宋英頡

摘要：隨著對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的深入，運(yùn)用不斷重新建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識(shí)與思維方式去觀察和思考生活中的問(wèn)題時(shí)有更多維化的視角。而在掌握排列組合這一重要的數(shù)學(xué)理論工具后，將其與概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，對(duì)貌似不相關(guān)的事物根據(jù)某種特質(zhì)進(jìn)行分類并建立起數(shù)學(xué)分析模型，能夠體驗(yàn)到運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究日常生活中事物之間內(nèi)在聯(lián)系和復(fù)雜的變化規(guī)律的樂(lè)趣。與此同時(shí)。對(duì)數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)理論工具在分析和解決問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值有更深刻的理解一數(shù)學(xué)知識(shí)與理論不止是尋找量化答案的工具，還能夠分析某種復(fù)雜關(guān)系情況下特定結(jié)果的存在性及進(jìn)行復(fù)雜多樣的決策的優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：生活應(yīng)用 排列組合 分類分析 優(yōu)化選擇

引言：在日常生活中人們通常意識(shí)不到自身所做的選擇中蘊(yùn)含的排列組合思維元素。例如人們選擇穿衣搭配、出行路線以及選購(gòu)日常用品時(shí)，頭腦中都會(huì)閃過(guò)一些篩選條件，例如服裝或配飾的顏色、出行路上有多少可支配的時(shí)間以及一共有多少種潛在選擇等。而在學(xué)習(xí)排列組合理論知識(shí)后，面對(duì)這些日常行為時(shí)就有了不一樣的思考方向。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，排列組合的思想也是經(jīng)常困擾著人們，如各種農(nóng)作物的相互套種，各種機(jī)械設(shè)備的相互搭配，各種最優(yōu)化方案的選擇，各種投資合理性的選擇，各種收益和產(chǎn)出的效率分析……排列組合的思維不僅僅是選A或者選B這么簡(jiǎn)單，而是根據(jù)需要選擇最優(yōu)、最佳方案，指導(dǎo)實(shí)際生活和生產(chǎn)活動(dòng)：或者是根據(jù)離散片段的共同特點(diǎn)，選擇其統(tǒng)一的規(guī)律，根據(jù)這種規(guī)律得出相應(yīng)結(jié)論的思維方式。

一、排列組合理論對(duì)解決問(wèn)題思維方式的改變

（一）發(fā)現(xiàn)解決離散型問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法

隨著高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的不斷深入，雖然學(xué)習(xí)所需的思維方式的抽象性一直在提高，但是運(yùn)用新掌握的數(shù)學(xué)理論知識(shí)所解決的問(wèn)題始終比較具體，研究的對(duì)象一般也僅限于二元或三元。而排列組合理論卻打破了常規(guī)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的解題規(guī)律，探究的對(duì)象無(wú)論是數(shù)量、類別還是期間的變化關(guān)系都呈現(xiàn)多元化、復(fù)雜化。并且通常用于給研究對(duì)象分類的特征本身和在此基礎(chǔ)上事物關(guān)系的變化表面上與數(shù)學(xué)問(wèn)題沒(méi)有直接聯(lián)系，而是會(huì)影響特定問(wèn)題量化結(jié)果的間接條件：通常幾乎都是數(shù)據(jù)和各種知識(shí)的羅列，或者各種原始材料的堆砌，通過(guò)蛛絲馬跡發(fā)現(xiàn)其共同特點(diǎn)，然后生成同一組合的規(guī)律。因此排列組合理論的學(xué)習(xí)為研究離散型問(wèn)題并求得科學(xué)的量化結(jié)果提供了有力工具。

（二）對(duì)特定問(wèn)題從定量到定性的分析

運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)去觀察和解決實(shí)際問(wèn)題，往往是基于發(fā)現(xiàn)用于對(duì)事物之間關(guān)系進(jìn)行定性的數(shù)量關(guān)系，從最基礎(chǔ)的比較代表事物基本數(shù)學(xué)特征數(shù)量的大小，到計(jì)算與數(shù)字有關(guān)的各種事物之間的數(shù)量關(guān)系。而且無(wú)論是利用方程還是函數(shù)關(guān)系對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，最終都能夠得出相對(duì)明確的答案。即既往的數(shù)學(xué)理論基本傾向于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行定量分析。而排列組合理論所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想將對(duì)問(wèn)題的定量分析和定性分析有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，通過(guò)按照不同的特質(zhì)進(jìn)行歸類而對(duì)事物的規(guī)律進(jìn)行多角度分析，從而對(duì)不同的量化結(jié)果進(jìn)行計(jì)算和比較，以便找到一個(gè)基于特定條件的答案。

（三）發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題途徑的多樣性

以人們的經(jīng)驗(yàn)和所謂常識(shí)進(jìn)行日常生活決策時(shí)，往往容易忽視解決一個(gè)問(wèn)題選擇的多樣性。例如前文所提到的人們每天都要面臨的各種選擇，人們大多數(shù)時(shí)候會(huì)憑借直覺(jué)和本能做出選擇。這與人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ鞴?jié)奏不允許在做出一個(gè)選擇時(shí)進(jìn)行詳細(xì)分析有關(guān)，也因思維形成定式而限制了想象力和失去了更加科學(xué)的判斷力。而掌握排列組合理論的思維模式后，經(jīng)常會(huì)對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的日常問(wèn)題解決途徑的多樣性而感到震驚，例如在一家五口人拍攝全家福時(shí)，按照性別、輩分或者站立與坐姿等不同條件進(jìn)行位置選擇，可以拍攝出數(shù)百種不同的照片，而之前根據(jù)直覺(jué)會(huì)認(rèn)為潛在的不同選擇最多不會(huì)超過(guò)兩位數(shù)。在排列組合的研究中，有五大經(jīng)典型問(wèn)題，都是對(duì)排列組合每個(gè)角度的演繹，也都是問(wèn)題多樣性的表現(xiàn)，比如，地圖著色問(wèn)題（對(duì)世界地圖著色，每一個(gè)國(guó)家使用一種顏色。如果要求相鄰國(guó)家的顏色相異，是否總共只需四種顏色）、船夫過(guò)河問(wèn)題（船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜運(yùn)過(guò)河。只要船夫不在場(chǎng)，羊就會(huì)吃白菜、狼就會(huì)吃羊。船夫的船每次只能運(yùn)送一種東西。怎樣把所有東西都運(yùn)過(guò)河）、中國(guó)郵差問(wèn)題、任務(wù)分配問(wèn)題、大樂(lè)透彩票問(wèn)題等等。了解排列組合之后，才真正了解到事物的多樣性和不同差異之間組合的復(fù)雜性。

二、運(yùn)用排列組合解決日常生活中問(wèn)題的方法簡(jiǎn)析

（一）結(jié)合概率論解析常見(jiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)奧秘

在日常生活中人們往往會(huì)驚嘆各種數(shù)字上的巧合，例如最經(jīng)典的生日問(wèn)題。同班的同學(xué)在學(xué)校的學(xué)習(xí)生活中大多遇到過(guò)與自己同年同月同日出生的同學(xué)，并且每一次都有同樣不可思議的感覺(jué)。但是如果運(yùn)用排列組合和概率論知識(shí)結(jié)合進(jìn)行分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)由于同班同學(xué)本身就是按照出生年份分組（大多都是在一個(gè)簡(jiǎn)單的年齡段內(nèi)，約3-5年內(nèi)），并且同一年份只有不多于三百六十六天，每一個(gè)班級(jí)又至少有三十人。綜合上述條件進(jìn)行排列組合的情況下就會(huì)發(fā)現(xiàn)發(fā)生上述“巧合”的概率之大超出絕大多數(shù)人的直覺(jué)。這主要是人們從一開(kāi)始就忽視了班級(jí)分組的前提大條件，并且憑借直覺(jué)認(rèn)定每一個(gè)人的生日都因無(wú)限多的年份、十二個(gè)不同月份以及每個(gè)月至少三十個(gè)日期的無(wú)限多種組合而呈現(xiàn)極大的分散性。因此但凡遇到所謂數(shù)字上的巧合，都應(yīng)對(duì)這些巧合發(fā)生的前提進(jìn)行細(xì)致的分析，從而就會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)奧秘。

（二）運(yùn)用量化的分析結(jié)果驗(yàn)證常識(shí)的可靠性

數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的越多就越是發(fā)現(xiàn)日常生活中的很多經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)存在誤區(qū)，尤其是人們?yōu)榱吮M快做出決策而不假思索使用的一些常識(shí)。而在學(xué)習(xí)排列組合理論知識(shí)后，給運(yùn)用量化的分析結(jié)果驗(yàn)證常識(shí)的可靠性創(chuàng)造了條件，例如家里的電氣節(jié)能問(wèn)題，到底選擇哪一種燈具、電器以及各種電氣開(kāi)關(guān)如何設(shè)置能夠達(dá)到最佳的節(jié)能效果，可以進(jìn)行詳細(xì)的分類、分析和計(jì)算，結(jié)果往往與聽(tīng)取銷售人員泛泛的建議或者參照鄰里的常用方式截然不同。以往的方式方法和經(jīng)驗(yàn)都是結(jié)合在原有大前提的條件下得出的結(jié)論，如聽(tīng)取銷售人員的意見(jiàn)大前提就是銷售人員會(huì)以利潤(rùn)最大化作為潛在條件，而參考鄰里意見(jiàn)時(shí)每家的條件、習(xí)慣、情況都不一定一致，所以得出的結(jié)論不同，這就是經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)與數(shù)學(xué)分析結(jié)果不一致的原因所在。

（三）使用排列組合方法輔助日常問(wèn)題的決策

在學(xué)習(xí)排列組合理論前，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)針對(duì)某一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，答案通常是唯一的且可以具體為某一個(gè)數(shù)字。而運(yùn)用排列組合理論結(jié)合概率論知識(shí)，能夠通過(guò)計(jì)算找到在不同條件下最優(yōu)化的問(wèn)題解決方案。并且這一結(jié)論性方案的價(jià)值不僅體現(xiàn)為一個(gè)數(shù)字，更重要的是達(dá)到這一量化數(shù)據(jù)所設(shè)置的前提條件以及在條件限制下事物各種復(fù)雜聯(lián)系的演變過(guò)程。即找到達(dá)到某一目的最佳路徑以及達(dá)到這一目的的方法。而這種解決問(wèn)題的全新模式正是日常生活問(wèn)題最常需要的解決辦法，即尋找解決問(wèn)題的最佳路徑往往比得到一個(gè)量化的數(shù)據(jù)更有現(xiàn)實(shí)意義。找到最佳路徑是解決問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)目標(biāo)，而數(shù)據(jù)通常是預(yù)先驗(yàn)證路徑選擇的科學(xué)性的量化指標(biāo)。例如選購(gòu)日常生活用品的決策過(guò)程，數(shù)字化的價(jià)格和食品中的營(yíng)養(yǎng)成分只是衡量商品價(jià)值的工具，決定購(gòu)買哪一種產(chǎn)品的最終決策才是人們最想得到的答案。

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)排列組合理論的學(xué)習(xí)，讓人們能夠?qū)Υ嬖趶?fù)雜又松散的聯(lián)系的事物之間的相互關(guān)系進(jìn)行深入研究，發(fā)現(xiàn)在不同的前提條件下事物發(fā)生和發(fā)展的路徑及其結(jié)果有何規(guī)律，并且針對(duì)特定問(wèn)題尋求一種科學(xué)又合理的解決方案。