(武警工程大學 研究生大隊,西安 710086)

0 引言

衛(wèi)星導航系統(tǒng)和慣性導航系統(tǒng)由于在誤差傳播性能上能夠實現(xiàn)互補，因此衛(wèi)星與慣性導航系統(tǒng)的組合導航是當前應用最為廣泛的組合導航系統(tǒng)[1-2]。傳統(tǒng)的組合導航方法是采用現(xiàn)代控制理論的最優(yōu)估計法將兩個獨立系統(tǒng)的導航參數融合并修正導航輸出，主要是以卡爾曼濾波為模型框架的各類濾波算法[1-5]，然而這些傳統(tǒng)濾波算法存在建立數學模型困難以及計算量龐大影響導航實時性等問題。

卡爾曼濾波是導航領域最經典的濾波算法，但卡爾曼濾波必須要求系統(tǒng)模型線性化。擴展卡爾曼濾波則是對系統(tǒng)中非線性部分進行近似線性處理，但部分的非線性必然導致估計精度降低。而后出現(xiàn)的無跡卡爾曼濾波、粒子濾波等都在一定程度上提高了濾波算法的穩(wěn)定性和計算效率，具有一定應用價值，但這些改進方法并不能達到減免模型誤差的目的。

小波神經網絡[6-10]是近年來的研究熱點，是小波理論與人工神經網絡相結合的產物，具備強大的數據分析與非線性映射功能。將小波神經網絡應用于組合導航中已經有了一定研究，但只是作為一種輔助手段，文獻[7]利用小波神經網絡輔助建立卡爾曼濾波模型，文獻[8]利用小波神經網絡輔助解決組合導航系統(tǒng)對準問題，文獻[9]利用小波分析理論進行降噪預處理而后再用傳統(tǒng)的濾波算法，但都無法從根本上擺脫傳統(tǒng)數學模型上的問題。

對此，提出一種基于非模型的濾波方法，利用小波神經網絡的時頻分析和非線性預測功能，通過建立小波神經網絡，對組合導航系統(tǒng)的解算數據進行訓練，可以預測并修正下一階段的導航參數誤差，擺脫了數學模型的桎梏，具備強大的非線性預測及容錯能力，提高了導航系統(tǒng)的精度與時效性，能夠很好的應用在組合導航中。

1 小波神經網絡

人工神經網絡[10]是基于生物神經系統(tǒng)研究而建立的數學模型，具有大規(guī)模并行處理和非線性預測識別的功能，有很強的容錯性、聯(lián)想和記憶能力，因此被廣泛應用在各個領域。但是，神經網絡存在其內部結構未知與收斂速度慢甚至不收斂的問題，各節(jié)點數未知，增加隱含層來增加神經元的方法能夠提高預測精度，但是會增加訓練時間，其學習算法的收斂速度與收斂結果存在隨性型。

小波理論[11]是一門前沿的數學理論與方法，能夠解決傅里葉變換中無視時域的問題。小波理論是針對信號在時間和空間頻率上的局部信息進行分析，通過尺度、平移函數使得信號在多層次上細分，最終實現(xiàn)在高頻處對時間細化，在低頻處對頻率細化，能夠自動適應時頻信號變化的要求，從而可聚焦到信號的任意細節(jié)，在處理信號抖動大的非線性問題上，具備很強的優(yōu)勢。

結合兩者的優(yōu)勢，提出了小波神經網絡。小波神經網絡是根據小波理論所產生的一種多層次、多分辨率的人工神經網絡模型算法，即用非線性小波基取代了通常的非線性Sigmoid函數，其信號表述是通過將所選取的小波基進行線性疊加來表現(xiàn)的，由于小波函數具有時域上的緊支性和頻域上的帶通性，用局部的小波取代傳統(tǒng)神經網絡全局的Sigmoid函數，因此小波神經網絡具有小波分析在時頻空間上的多分辨分層特點，同時具備神經網絡強大的非線性擬合等功能。使得小波神經網絡相對神經網絡，其網絡結構設計簡單明了，有明確的理論依據，其強大的時頻信號分析、非線性映射以及時間序列預測的功能，能夠很好的應用于組合導航之中。

目前二者結合的方式主要有兩種[6,11]：一是松散型，首先將信號進行小波分析處理，而后再輸入到神經網絡之中，將二者分開使用；二是緊致型，用小波理論的小波基函數取代神經網絡隱含層的激活函數，這種結合方式能夠兼?zhèn)涠叩膬?yōu)點。因此，無論從理論還是實際應用中，緊致型結合方式數據處理能力更強。主要環(huán)節(jié)如下。

圖1 小波神經網絡模

1.1 網絡參數初始化

假設q(1,2,...,n)為輸入信號樣本的個數，輸入層節(jié)點個數為I，隱含層節(jié)點個數為H，輸出層節(jié)點數為M。

輸入層和輸出層節(jié)點數根據實際輸入與輸出決定，小波神經網絡的隱含層節(jié)點數可按如下方法自適應確定：

首先取隱含層節(jié)點數為1，學習迭代若干次后，如滿足誤差條件，則停止迭代，若達到最大學習次數后仍不滿足條件，則隱含層節(jié)點數增加1，重復上述過程，直到滿足條件，這樣就可根據具體問題自適應確定隱含層節(jié)點數。

1.2 建立小波基函數

在Hilbert向量空間中選取一個母小波函數φ(t)，使其滿足:

通過φ(t)的伸縮和平移變換產生小波函數基:

比較常用的小波基函數有Morlet函數、Haar函數和Daubechies函數等。

上式可以看出，小波變換相當于信號函數在小波基函數上的投影，或者是把信號與小波函數在尺度為a、位置為b處進行相關比較，變換描述了二者之間的相似程度。投影的大小反映了信號在該尺度上能量的大小。

建立小波神經網絡激活函數，得到網絡輸出為：

其中：xi為第p個樣本的輸入值為；yk為第p個樣本的網絡輸出值；zk為樣本的輸出目標值；w1ji為輸入層與隱含層之間的連接權值；w2kj為隱含層與輸出層之間的連接權值；伸縮因子為ai，平移因子為bi。

1.3 預測輸出和誤差

向已經初始化后的網絡輸入一個訓練樣本(Pk,Tk),k∈{1, 2, …,N}，其中N為訓練樣本個數，Pk為網絡輸入信號，Tk為網絡輸出期望值，計算網絡輸出yk，根據：

計算預測誤差。

1.4 學習算法

神經網絡常用的學習算法為梯度下降法，這其中包括批量梯度下降法、隨機梯度下降法和小批量下降法。批量下降法因為每更新一次參數就需要計算整個數據集，導致學習速度十分緩慢且無法在線更新。隨機梯度下降法和小批量下降法不考慮本身存在的缺點，每次迭代都打亂了訓練集的順序，這與小波神經網絡的時頻分析功能是相違背的，不適合應用于小波神經網絡中。

因此，小波神經網絡一般采用改進的梯度下降法沖量算法。訓練時，在權值和閾值的修正算法中加入動量項，利用前一步的修正值來平滑學習路徑，避免陷入局部極小值，加快學習速度。

梯度下降法的權值修正過程為：

在梯度下降法的基礎，引入動量因子α∈[0,1]，則動量梯度下降法為：

wji(t+1)=wji(t)-η▽wji+αΔwji

bj(t+1)=bj(t)-η▽bj+αΔbj

aj(t+1)=aj(t)-η▽aj+αΔaj

2 濾波方法設計

在組合結構設計上，采用松耦合形式的位置、速度組合，以SINS為主導航系統(tǒng)，GPS為輔導航系統(tǒng)，利用GPS導航數據實時修正SINS導航參數。松組合方式具有結構簡單、數據處理量小、提供冗余導航信息、能顯著提高導航系統(tǒng)精度等優(yōu)點。同時只針對位置、速度信息進行處理，能夠在滿足基本的導航定位需求的同時，通過犧牲信息量提高導航實時性。

在選取網絡的輸入時，采用間接濾波法，即使用組合導航系統(tǒng)各子系統(tǒng)導航參數的誤差量作為預測對象。間接法采用導航系統(tǒng)中的誤差量作為處理對象，相對于直接法的導航參數而言，數據相應的數量級是相近的，且變化速度要小得多，更方便于訓練網絡，且更適用于實際中加速度變化大的運動模型。

在利用網絡的輸出時，采用反饋校正法，即用網絡輸出的預測饋到慣導系統(tǒng)中，直接輸入到慣導力學編排方程中去校正各導航參數。從本質上講，反饋校正法和輸出校正法是一樣的，因為理想情況下，校正后的效果是一樣的，但在實際中，利用反饋校正的系統(tǒng)方程式更能接近反映系統(tǒng)誤差狀態(tài)的真實動態(tài)過程。在一般情況下，輸出校正要得到與反饋校正相同的估計精度，應該采用較為復雜的模型系統(tǒng)方程。

在網絡的結構設計上，根據所需導航參數及其維數，采用兩個并行小波神經網絡，分別對位置、速度誤差信息進行訓練，且每個網絡的輸入層和輸出層節(jié)點數都為3，對應數據的三個維度，這種神經網絡特有的并行處理能力可以看出是對導航參數進行降維處理，從傳統(tǒng)組合導航濾波算法的9維降低至3維。網絡的隱含層通過自適應的不斷更改節(jié)點數達到滿足誤差條件，該網絡中選取隱含層節(jié)點數為6。小波基函數選取Morlet函數，表達式為：

ψ(x)=cos(1·75x)exp(-x2/2)。

訓練算法采用改進的梯度下降法，即在權值和閾值的修正算法中加入動量項。

整體濾波設計如圖2所示。

圖2 方案結構設計圖

在網絡的訓練階段，首先對SINS和GPS實測導航數據進行解算，得到慣導系統(tǒng)和GPS的位置與速度信息作為訓練樣本集。以SINS與GPS導航參數的差值做為輸入，以SINS輸出位置速度信息的實際誤差為期望輸出，網絡的真實輸出作為SINS的預測誤差，通過一定次數訓練使得輸出的均方誤差最小。

在網絡的預測階段，將SINS與GPS導航參數的差值輸入到已經訓練好的小波神經網絡，以網絡的輸出作為該時刻SINS的誤差預測值，反饋到慣導系統(tǒng)力學方程中，修正系統(tǒng)導航參數。

3 仿真分析

仿真實驗采用了一個九軸的IMU模塊以及一個GPS接收模塊，其中IMU模塊的陀螺儀精度為0.05°/s，加速度計精度為0.01 g，GPS模塊的定位精度為2.5 m,測速精度為0.1 m/s。將二者固定于同一個平臺上，沿東西方向做速度為1 m/s最大距離為0.5 m的勻速往復運動，仿真時間為300s。解析實驗獲取的數據，采用前200s的數據作為訓練樣本按照設計方案對網絡進行訓練，將后100s的數據輸入網絡中預測該時間內的SINS參數誤差，將誤差反饋給SINS得到修正后的SINS導航參數，并與真實軌跡進行對比。為了驗證該方法的優(yōu)越性，進行了以卡爾曼濾波為組合導航濾波方法的參照實驗。

圖3和圖4顯示的是SINS原始導航誤差和經過小波神經網絡預測修正后的組合導航導航參數誤差對比圖，圖5和圖6顯示的是SINS原始誤差與采用卡爾曼濾波算法修正后的誤差對比圖，根據仿真結果可以看出，SINS由于自身特性導致定位和測速誤差隨時間不斷積累，與真實軌跡偏差越來越大。而經過小波神經網絡預測修正的誤差與采用卡爾曼濾波組合導航修正后的誤差隨時間變化相對小得多，且誤差量遠遠小于SINS誤差。位置速度均方誤差結果對比如表1所示。

圖3 小波神經網絡修正速度誤差對比圖

圖4 小波神經網絡修正位置誤差對比圖

圖5 卡爾曼濾波修正速度誤差對比圖

圖6 卡爾曼濾波修正位置誤差對比圖

東向速度/(m/s)北向速度/(m/s)天向速度/(m/s)東向距離/m北向距離/m高度/m仿真時間/sSINS原始數據3.78231.24160.851524.376454.235811.4335-小波神經網絡修正后0.00910.00820.11801.25327.45043.071111卡爾曼濾波修正后1.52140.85400.01261.16527.61093.1192319

可見利用小波神經網絡預測修正后的導航參數，其均方誤差小于采用卡爾曼濾波修正后的導航參數，能夠有效提高導航精度，在該實驗中，其修正效果優(yōu)于卡爾曼濾波的估計效果。

根據以上結果分析，得出以下結論：

1)在實際導航中，如同卡爾曼濾波的估計值，會將網絡的預測值作為下一時段真實值重新訓練。本次實驗在同樣已知真實軌道參數的基礎上，做了卡爾曼濾波的參照實驗，理論上由于小波神經網絡避免了數學模型建立中引入新的誤差，因而存在一定優(yōu)越性，實驗結果上證明了小波神經網絡的預測效果是優(yōu)于卡爾曼濾波的估計效果，那么可以認為在實際未知真實軌跡情況下，用預測值和估計值做為下一時段的真實值，用一個更優(yōu)值采用更優(yōu)方法去做預測其效果必然更優(yōu)，因此在實際導航過程中，該方法能夠有效提高組合導航的精度。

2)理論上小波神經網絡只針對位置與速度信息進行預測，且采用多個并行小波神經網絡，等同于對數據進行降維處理，大大降低了計算量，從實驗仿真時間來看，小波神經網絡確實能夠提高導航的時效性。但是從仿真結果可以看到，到達仿真后部分修正的誤差值明顯有上升趨勢，因此該方法必須定時更新數據樣本，才能保證導航精度。仿真實驗得到誤差允許范圍內預測的最大有效時間為3分鐘，在真實導航中，必須每隔一個最大有效時間利用最新數據進行離線訓練，由于離線訓練時間不長，仿真結果顯示5分鐘的數據只需要11 s的訓練時間，因此在訓練時間內，可將GPS作為主導航系統(tǒng)，GPS輸出的位置速度信息作為導航輸出軌跡。綜上，該方法能夠在提高組合導航時效性的基礎上保證全程導航。

4 結束語

本文針對傳統(tǒng)的組合導航方法存在建立模型困難和數據維度大等問題，提出了一種利用小波神經網絡，直接對解算后的位置速度誤差信息進行非線性預測的方法，并采用多個并行網絡對數據進行降維處理，擺脫了數學模型的桎梏，具備強大的非線性預測及容錯能力。以卡爾曼濾波為參照進行仿真實驗，結果表明，該方法能夠有效提高組合導航系統(tǒng)的精度與實時性，為組合導航濾波提供一種新的可行路徑。不足之處在于網絡初始權閾值及小波尺度位移參數由于存在隨機性，導致結果可能的隨機性甚至不收斂，在下一步實驗考慮采用思維進化理論加以優(yōu)化。