2x于點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).

1)寫出直線l的方程；

2)求x1x2與y1y2的值；

3)求證：OM⊥ON.

(2005年北京、安徽春季數(shù)學(xué)高考文科試題第18題)

分析本題主要考查的是解析幾何中常規(guī)的基本運(yùn)算.聯(lián)立方程，把問題轉(zhuǎn)化為常用的斜率及向量處理，即可快速求解證明.筆者思考第3)小題中的結(jié)論是一種巧合，還是另有奧秘.

2 大膽猜想，尋找規(guī)律

結(jié)論OM⊥ON，即過定點(diǎn)P(2,0)的直線l與拋物線y2=2x相交的點(diǎn)都具有該性質(zhì)，這與圓中過圓心的弦(即直徑)所對的任意周角都垂直不謀而合，由例1發(fā)現(xiàn)拋物線中也具有這種關(guān)系.于是大膽地猜想：

猜想1只要OM⊥ON，則直線l一定過定點(diǎn)(2,0).

為了避免不必要的證明，可通過幾何畫板先演示追蹤直線進(jìn)行探索，可知直線l過定點(diǎn)(2,0)，下面再進(jìn)行嚴(yán)格的代數(shù)證明.

證明設(shè)直線l的方程為x=ky+m，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

y2-2ky-2m=0,

于是

y1+y2=2k,y1y2=-2m.

因為OA⊥OB,所以

得

m=2或m=0(舍去),

因此x=ky+2,即直線l恒過定點(diǎn)(2,0).

下面提出更一般的猜想：

圖2

猜想2直線l與拋物線y2=2px相交于點(diǎn)A,B，若OA⊥OB，則直線l恒過定點(diǎn).

同樣為了避免沒必要的證明，還是通過幾何畫板先演示追蹤直線進(jìn)行探索，可知直線l過定點(diǎn)(如圖2).下面再進(jìn)行嚴(yán)格的代數(shù)證明.

2)當(dāng)k存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

ky2-2py+2pm=0,

于是

因為OA⊥OB,所以

得

m=-2pk或m=0(舍去),

因此y=kx-2pk=k(x-2p),即直線l恒過定點(diǎn)(2p,0).

結(jié)論1直線y=kx+m與拋物線y2=2px相交于點(diǎn)A,B，若OA⊥OB，則直線恒過定點(diǎn)(2p,0).

推論1過定點(diǎn)(2p,0)作直線且與拋物線y2=2px相交于點(diǎn)A,B，則OA⊥OB.

推論2過定點(diǎn)(2p,0)作直線且與拋物線y2=2px相交于點(diǎn)A,B，則點(diǎn)O,A,B共圓.

通過圓的周角結(jié)論，大膽猜想，并結(jié)合圖形讓學(xué)生切身體驗、觀察和推理，探索發(fā)現(xiàn)拋物線的周角性質(zhì)．

從結(jié)論1中知道O為定點(diǎn)(原點(diǎn))，下面將視野再放大：若直角頂點(diǎn)P不在原點(diǎn)，且PA⊥PB，則直線AB是否還會過定點(diǎn)？

猜想3已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px上定點(diǎn)且拋物線與直線l交于點(diǎn)A，B，若PA⊥PB，證明：直線AB恒過定點(diǎn).

同樣借用幾何畫板先直觀地觀察，知直線AB仍然恒過定點(diǎn).下面通過代數(shù)證明并尋找該定點(diǎn).

2)當(dāng)k存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

ky2-2py+2pm=0,

于是

因為PA⊥PB,所以

得

m=-y0-k(x0+2p),

因此直線l的方程為y=kx+m=k(x-x0-2p)-y0，即恒過定點(diǎn)(x0+2p,-y0).

結(jié)論2已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px上的定點(diǎn)且拋物線與直線l交于點(diǎn)A,B，若PA⊥PB，則直線AB恒過定點(diǎn)Q(x0+2p,-y0).

通過改變周角頂點(diǎn)，觀察圖像發(fā)現(xiàn)性質(zhì)仍然成立，并邏輯推理、探索證明其他圓錐曲線中的周角性質(zhì)，類比推廣.

3 追根溯源，總結(jié)提升

人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第73頁習(xí)題2.4第6題如下：

圖3

例2如圖3，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A,B，求證：OA⊥OB.

分析由上述結(jié)論可知直線過點(diǎn)(2p,0)，即(2,0)，因此必有OA⊥OB.

例2是例1的源頭.茫茫題海，問解何處覓，課本尋根、課本探源，盡覽眾山小.因此在平時的教學(xué)及學(xué)習(xí)過程中，要學(xué)會對問題的深入探究以及學(xué)會同根同宗問題的延續(xù)及推理.

大家都知道圓錐曲線與圓有著天然的聯(lián)系，一方面在很多題目中看到動圓的圓心軌跡就是圓錐曲線，反過來圓錐曲線又可生成圓，它們相伴而生，如影隨形.并且圓錐曲線的很多性質(zhì)都與圓有相似結(jié)論，這種類比推理的學(xué)習(xí)不僅有趣，而且對視野的擴(kuò)展及解題能力及素養(yǎng)的提升都有很大幫助.在平時的學(xué)習(xí)過程中，不僅要學(xué)會推理、尋找聯(lián)系，還要對一些結(jié)論進(jìn)行整理、推廣以及應(yīng)用.

圖4

4 延伸拓展，拾級而上

例3如圖4，已知點(diǎn)M(1,1)是拋物線C:y2=x上的一點(diǎn)，直線l與拋物線C交于點(diǎn)A,B，使得∠AMB=90°,則原點(diǎn)到直線l的距離最大值為______.

(2018年浙江省金華市十校聯(lián)考高二第二學(xué)期期末考試第15題)

分析1設(shè)直線方程為x=my+n，聯(lián)立方程得y2-my-n=0，從而

y1+y2=m,y1y2=-n,Δ=m2+4n.

因為MA⊥MB,得n=m+2,所以

圖5

評注利用結(jié)論2，此題可快速求解，避免大量運(yùn)算.

例4如圖5，已知拋物線y2=4px(其中p>0)，O為頂點(diǎn)，設(shè)A,B為拋物線y2=4px(其中p>0)上除原點(diǎn)以外的兩個動點(diǎn)，已知OA⊥OB,OM⊥AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

(2000年北京市春季數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

分析由結(jié)論1可知，直線l過定點(diǎn)Q(4p,0).因為OM⊥AB，所以O(shè)M⊥QM,因此點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓(除點(diǎn)O,Q)，即

(x-2p)2+y2=4p2(其中y≠0).

評注利用結(jié)論1，此題可快速尋找軌跡變量關(guān)系的轉(zhuǎn)移，避免尋找點(diǎn)A,B的大量運(yùn)算.

總之，高考與學(xué)習(xí)都是源于課本但又略高于課本，熟悉的結(jié)論雖然陌生但又有據(jù)可依.因此在平時的學(xué)習(xí)中，多把教材上的知識點(diǎn)、例題以及練習(xí)作為學(xué)習(xí)的第一資源，多加以探究及聯(lián)想、類比與拓展，串聯(lián)一些相關(guān)的知識，讓高考回歸課本，讓解決問題變成水到渠成的事情，相信經(jīng)過長期研究及探索，命題者的奇思妙想也會變得理所當(dāng)然.