李志強， 倪 莉， 趙則祥， 張 洪， 梁 穎

(中原工學院 機電學院， 河南 鄭州 450007)

梳理機工作輥結合件是梳理機的關鍵件之一，2個工作輥的工作間隙理想狀況是保持一致性，從而保證梳理通過的纖維層的厚度一致，進而達到高質量的梳理效果，但實際狀況是，工作輥在重力載荷和針布載荷作用下產(chǎn)生撓度，導致工作輥間的隔距不均勻，對梳理機整體性能產(chǎn)生很大影響。目前國外同行業(yè)工作輥最大撓度值和間距調(diào)整方面做得較好。影響工作輥性能的指標主要有材料和結構2方面，因此，探索工作輥最佳結構成為提高其性能的關鍵之一。作為結構優(yōu)化概念設計層次的拓撲優(yōu)化，可從根本上定義結構的形式，是真正意義上的最優(yōu)設計[1]。1988年，Bendsoe等基于“微結構”思想提出了均勻化方法，由此拓撲優(yōu)化進入繁榮時期。隨后發(fā)展的變密度法，使得拓撲優(yōu)化的工程應用成為可能[2]。

國內(nèi)外學者在減少結構撓度和結構優(yōu)化方面做過很多研究：Yi等[3]提出如何在拓撲優(yōu)化的結果上建立參數(shù)化CAD模型；郭鵬等[4]推導了魚腹型中梁的優(yōu)化，降低了中梁撓度；王琴等[5]提出基于加載狀態(tài)下，動態(tài)特性預測的電主軸結構參數(shù)優(yōu)化的思想；陳蘭等[6]對大型船用卷板機上的輥系統(tǒng)進行力學分析和優(yōu)化，降低了上輥撓度；夏建芳等[7]以主梁幾種主要型鋼結構參數(shù)為設計變量，運用ANSYS APDL語言編制了結構優(yōu)化程序，主梁結構優(yōu)化結果表明，其應力分布更加合理，最大應力下降4.8%，整體質量下降16%，最大撓度上升50%，仍符合設計標準；李兆凱等[8]分析了二級層級褶皺結構的板模型，在剪切或壓縮載荷下對應的6種失效模式及對應的名義應力。通過比較名義應力值，控制發(fā)生的失效模式類型,并結合多目標優(yōu)化算法，同時進行最小質量和最小撓度的性能優(yōu)化；Yoshihiro等[9]研究了桁架在自身重力下的全局優(yōu)化；李志強等[10]研究了以位移約束、應力約束、應變能約束質量最小化為目標的拓撲優(yōu)化關系。通過對目標函數(shù)與約束函數(shù)的解析敏度推導,證明了他們之間的等價性。得到的準則方程表明，在最優(yōu)結構中,單元質量與該單元應變能之比等于結構總質量與結構總應變能之比；Zhu等[11]研究了動力響應下的結構優(yōu)化，提高了動力性能。

目前，國內(nèi)在工作輥撓度優(yōu)化效果上始終沒有達到國外先進水平，為設計出高性能梳理機工作輥，借鑒前人研究優(yōu)化思路，本文提出采取二步法對工作輥結構進行優(yōu)化：首先，基于ANSYS APDL平臺應用自編優(yōu)化程序對工作輥進行拓撲優(yōu)化，得到工作輥合理拓撲構型；然后，基于該拓撲構型，對拓撲構型建立數(shù)學模型，再采用尺寸優(yōu)化方法對工作輥構型做進一步尺寸優(yōu)化，最終設計出滿足強度與撓度要求的高性能梳理機工作輥。

1 梳理機工作輥數(shù)學模型及優(yōu)化方法

1.1 工作輥拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

工作輥拓撲優(yōu)化數(shù)學模型表達式為

(1)

式中：ρ為設計變量；ρi為連續(xù)體第i單元的偽密度；u(ρ)為最大位移；σj(ρ)和[σj]分別為第j個節(jié)點的應力及其上限。

由于模型(1)的約束條件隨著有限元模型網(wǎng)格的增多，應力對偽密度的敏度計算會急劇增加，因此，在優(yōu)化過程中會耗費大量機時，文獻[10]論證了位移、應力、應變能約束的等價性，因此，模型(1)可轉化為應變能最小化問題，更有利于問題的解決，對應的數(shù)學模型為

(2)

1.2 敏度分析

在優(yōu)化過程中采用理性數(shù)學準則法需要進行敏度分析，針對模型(2)的敏度推導如下

(3)

式中，針布力F2為定值，所以對偽密度的敏度為0。

1.3 工作輥尺寸優(yōu)化數(shù)學模型

在拓撲優(yōu)化的基礎上，建立結構特征的數(shù)字參數(shù)化數(shù)學優(yōu)化模型：

(4)

式中：設計變量xi為工作輥各部分結構尺寸；u(X)為最大位移；σj(X)和[σj]分別為第j個節(jié)點的應力及其上限。

在尺寸優(yōu)化過程中，設計變量大大減少，從而敏度分析計算量也相應減少，因此，通過目標函數(shù)對設計變量的敏度分析推導出優(yōu)化準則，然后基于ANSYS仿真平臺進行優(yōu)化設計，計算耗費時間較少。

梳理機工作輥最大撓度最小化依據(jù)上述模型和設計變量對敏度的分析，就可以展開二步優(yōu)化法的實施：第1步是對工作輥的拓撲優(yōu)化；第2步是對工作輥的尺寸優(yōu)化。這2個階段的優(yōu)化目標函數(shù)相同，設計變量不同，因此，優(yōu)化迭代準則也不同，拓撲優(yōu)化階段的設計變量為單元的偽密度，尺寸優(yōu)化有限元模型(FEM)參數(shù)化建模中的設計變量為拓撲優(yōu)化結果中提取的幾何特征，在拓撲優(yōu)化結果向尺寸優(yōu)化有限元模型轉變過程中很關鍵，直接影響尺寸優(yōu)化結果。拓撲優(yōu)化結果的幾何特征提取應該與優(yōu)化對象的生產(chǎn)工藝相聯(lián)系，避免設計出來而生產(chǎn)不出來的困境，也應該與制造經(jīng)濟成本聯(lián)系起來，盡量做到結構簡單、生產(chǎn)便捷、制造成本低、產(chǎn)品性能優(yōu)的效果。拓撲優(yōu)化結果只是提供了材料大體的分布情況，但不能代替第2步的尺寸優(yōu)化。工作輥優(yōu)化方案流程圖如圖1所示。

圖1 工作輥優(yōu)化基本流程Fig.1 Basic procedure of work roll optimization

2 算 例

梳理機工作輥軸承間距為3 891 mm，外徑為 220 mm，滾筒軸長為3 780 mm，軸頭材料為Q235-A圓鋼，滾筒材料為45鋼，彈性模量2.06×1011Pa，泊松比為0.3，密度為7.85 g/cm3，針布質量為 30 kg。工作輥示意圖如圖2所示。

圖2 工作輥示意圖Fig.2 Sketch of work roll

2.1 工作輥構型的拓撲優(yōu)化

優(yōu)化前，對國內(nèi)算例一指定的工作輥進行試驗與仿真，試驗與仿真結果較吻合，工作輥最大撓度為0.3～0.4 mm，國外相同尺寸和材料的工作輥在相同工況下最大撓度稍大于0.1 mm。國內(nèi)外的區(qū)別在于工作輥結構的差異，由此可見合理改變工作輥質量分布可解決最大撓度最小化問題。拓撲優(yōu)化可打破人們以往根據(jù)經(jīng)驗預判提出最佳結構，然后對提出結構進行尺寸優(yōu)化的不足，實現(xiàn)真正意義上的結構優(yōu)化。根據(jù)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型(2)對工作輥進行拓撲優(yōu)化，結果如圖3所示。

圖3 工作輥簡化模型剖視圖Fig.3 Section view of work-roll simplified model

工作輥分為2個區(qū)域，拓撲優(yōu)化區(qū)域與非拓撲優(yōu)化區(qū)域：非拓撲優(yōu)化部分是為了保持工作輥功能特性的外形，不參與優(yōu)化；優(yōu)化區(qū)域是通過拓撲優(yōu)化對質量進行最佳分布，從而使工作輥最大撓度最小化。按照數(shù)學模型(2)，應用ANSYS APDL平臺和自編程序對工作輥進行拓撲優(yōu)化，找到材料最佳分布，并對拓撲構型結果提取數(shù)字特征，為第2步尺寸優(yōu)化建立參數(shù)化數(shù)學模型做準備。

圖4示出工作輥的拓撲優(yōu)化過程中結構材料隨著迭代步數(shù)增加，材料分布趨于最優(yōu)的進化過程。圖中白色區(qū)域代表有材料分布，灰色區(qū)域代表工作輥沒有材料分布，白色區(qū)域外部的黑色區(qū)域為優(yōu)化過程中ANSYS窗口背景。圖4(a)～(f)中工作輥的壁厚從端部向中間逐漸變厚，從而增加了工作輥的剛度，工作輥縱截面類似魚骨型結構，與肋板效果一樣也加強了工作輥剛度，但隨著迭代步數(shù)的增加，工作輥內(nèi)部魚骨狀結構逐漸消失；在圖4(g)～(i)中隨著迭代的收斂，工作輥內(nèi)部魚骨狀結構已經(jīng)完全消失，這是因為魚骨狀結構一方面增強了工作輥剛度，有利于減少工作輥最大撓度，但另一方面其存在增加了工作輥質量，這對減少工作輥最大撓度是不利的，這種兩難狀況依賴設計經(jīng)驗是無法完成的，從拓撲結構的漸變過程來看，利用拓撲優(yōu)化能清晰穩(wěn)定地得到材料的最佳分布。在優(yōu)化結束時，工作輥端部縱截面類似倒放著的M狀結構得到保留，因為工作輥工作時上部承受壓應力，下部承受拉應力，這樣的結構有利于減少縱向應變，從而減少了工作輥的最大撓度。在拓撲優(yōu)化迭代過程中，材料分布漸變圖反映了迭代過程中材料分布變化的穩(wěn)定、清晰、快速的收斂過程，收斂的拓撲優(yōu)化結果圖(見圖4(i))為工作輥第2步尺寸優(yōu)化提供了結構幾何特征，根據(jù)這些幾何特征，建立參數(shù)化工作輥幾何模型后就進入了第2步優(yōu)化階段，即工作輥結構尺寸優(yōu)化過程。

圖4 迭代過程中工作輥縱剖面結構的演化過程Fig.4 Evolution of work roll rertical section structure in iterative process. (a) Iteration 5; (b) Iteration 6; (c) Iteration 7; (d) Iteration 8; (e) Iteration 9; (f) Iteration 10; (g) Iteration 11; (h) Iteration 12; (i) Iteration 13

2.2 工作輥的尺寸優(yōu)化

根據(jù)拓撲優(yōu)化結果對工作輥進行參數(shù)化建模，如圖5所示。把優(yōu)化區(qū)域中的材料分布用參數(shù)化數(shù)學模型描述，中間部分可用分段線性函數(shù)描述，端部利用曲線擬合，具體選取的擬合函數(shù)與零部件生產(chǎn)水平與工藝相關，應與相關企業(yè)協(xié)商，否則會出現(xiàn)設計出來制造不出來的狀況。算例中的設計變量有工作輥端面厚度、軸頸直徑、空腔兩端用圓臺擬合，中部用階梯錐孔擬合，工作輥壁厚等，從而得到參數(shù)化模型。

圖5 工作輥參數(shù)化幾何模型Fig.5 Work-roll geometric model with parameters

隨著3D打印的發(fā)展，制造業(yè)水平得到前所未有的提升，很多復雜結構零件的生產(chǎn)工藝得以解決。在工作輥拓撲優(yōu)化結果的基礎上，提取數(shù)字特征建立參數(shù)化數(shù)學模型，進入到工作輥尺寸優(yōu)化階段，按照數(shù)學模型(4)，基于ANSYS平臺，應用自編程序對工作輥進行結構優(yōu)化，也可將模型(4)的問題轉化為應變能約束下的質量最小化問題。優(yōu)化過程中設計變量的選取很關鍵，直接影響優(yōu)化效果，這里軸頭直徑也作為設計變量。

圖6示出利用ANSYS軟件創(chuàng)建的工作輥幾何模型的縱剖面。對幾何模型劃分網(wǎng)格、加載、輸入利用敏度推導的優(yōu)化準則進行尺寸優(yōu)化，就得到工作輥最優(yōu)結構。圖7示出工作輥尺寸優(yōu)化收斂時的一次優(yōu)化結果。位移云圖顯示，工作輥最大撓度為0.105 mm，約等于0.11 mm，工作輥最大撓度的最小值已經(jīng)與國外相同材料和工況的同類先進工作輥的性能一致，優(yōu)化后的工作輥極大改善了工作輥撓度。

圖7 優(yōu)化后位移云圖Fig.7 Displacement of work-roll after optimization

圖6 工作輥幾何模型縱剖面Fig.6 Vertical section of work-roll geometric model

優(yōu)化前工作輥最大撓度為0.33 mm，最大應力為7.12 MPa；優(yōu)化后其最大撓度約為 0.11 mm，最大應力為9.15 MPa。說明優(yōu)化后的工作輥最大應力有所增大，但遠遠低于許用應力，最大撓度減少了67%。最大撓度發(fā)生在工作輥中間，中間壁厚的變化從直觀上看對撓度的影響是一個矛盾，壁厚加厚一方面提高了剛度，但另一方面也加大了自身質量，這個問題無法從直觀經(jīng)驗上解決，正是某企業(yè)工作輥撓度減不下來的問題所在，工作輥端部構形也是遠非經(jīng)驗和想象可以設計出來的，通過拓撲優(yōu)化和尺寸優(yōu)化后工作輥結構異于原結構，材料分布更加合理，工作輥性能得到很大提高。圖8示出未優(yōu)化時原工作輥結構圖。圖6近似認為優(yōu)化后的工作輥結構，與優(yōu)化前的工作輥區(qū)別是尺寸參數(shù)的變化，結構形式不變。

圖8 原工作輥結構圖Fig.8 Structure chart of original work-roll

3 結束語

本文研究了針布載荷和重力載荷下梳理機工作輥結構的拓撲優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，工作輥結構優(yōu)化過程分為2個步驟進行：首先對工作輥劃定優(yōu)化區(qū)域與非優(yōu)化區(qū)域，按照給定的數(shù)學模型對優(yōu)化區(qū)域進行拓撲優(yōu)化，找到優(yōu)化區(qū)域最佳材料分布；然后在前一步優(yōu)化結果的基礎上，抽取材料分布特征，建立參數(shù)化數(shù)學模型，選定優(yōu)化方法?；贏NSYS軟件對工作輥進行尺寸優(yōu)化，獲得工作輥最佳結構，通過算例仿真對比，驗證了優(yōu)化方法有效性。

優(yōu)化過程中，采用理性數(shù)學準則使拓撲結果更加精確可靠，為工程人員提供了新的設計方法，具有一定的工程應用價值。由于與企業(yè)合作過程中未提到工作輥的固有頻率限制，在相應的固有頻率約束下，工作輥撓度最小化需要進一步研究。

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