(鎮(zhèn)海中學，浙江 寧波 315200)

●莫芬利

(北侖中學，浙江 寧波 315800)

1 背景

文獻[1]對文獻[2]中的一些觀點進行了更加平緩、平民化、大眾化的解釋，并提出了在數(shù)學教學中如何理解并貫徹“啟發(fā)思維”這個中心的三點看法．尤其是文章中提到，面對鮮活的教學現(xiàn)實，我們是否應當跳出現(xiàn)實的情境，在思想上、理論上有一個升華的準備，并在此基礎上重新審視我們的教學行為，改進我們的教學思路[1]．對此筆者深有感觸，尤其在高三數(shù)學復習課教學中，對于突出的、典型的數(shù)學問題，教師該如何帶領學生一步步深入分析問題、一點點撥開題目的迷霧？如何搭設一層層臺階，幫助學生找到思維的切入點，從而提升學生的思維水平？這些問題都對教師提出了很大的挑戰(zhàn)．筆者結合高三一節(jié)公開課，談談在高三復習課中啟發(fā)學生思維的幾個具體切入點．

2 教學過程簡錄

2.1 提出問題

二元變量最值問題是高中數(shù)學中一類重要的數(shù)學問題，它是學習基本不等式、函數(shù)與方程、導數(shù)等知識后，具體運用數(shù)學知識、數(shù)學思想的一個良好的載體．由于多模塊內容之間知識的聯(lián)系性，教師要引導學生在問題的解決過程中多維度、多視角地觀察與分析問題的條件，不斷啟迪思維，逐步培養(yǎng)能力，從而提升解題水平，落實高中數(shù)學核心素養(yǎng)．

2.2 分析問題

2.3 解決問題

問題1解決含有約束條件的最值問題通常有兩個視角：代數(shù)視角和幾何視角.從代數(shù)的角度看，可以怎樣理解這個問題？

啟發(fā)思維點1結合函數(shù)和方程的關系，從函數(shù)或者方程變量個數(shù)角度看，是二元參數(shù)問題，減少參數(shù)個數(shù)是永恒的主題,因此直接利用消元法.由2x+y=1,得y=1-2x,從而

問題2從代數(shù)的角度看，對于二元參數(shù)問題，減少參數(shù)個數(shù)是永恒的主題.除了直接利用消元法，還有別的方法嗎？

(1)

方法1(利用三角函數(shù)的有界性)由式(1)得

(2m-1)cosθ+msinθ=1,

即

從而

(2m-1)2+m2≥1,

故

方法2(數(shù)形結合)由式(1)得

圖1

故

設計意圖消參法是解決多變量最值問題最常見的方法.通過消去變量，化為含有單變量的最值問題，再利用函數(shù)的最值方法去解決，這是高中數(shù)學中一種重要的解決最值問題的方法.這種簡單、常見的解決方法中蘊含了函數(shù)與方程、轉化和化歸等重要思想.在消參的過程中，根據(jù)條件的不同，可以利用消元法、齊次化、三角換元等方法消減參數(shù).

x2+y2=(x-t)2，

整理成關于x的方程，即

4x2+2(t-2)x+1-t2=0.

上述關于x的一元二次方程有解，則

Δ=4(t-2)2-16(1-t2)≥0，

即

20t2-16t≥0，

故

設計意圖在含有多變量問題中，往往可以從一個變量的角度出發(fā)，視其為主元，而把其他變量視為參數(shù)，從而轉化為方程的解的問題.

圖2

問題3從幾何角度出發(fā)，可以如何理解題目條件和所求式子？

設計意圖幾何法是解決函數(shù)問題的“另一只眼睛”，數(shù)形結合可以讓學生更加深入地認識所求問題的本質，通過對問題的本質揭示，從較高的角度幫助學生理解問題的來源、拓寬思考問題的角度和深度、挖掘解決問題的方法、提升數(shù)學學習的素養(yǎng).

2.4 歸納拓展

上述從代數(shù)和幾何兩個角度揭示了本題的具體的解決方法．綜合利用了函數(shù)、方程、導數(shù)、三角、直線和圓等相關知識，結合代數(shù)式的各種特征，利用了常見的數(shù)形結合、判別式法、多元減參、線性規(guī)劃等多種解題策略.在解決問題過程中充分利用數(shù)學邏輯推理、直觀想象，根據(jù)數(shù)學式的特點建立距離模型，結合具體方法落實數(shù)學運算素養(yǎng)，直至問題解決．

問題4不等式法一直是解決最值問題的一種有效的方法.在此題中，能不能利用不等式的知識來解決呢？

啟發(fā)思維點6(柯西不等式)因為

所以

則

當且僅當

設計意圖不等式是解決最值問題一個有效的途徑，但是對學生要求較高.從不等式的角度看這個問題，需要我們理解不等式的形式及其作用，并檢驗等號成立的條件，尤其是柯西不等式的系數(shù)的湊配.

而(x2+y2)[(2λ-1)2+λ2]≥[(2λ-1)x+λy]2，于是

(2λ-1)2+λ2=1，

故

該方法簡單易理解，也可以理解為本題的代數(shù)解釋．

設計意圖知其然更要知其所以然.這種解法從反面角度、從代數(shù)方面解釋了為什么所求為最小值，結合思維點5解釋了為什么有最小值，從而圓滿地解決了此問題．不僅如此，還給我們以后解決此類型的問題提供了方法上的借鑒．

2.5 練習鞏固

2.6 課后反思

問題5在解題后反思的基礎上，你有哪些收獲？結合下面的“問題清單”，要求學生在思考的基礎上整理.

1)解決二元(多元)最值問題最直接的想法就是“減元”(或減參)和“換元”;

2)體會數(shù)形結合這種重要的思想方法;

3)在認識求解二元(多元)最值問題的過程中，體會運用了哪些思想方法,碰到了哪些困難,有何感觸.

3 高三復習課啟發(fā)思維的幾個切入點

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：在教學過程中，要始終體現(xiàn)學生的主體地位，教師應充分發(fā)揮學生在學習過程中的主動性和積極性，激發(fā)學生的學習興趣，營造寬松、和諧的學習氣氛.在高三復習課教學中，如何發(fā)揮學生的主動性和積極性？高三課堂教學內容多、容量大、難度高，如何找準學生的“興奮點”？筆者認為只有找準思維的啟發(fā)點，像本文的解題過程一樣，逐步切入，培養(yǎng)學生的主體意識，體現(xiàn)學生的主體地位，激發(fā)學生的學習自主性、能動性、創(chuàng)造性，從而逐步落實數(shù)學核心素養(yǎng)．具體表現(xiàn)在：

3.1 疑難之時點撥——對問題的認識

高三復習課，課堂容量比較大，難度比較高，學生在遇到問題時，經(jīng)常會沒有思路.因此，啟發(fā)思維一個重要的時機就是在學生認識問題的過程中尤其是在解決過程中遇到阻力之時、疑難之時的點撥.即在學生找不到前進的方向時，教師應適時地發(fā)揮“引路人”的作用，抓住主要矛盾，從不同的視角、不同的維度、不同的高度，帶領學生重新剖析題目條件，重新認識遇到的數(shù)學問題，從而抓住解題核心，找準解題的方向．例如，解決函數(shù)問題要抓住函數(shù)具有數(shù)和形兩種特征，點撥學生從代數(shù)、幾何兩個角度認識函數(shù)；代數(shù)法解決向量問題，從基底和坐標兩個維度去認識和嘗試解決問題等等.

3.2 點撥之后反思——對條件的反思

在學生突破題目難點，找到一種解法后，趁熱打鐵地引導學生進行題后反思，思變、思同、思異、思源[3]，對問題本質重新剖析，反思解題方法、解題技巧、解答過程，力求將思維由特殊推向一般，使問題層層深入，尋找總結通性通法，使思維逐漸深化．例如，對向量數(shù)量積問題的轉化，教師可以帶領學生反思：除了常見的定義法、投影法外，還有什么方法？事實上，數(shù)量積的定義公式也可以轉化為

即極化恒等式，結合余弦定理有

等等．這兩個公式都消去了定義中的夾角這個參數(shù)，采用已知的模長來表示向量的數(shù)量積，簡化了公式，有較大的應用價值．類似這種反思可以幫助學生加深理解并提高對已知問題的認識能力.

3.3 反思之機小結——對方法的總結

文獻[3]指出：題后小結是一種自我提升的重要手段．思變，拓寬題目背景、發(fā)散思維是基礎；思同，思考結論屬性、總結歸納是切入點；思異，猜想性質范圍、大膽推廣是關鍵；思源，追溯事物本質、掌握客觀規(guī)律是核心．通過這4步反思，教師帶領學生小結鞏固所學內容，從思維的角度、過程、結果等方面進一步增強學生的解題體驗，加深對知識的理解．例如，學生都知道從特殊到一般的方法，這種方法在解決不等式恒成立問題經(jīng)常用來求必要條件縮小參數(shù)的取值范圍.其實，在解決圓錐曲線問題用到直線方程的時候，經(jīng)常有斜率不存在的情況，這其實也是一種“特殊”情況，在求解定值定點問題時，往往也會給我們一點“方向”.這一點在高三復習課中尤為突出，高三復習的不僅僅是知識，更重要的是方法，平常所講的觸類旁通、舉一反三就是這個意思.

3.4 小結之處升華——對思想的感悟

近幾年的數(shù)學高考題，背景新穎、能力要求高、內在聯(lián)系密切、思維方法靈活，充分體現(xiàn)了新課程標準理念.高三的題目是做不完的，但是高三的知識點、方法是有限的.這就使得我們在平時的教學過程中，不能僅僅停留在題目的解決上，更應該從題目的解答上升為對知識深層次的理解，即更加注重知識的形成過程、更加關注學生獲取知識的過程、更加關注學生思維能力發(fā)展的過程，在問題本質揭示的過程中、在一題多解的思維過程中、在多題一解的歸納總結中提升學生對思想的感悟，促進學生思維水平的提升，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力．