(江南大學(xué) 自動(dòng)化研究所，江蘇 無(wú)錫 214122)

0 引言

近十年來(lái)，多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制問(wèn)題越來(lái)越成為控制界關(guān)注的焦點(diǎn)，這些系統(tǒng)在無(wú)人機(jī)編隊(duì)協(xié)作，多機(jī)器人協(xié)作，衛(wèi)星編隊(duì)飛行，傳感器網(wǎng)絡(luò)等方面得到廣泛應(yīng)用[1-2]。 其中， 多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題作為一個(gè)重要的協(xié)同控制問(wèn)題同樣是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)，其領(lǐng)導(dǎo)者不受跟隨者影響， 且要求跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者目標(biāo)一致。 文獻(xiàn)[3]基于M矩陣?yán)碚撨M(jìn)行一致性收斂分析，討論了采樣數(shù)據(jù)框架下的一階多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]研究了一類二階非線性多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題，利用相鄰智能體之間的相對(duì)信息給出分布式自適應(yīng)非線性控制率。

事實(shí)上，多智能體系統(tǒng)常常受到外部干擾的影響，使得一致性問(wèn)題變得更具挑戰(zhàn)性。目前，H∞魯棒控制是最常見(jiàn)的處理干擾的方法，對(duì)抑制干擾簡(jiǎn)單有效。文獻(xiàn)[5]對(duì)存在干擾和模型不確定參數(shù)的二階多智能體系統(tǒng)，給出了魯棒H∞一致性控制協(xié)議。文獻(xiàn)[6]研究了存在干擾和模型不確定性的多時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞一致性問(wèn)題。 文獻(xiàn)[7]對(duì)不確定高階多智能體系統(tǒng)，討論了滿足L2-L∞性能指標(biāo)下的一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]針對(duì)一類有時(shí)滯的Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)輸出反饋一致性協(xié)議使得多智能體系統(tǒng)滿足H∞性能的平均一致性。 然而實(shí)際工程問(wèn)題中的干擾往往是周期性的，對(duì)于這類干擾，一個(gè)有效的方法是基于觀測(cè)器的估計(jì)信息設(shè)計(jì)控制器來(lái)消除干擾。 文獻(xiàn)[9]基于干擾估計(jì)信息，針對(duì)存在外部干擾的二階多智能體系統(tǒng)，提出了擾動(dòng)抑制的一致性協(xié)議。文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步研究了由外部非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾的二階多智能體的一致性問(wèn)題。 文獻(xiàn)[11]針對(duì)存在外部干擾的二階多智能體系統(tǒng)，給出了基于內(nèi)模的自適應(yīng)一致性協(xié)議。 文獻(xiàn)[9-11]都是不考慮系統(tǒng)存在時(shí)滯的情況下研究多智能體系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制一致性問(wèn)題。 然而一個(gè)實(shí)際的多智能體系統(tǒng)往往會(huì)伴隨著時(shí)間的延遲，時(shí)滯的存在會(huì)影響系統(tǒng)的性能，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 文獻(xiàn)[12-13]通過(guò)預(yù)測(cè)時(shí)滯期間狀態(tài)的變化來(lái)設(shè)計(jì)控制器，解決了線性系統(tǒng)存在時(shí)滯的問(wèn)題。 針對(duì)文獻(xiàn)[12-13]中設(shè)計(jì)的控制器包含過(guò)去控制輸入積分的缺陷問(wèn)題，文獻(xiàn)[14-15]做了相應(yīng)的優(yōu)化和改進(jìn)，并將該方法稱為截取預(yù)測(cè)方法。文獻(xiàn)[16]進(jìn)一步用該方法解決了有輸入時(shí)滯的Lipschitz非線性多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題。截取預(yù)測(cè)方法相對(duì)于傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法其優(yōu)勢(shì)在于設(shè)計(jì)的控制器中沒(méi)有積分，使得設(shè)計(jì)的控制器便于實(shí)現(xiàn)，且能很好的彌補(bǔ)輸入時(shí)滯造成影響，是解決輸入時(shí)滯比較實(shí)用有效的方法。

目前，針對(duì)系統(tǒng)存在的外部干擾，基于觀測(cè)器干擾估計(jì)信息設(shè)計(jì)一致性協(xié)議已經(jīng)做了大量的研究，而同時(shí)考慮系統(tǒng)狀態(tài)信息不可測(cè)且有輸入時(shí)滯的研究比較缺乏。 因此，本文主要考慮狀態(tài)信息不可測(cè)情況下，研究有輸入時(shí)滯且存在外部干擾的多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。主要利用鄰居智能體相對(duì)輸出信息，給出能同時(shí)估計(jì)狀態(tài)和干擾的觀測(cè)器結(jié)構(gòu)。然后發(fā)展了文獻(xiàn)[14-15]中解決輸入時(shí)滯的截取預(yù)測(cè)方法，并根據(jù)鄰居智能體相對(duì)輸出信息獲得的狀態(tài)估計(jì)和干擾估計(jì)設(shè)計(jì)一致性協(xié)議，其中，控制協(xié)議中干擾估計(jì)的引入對(duì)外部干擾有很好的抑制作用。為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，除使用李雅普諾夫方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析外，同時(shí)考慮Krasovskii 泛函處理系統(tǒng)存在的積分項(xiàng)，給出描述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性充分條件的線性矩陣不等式(LMIs)。最后，用一個(gè)仿真例子來(lái)驗(yàn)證所得結(jié)果的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[17]：0是拉普拉斯矩陣L的一個(gè)特征值，1作為對(duì)應(yīng)的右特征向量滿足L1=0。矩陣L其余特征值均有非負(fù)實(shí)部。

引理2[15]：存在一個(gè)正定矩陣P，并且x∈[λ1,λ2]→Rn，λ1,λ2∈R且λ2>λ1，使得下列不等式成立：

(1)

引理3[15]：存在一個(gè)正定矩陣P，使得下列等式成立:

(2)

其中：

S=-ATP-PA+ωP

如果S是正定的，則滿足:

eATtPeAt

(3)

引理4[18]：根據(jù)有向拓?fù)鋱D信息，滿足矩陣M是一個(gè)非奇異M-矩陣，其所有特征值均有正實(shí)部，同時(shí)存在一個(gè)對(duì)角矩陣θ=diag{θ1,···,θn}>0滿足θM+MTθ>0。

2 問(wèn)題描述

考慮由N個(gè)跟隨者和1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的有輸入時(shí)滯且有外部干擾的多智能體系統(tǒng)，跟隨者i的動(dòng)力學(xué)方程描述為:

yi(t)=Cxi(t),i=1,2,…,N

(4)

其中：h>0表示每個(gè)智能體輸入時(shí)滯。xi(t)∈Rn，ui(t)∈Rq和yi(t)∈Rr分別表示第i個(gè)跟隨者系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)控制輸入和可測(cè)量輸出，矩陣(A,B,Bf,C)是已知常系數(shù)矩陣。假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)(A,B,C)是可控且可觀測(cè)的。fi(t)∈Rq是外部線性系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾，其動(dòng)力學(xué)方程滿足如下形式：

(5)

其中：常系數(shù)矩陣A1是外線性系統(tǒng)干擾的參數(shù)，并且是已知的。

注1：外部線性系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾在實(shí)際工程中是普遍存在的，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有極大挑戰(zhàn)性,因此，研究這類外部干擾有重要的實(shí)際意義。同時(shí)，外部線性系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾大多滿足式(5)的形式，例如，文獻(xiàn)[19]中提到的未知常數(shù)擾動(dòng)以及未知相位和幅值的諧波擾動(dòng)等均可以描述成式(5)的形式，從而可以將這些外部干擾歸納為一類干擾進(jìn)行研究。

針對(duì)本系統(tǒng)中的外部干擾，采用補(bǔ)償?shù)脑韺?duì)干擾抑制，從而實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)一致性。首先，考慮到傳感器不能精確測(cè)量外部干擾信號(hào)，根據(jù)鄰居智能體相對(duì)輸出信息用分布式觀測(cè)器對(duì)外部干擾實(shí)時(shí)估計(jì)。其次，運(yùn)用前饋控制的思想，將外部干擾實(shí)時(shí)估計(jì)值設(shè)計(jì)一致性協(xié)議實(shí)現(xiàn)對(duì)外部干擾的補(bǔ)償。

領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)方程描述為：

y0(t)=Cx0(t)

(6)

其中：x0(t)∈Rn，y0(t)∈Rr分別表示領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)狀態(tài)和輸出。

定義1：對(duì)于每一個(gè)跟隨者智能體，如果設(shè)計(jì)的擾動(dòng)抑制一致性協(xié)議ui(t)使得該系統(tǒng)在任何初始條件下均滿足：

則解決了領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。

3 主要結(jié)果

3.1 分布式觀測(cè)器設(shè)計(jì)

考慮到系統(tǒng)狀態(tài)信息未知以及外部干擾不能被傳感器精準(zhǔn)測(cè)量，利用鄰居智能體相對(duì)輸出信息，給出同時(shí)觀測(cè)狀態(tài)和外部干擾的分布式觀測(cè)器：

(7)

其中：

(8)

其中：

(9)

其中：

3.2 一致性協(xié)議

定義協(xié)同誤差ηi(t)=xi(t)-x0(t)，結(jié)合式(4)和(6)，得到如下形式：

(10)

根據(jù)式(5)有fi(t)=eA1hfi(t-h)，根據(jù)協(xié)同誤差式(10)可得：

ηi(t)=eAhηi(t-h)+

(11)

每個(gè)智能體處理信息時(shí)，反應(yīng)時(shí)間，計(jì)算速度等都會(huì)導(dǎo)致輸入時(shí)滯的存在，時(shí)滯的存在會(huì)影響系統(tǒng)的性能，本文用預(yù)測(cè)狀態(tài)的方法解決時(shí)滯。類似文獻(xiàn)[14-15]中的截取預(yù)測(cè)方法，利用式(8)估計(jì)的狀態(tài)和干擾信息設(shè)計(jì)如下一致性協(xié)議：

(12)

其中：γ是耦合強(qiáng)度參數(shù)，K是反饋增益矩陣，F(xiàn)是已知矩陣。

3.3 一致性分析

將控制協(xié)議式(12)和式(11)代入式(10)中，結(jié)合估計(jì)誤差εi(t)和δi(t)，得到:

γBdiKeAhεi(t-h)+BfeA1hδi(t-h)-

(13)

(14)

γ(M?BKeAh)ε(t-h)+γ(M?BK)Λ+

(IN?BfeA1h)δ(t-h)

(15)

Λ=Λ+Λ2+Λ3=

(16)

π1X≥BBT

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

其中：

Γ=XAT+AX+

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)：

V(t)=V1(t)+V2(t)=

μT(t)(IN?P1)μ(t)+ζηT(t)(θ?P2)η(t)

這里：ζ是一個(gè)較小的正實(shí)數(shù)。

根據(jù)式(14)，對(duì)V1(t)兩邊求導(dǎo)得到：

(22)

根據(jù)式(15)，對(duì)V2(t)兩邊求導(dǎo)得到:

γ(M?BK)η(t)+γ(M?BKeAh)ε(t-h)+

γ(M?BK)Λ+(IN?BfeA1h)δ(t-h)]≤

2γηT(t)(ζθ?P2)(M?BKeAh)ε(t-h)+

2γηT(t)(ζθ?P2)(M?BK)(Λ1+Λ2+Λ3)+

2ηT(t)(ζθ?P2)(IN?BfeA1h)δ(t-h)≤

ηT(t)(ζθ?((κ2+2κ3+κ4)P2P2+

(23)

這里，λ1=λmin(MTθ+θM)，λ2=λmax(MTθM)，K=BTP2，κ1,κ2,κ3,κ4均是正實(shí)數(shù)，存在正實(shí)數(shù)π1，π2和π3分別滿足:

(24)

(25)

(26)

由引理3可得，這里存在一個(gè)正實(shí)數(shù)ω滿足：eAThP2eAh

S=-ATP2-P2A+ωP2>0

(27)

同時(shí)有:

結(jié)合引理2和引理3以及式(24)，有:

P2BBTeAT(t-τ)eA(t-τ)BBTP2eAhηk(τ-h)dτ≤

(28)

S1=-AT-A+ω1I>0

(29)

(30)

同時(shí)有:

結(jié)合引理2和引理3以及式(24～26)，有:

eAT(t-τ)eA(t-τ)BfeA1hδj(τ-h)dτ≤

(31)

結(jié)合式(23)、(28)、(30)以及式(31)，式(23)重構(gòu)為:

(32)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，對(duì)于第一個(gè)積分項(xiàng)(28)，考慮如下Krasovskii函數(shù):

進(jìn)一步對(duì)Z1(t)求導(dǎo)得到：

(33)

對(duì)于第二個(gè)積分項(xiàng)(30)，考慮如下Krasovskii函數(shù):

進(jìn)一步對(duì)Z2(t)求導(dǎo)得到:

(34)

對(duì)于第三個(gè)積分項(xiàng)(31)，考慮如下Krasovskii函數(shù):

進(jìn)一步對(duì)Z3(t)求導(dǎo)得到:

(35)

對(duì)于式(32)中沒(méi)有積分的時(shí)滯項(xiàng)ε(τ-h)，構(gòu)造如下Krasovskii函數(shù)：

進(jìn)一步對(duì)Z4(t)求導(dǎo)得到:

(36)

對(duì)于式(32)中沒(méi)有積分的時(shí)滯項(xiàng)δ(τ-h)，構(gòu)造如下Krasovskii函數(shù)：

進(jìn)一步對(duì)Z5(t)求導(dǎo)得到:

(37)

重構(gòu)新的Lyapunov函數(shù)為:

結(jié)合式(32～37)，得:

其中：

(38)

(39)

(κ2+2κ3+κ4)P2P2+cI

(40)

注2:LMIS(17-21)的未知參數(shù)較多，為獲得滿足系統(tǒng)的可行解，可選擇用迭代方法求解。 需要注意的是參數(shù)均是一些較小的正實(shí)數(shù)，取值在以內(nèi)，如果選取過(guò)大，基本沒(méi)有可行解。

4 仿真

在本節(jié)內(nèi)容中，為驗(yàn)證設(shè)計(jì)理論方案的有效性，考慮由一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和四個(gè)跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)，其有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。 每個(gè)多智能體的系統(tǒng)矩陣形式為:

與外部干擾相關(guān)的矩陣有如下形式:

根據(jù)圖1所示有向通信拓?fù)鋱D，矩陣M可得:

圖1 有向通信拓?fù)鋱D

圖2～5表示的是系統(tǒng)的狀態(tài)和干擾估計(jì)誤差變化趨勢(shì)。圖6表示的是未加控制協(xié)議的開(kāi)環(huán)多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。 圖7～8表示的是閉環(huán)多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。

圖2 智能體1的狀態(tài)和干擾估計(jì)誤差

圖3 智能體2的狀態(tài)和干擾估計(jì)誤差

圖4 智能體3的狀態(tài)和干擾估計(jì)誤差

圖5 智能體4的狀態(tài)和干擾估計(jì)誤差

圖6 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

圖8 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡

從圖2～5可以看到狀態(tài)和干擾估計(jì)誤差漸近收斂于零，說(shuō)明對(duì)狀態(tài)和干擾的估計(jì)是滿足設(shè)計(jì)要求且有效的。由圖6看出未加控制協(xié)議時(shí)，開(kāi)環(huán)多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)是發(fā)散的，而加了控制協(xié)議的圖7和圖8，可見(jiàn)跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)最終達(dá)到一致，說(shuō)明該一致性協(xié)議對(duì)外部干擾有良好的抑制作用。

5 總結(jié)

本文主要研究了一類受到外部干擾且有輸入時(shí)滯的多智能體領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問(wèn)題。 基于截取預(yù)測(cè)方法解決輸入時(shí)滯的基礎(chǔ)上, 用分布式狀態(tài)觀測(cè)器同時(shí)估計(jì)狀態(tài)和干擾，利用獲得的狀態(tài)和干擾估計(jì)信息設(shè)計(jì)一致性協(xié)議，在Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)的系統(tǒng)框架下進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性充分條件，將獲得的充分條件用具有一組迭代參數(shù)的LMIs求解，從而獲得滿足條件的可行解。 最后， 通過(guò)仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的可行性，通過(guò)仿真圖可以看到外部干擾得到有效的抑制，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)多智能體一致性。未來(lái)研究的重點(diǎn)主要是考慮每個(gè)智能體外部干擾不同的情況，同時(shí)對(duì)已有證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)化改進(jìn)，從而減下系統(tǒng)保守性。