◆白雨飛

(河北省石家莊市第二中學(xué))

一、引言

隨著人們對(duì)大自然的探索與開發(fā)，人們對(duì)幾何圖形的應(yīng)用日益增多，也逐漸體會(huì)到了其形狀的美麗，從而引發(fā)了人們對(duì)幾何圖形的研究，幾何學(xué)應(yīng)運(yùn)而生。隨著對(duì)幾何圖形研究的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)用邊角關(guān)系推算類似圓錐曲線等復(fù)雜圖形時(shí)十分困難，直到1637年笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，通過借助坐標(biāo)系采用代數(shù)方法解決幾何問題，可以把原本復(fù)雜幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，使得人們對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)更進(jìn)一步。在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)和發(fā)展之后，如何將幾何圖形呈現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上成了一個(gè)迫在眉梢的問題。而坐標(biāo)幾何就成了一個(gè)有利的手段，它在計(jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)一時(shí)成了人們研究的重要方向。

坐標(biāo)幾何作為客觀幾何與計(jì)算機(jī)圖形實(shí)現(xiàn)的紐帶，其作用是十分巨大的?；谧鴺?biāo)幾何的重要作用，對(duì)坐標(biāo)幾何的應(yīng)用意義及其在計(jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)進(jìn)行了深入的分析與總結(jié)，以此為進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)之間的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

二、坐標(biāo)幾何及其應(yīng)用

1.坐標(biāo)幾何概念

坐標(biāo)幾何是在笛卡爾坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，由笛卡爾和費(fèi)馬等數(shù)學(xué)家創(chuàng)立與發(fā)展的，用解析式法探究平面幾何中幾何對(duì)象性質(zhì)和關(guān)系的一門幾何學(xué)分支。坐標(biāo)幾何包括平面坐標(biāo)幾何與立體坐標(biāo)幾何兩部分，通過笛卡爾坐標(biāo)系，建立實(shí)數(shù)與坐標(biāo)點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，和空間點(diǎn)線面與方程一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，運(yùn)用代數(shù)處理方法研究幾何圖形的性質(zhì)，或用幾何圖形的性質(zhì)研究代數(shù)問題。

2.坐標(biāo)幾何的應(yīng)用技巧

在面對(duì)平面解析幾何或立體幾何類型的問題時(shí)，應(yīng)先在最便于構(gòu)造垂直的位置建立坐標(biāo)系，之后用長(zhǎng)度關(guān)系將各點(diǎn)用坐標(biāo)表示，進(jìn)而可以將點(diǎn)、線、面、體的幾何關(guān)系表示為坐標(biāo)或方程，將所求結(jié)論轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式組，并聯(lián)立求解相關(guān)的問題。結(jié)合筆者的一些應(yīng)用經(jīng)歷，有些問題可以通過坐標(biāo)幾何的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。

(1)當(dāng)遇到與向量垂直有關(guān)的問題時(shí)，若向量表示出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，則可直接同乘最小公倍數(shù)去掉分母，簡(jiǎn)化后面運(yùn)算且不會(huì)影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。

(2)當(dāng)遇到斜率相同的線段長(zhǎng)度比值時(shí)，可直接轉(zhuǎn)化為投影長(zhǎng)度比，將大幅節(jié)省時(shí)間。

(3)在高中解析幾何問題求解過程中，有許多方便的結(jié)論可以直接使用，在許多題目中均可簡(jiǎn)化過程：

①在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，若P為橢圓上的一點(diǎn)(x0，y0)，則P的切線方程為x*x0/a2+y*y0/b2=1。

②在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，若P為橢圓外的一點(diǎn)(x0，y0)，則過P引橢圓的兩條切線切于P1，P2，過P1P2的直線方程為x*x0/a2+y*y0/b2=1。

③在橢圓x2/a2+y2/b2=1中，不平行于橢圓長(zhǎng)短軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，kab為AB斜率，koM為OM斜率，則kab*koM=-a2/b2。

3.坐標(biāo)幾何的應(yīng)用意義

在現(xiàn)今的高考及競(jìng)賽考綱中，解析幾何都是重點(diǎn)考查內(nèi)容，且分值占總分的比例較高，而且其他部分多數(shù)可以用坐標(biāo)幾何的方法及思想解決。在生活中，坐標(biāo)幾何也為生產(chǎn)提供了便利。在機(jī)械零件設(shè)計(jì)圖中，僅用簡(jiǎn)單標(biāo)識(shí)的方法很難精準(zhǔn)表示每個(gè)零件位置，而用坐標(biāo)幾何的坐標(biāo)表示則極為便利且精確。

坐標(biāo)幾何的創(chuàng)立，在當(dāng)時(shí)便體現(xiàn)出了巨大的價(jià)值，而在300多年之后，計(jì)算機(jī)得到大量使用時(shí)，解析想法發(fā)揮了重要作用，對(duì)于算法、幾何圖形在計(jì)算機(jī)中的表達(dá)和程序的編寫都奠定了基礎(chǔ)，成為計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)發(fā)展必不可缺的一部分。

三、坐標(biāo)幾何在計(jì)算機(jī)中的表達(dá)

1.常見幾何圖形的表達(dá)方法

點(diǎn)、線、面、體是我們目前三維空間所有幾何圖形的基礎(chǔ)描述方法。在一般認(rèn)知中，我們認(rèn)為點(diǎn)沒有大小，只有位置，而線的形成則是由點(diǎn)移動(dòng)得到的，面是由線移動(dòng)得到的，體是由面移動(dòng)得到的。

在三維直角坐標(biāo)系中，若用x值描述橫軸數(shù)值，y值描述縱軸數(shù)值，z軸描述豎軸數(shù)值，用(x，y，z)數(shù)對(duì)來描述點(diǎn)的位置，用三個(gè)不共線的確定的點(diǎn)來確定一個(gè)平面，一般用Ax+By+Cz+D=0表示平面，通過待定系數(shù)的方法可以求得唯一的A、B、C、D，因此就得到一個(gè)確定平面方程，即所謂的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。

在平面方程已知的情況下，便可以通過兩平面來描述直線，因?yàn)槿魏我粭l直線可以看成兩個(gè)面的交線，只要將兩個(gè)平面方程聯(lián)立即可，如聯(lián)立A1x+B1y+C1z+D1=0與A2x+B2y+C2z+D2=0，相應(yīng)的其標(biāo)準(zhǔn)式可以寫為(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，其中(a，b，c)為該直線的方向向量。從這里可以想到，立體結(jié)構(gòu)可以由系列面的不等式組構(gòu)成，這里的面包括曲面，典型的比如長(zhǎng)方體，則可以由六個(gè)平面不等式組聯(lián)立得到。

2.計(jì)算機(jī)圖形的幾何變換方法

計(jì)算機(jī)的圖形顯示是依賴于幾何坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)的，只要是計(jì)算機(jī)圖形軟件，其內(nèi)部的機(jī)理本質(zhì)上就是空間坐標(biāo)的運(yùn)算，比如涉及計(jì)算機(jī)圖像的幾何變換，如常見的有空間平移、按特定位置旋轉(zhuǎn)、按比例要求縮放和仿射變換等。

圖像的幾何變換實(shí)質(zhì)是改變圖像像素空間位置，按照變化關(guān)系計(jì)算圖像在新空間的像素值。一般而言，圖像的幾何變換表達(dá)式如式(1)所示。

3.計(jì)算機(jī)圖形的幾何變換案例

在計(jì)算機(jī)圖形變化中，對(duì)圖像進(jìn)行方向、尺寸和形狀等方面的變換本質(zhì)上是通過改變圖像的坐標(biāo)描述來實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)假設(shè)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為{100，50}，{200，50}，{150，150}，則通過建立一個(gè)1000*1000的工作窗口，并定義該工作窗口左上角原始坐標(biāo)位于(100，100)處。則在計(jì)算機(jī)圖形中通過軟件可以繪制該三角形，并通過簡(jiǎn)單的程序可以進(jìn)行一些特定的幾何變換，如第一步將三角形沿中心x軸和y軸方向縮小1/2，第二步將圖像沿著初始的位置中心旋轉(zhuǎn)90ο，第三步則將圖像沿著y軸平移200個(gè)單位。通過編寫相應(yīng)的程序如下：

/*****開始：建立畫圖窗口，指定屏幕左上角坐標(biāo)*****/

glutInitWindowSize(1000，1000)；

glutInitWindowPosition(100，100)；

/*****結(jié)束：建立畫圖窗口，指定屏幕左上角坐標(biāo)*****/

/*************開始：按要求畫出三角形*************/

void draw_triangle(void)//繪制三角形

{

glBegin(GL_TRIANGLES)；//開始畫三角形

glVertex2f(50，50)；

glVertex2f(200，50)；

glVertex2f(150，50)；

glEnd()；

}

/*************結(jié)束：按要求畫出三角形*************/

/*************開始：功能實(shí)現(xiàn)*************/

glScalef (0.5， 0.5， 1.0)；//沿著其中心的x軸，y軸方向縮小%

glTranslatef(0.0，200.0，0.0)；//平移200個(gè)單位

glRotatef(90.0，0.0，0.0，1.0)；//旋轉(zhuǎn)90度

glColor3f(0.0，255.0，1.0)；

draw_triangle()；

/*************結(jié)束：功能實(shí)現(xiàn)*************/

即可得到相應(yīng)的效果，如圖1所示。可見，在計(jì)算機(jī)圖形變換中主要是實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)的運(yùn)算，也正是有坐標(biāo)幾何的理論基礎(chǔ)，才有如今的計(jì)算機(jī)圖形發(fā)展，這給計(jì)算機(jī)的發(fā)展帶來了巨大的推動(dòng)作用。

四、結(jié)論

從坐標(biāo)幾何創(chuàng)立至今，它的應(yīng)用范圍正在不斷擴(kuò)大，人們的重視程度也在不斷增加?？梢哉f，坐標(biāo)幾何是機(jī)械化與信息化發(fā)展的重要?jiǎng)恿?，而在?jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)則是較主要的研究方向及應(yīng)用方式，所以，坐標(biāo)幾何在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用已經(jīng)成為眾多計(jì)算機(jī)應(yīng)用科學(xué)的關(guān)鍵。通過文章對(duì)坐標(biāo)幾何的應(yīng)用意義和在計(jì)算機(jī)中的實(shí)現(xiàn)方法的研究闡述，可以看到坐標(biāo)幾何作為計(jì)算機(jī)相關(guān)學(xué)科發(fā)展的基礎(chǔ)，具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，需要得到初學(xué)者的重視。