(宏實(shí)中學(xué)，安徽 樅陽 246700)

代數(shù)不等式是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一種不可或缺的題型.那些精美的不等式往往使人絞盡腦汁，但又讓人愛不釋手.在敬佩、感嘆之余，人們心中往往會(huì)產(chǎn)生疑惑：這些不等式是怎么想到的,有沒有證明的捷徑？筆者發(fā)現(xiàn)，代數(shù)不等式有幾種常見的三角背景，本文借用數(shù)學(xué)競(jìng)賽、期刊雜志和安振平新浪博客中的代數(shù)不等式，對(duì)幾類常見代數(shù)不等式的三角背景作一個(gè)總結(jié)，供大家參考.

證明在△ABC中，

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立[1].

證明設(shè)x=tanA，y=tanB,z=tanC,其中A,B,C為銳角△ABC的3個(gè)內(nèi)角，則

(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018年9月數(shù)學(xué)問題2 442)

背景2在△ABC中，cosA+cosB+cosC≥2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA).

即

cosA+cosB+cosC≥2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)，

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立[3].

例3已知a,b,c≥0,a2+b2+c2+abc=4，求證：a+b+c≥ab+bc+ca.

(安振平新浪博客不等式問題4 712)

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

令2cosA=a，2cosB=b,2cosC=c,則所證的式子轉(zhuǎn)化為

cosA+cosB+cosC≥2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA).

應(yīng)用背景2，即證.

(2011年中歐數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題第2題)

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

例5已知x,y,z>0，xy+yz+zx+xyz=4,求證：x+y+z≥xy+yz+zx.

(1996年越南數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題第3題)

結(jié)合背景3，即證.

(安振平新浪博客不等式問題4 714)

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

構(gòu)造銳角△ABC.令2cosA=a，2cosB=b,2cosC=c,則原式轉(zhuǎn)化為

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.

總之，從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)出發(fā)，對(duì)代數(shù)不等式問題的三角背景進(jìn)行挖掘，新穎復(fù)雜的代數(shù)不等式往往就轉(zhuǎn)化為優(yōu)美整潔的三角不等式，從三角的視角去研討問題，為問題的解決找到了一條“柳暗花明又一村”的捷徑.