王秀娟 李生好

1)(重慶大學(xué),輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044)

2)(重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院,重慶 400037)

3)(重慶大學(xué),現(xiàn)代物理中心,重慶 400044)

1 引 言

量子相變[1]是發(fā)生在絕對(duì)零度由量子漲落所驅(qū)動(dòng)的一種相變.量子相變現(xiàn)象為我們展示了一個(gè)豐富的量子世界,目前仍然是凝聚態(tài)物理研究領(lǐng)域極為熱衷的研究對(duì)象.研究量子強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)的主要數(shù)值方法有密度矩陣重整化群的方法(DMRG)[2]、量子蒙特卡羅方法[3]以及張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)算法[4—14].DMRG的方法處理一維系統(tǒng)很是成功,但在處理二維晶格系統(tǒng)時(shí)還是存在一定的限制.量子蒙特卡羅在處理費(fèi)米子系統(tǒng)以及帶有阻挫的系統(tǒng)時(shí)會(huì)遇到一個(gè)負(fù)號(hào)問題.而張量網(wǎng)絡(luò)則不存在這些問題,它既可以處理一維系統(tǒng)也可處理高維系統(tǒng),而且被認(rèn)為是目前解決復(fù)雜的帶阻挫的量子自旋系統(tǒng)的一種強(qiáng)有力的數(shù)值模擬方法.把U(1)對(duì)稱性應(yīng)用到張量網(wǎng)絡(luò)態(tài)算法中大大優(yōu)化了程序,提高了計(jì)算效率,而且還可以得到具有很大糾纏的系統(tǒng)基態(tài).

糾纏熵是一個(gè)量子系統(tǒng)中非局域關(guān)聯(lián)的測(cè)量,在研究黑洞、量子計(jì)算等問題中起著非常重要的作用.在一維系統(tǒng)中,共形場(chǎng)論和精確對(duì)角化已經(jīng)證實(shí)了對(duì)于一個(gè)臨界系統(tǒng),糾纏熵與系統(tǒng)尺寸存在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)度關(guān)系[15,16].實(shí)際上,對(duì)于一個(gè)具有粒子數(shù)或自旋守恒的一維臨界系統(tǒng),在一個(gè)共性不變的子系統(tǒng)中,漲落的行為類似于糾纏熵,也是系統(tǒng)尺寸的函數(shù)并且是對(duì)數(shù)發(fā)散的.其系數(shù)就是Luttinger液體參數(shù)K,K可以用來描述很多一維系統(tǒng)的低能特征.

本文研究的目的就是利用U(1)對(duì)稱的無限矩陣乘積態(tài)算法(iMPS)提取自旋S=1/2,1,2的各向異性量子XXZD模型的Luttinger液體參數(shù)K.二分漲落在臨界系統(tǒng)中與系統(tǒng)尺寸存在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)度關(guān)系,通過對(duì)二分漲落F的擬合并結(jié)合有限糾纏標(biāo)度的臨界指數(shù)κ,可以提取出無能隙相中的Luttinger液體參數(shù)K.自旋S=1/2,D=0的量子XXZD模型在臨界相中Luttinger液體參數(shù)K是精確可解的[17]K=(π/2)/[π-arccos(Δ)],其中Δ是各向異性參數(shù).本文利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法提取出的Luttinger液體參數(shù)K與精確Luttinger液體參數(shù)K的值符合得很好,相對(duì)誤差小于4%.眾所周知,自旋S=1的XXZD模型可以被映射到一個(gè)自旋S=1/2的有效XXZ模型在參數(shù)D≤-2的區(qū)域內(nèi).文中計(jì)算了在這個(gè)區(qū)域內(nèi)參數(shù)(Δ=-0.05,D=-5)的Luttinger液體參數(shù)K=0.991,精確的Luttinger液體參數(shù)K=1,其相對(duì)誤差小于1%.在參考文獻(xiàn)[18]中DMRG在這一點(diǎn)上給出的數(shù)值結(jié)果是K=0.9976±0.0004.此外,在參數(shù)點(diǎn)(Δ=-0.5,D=0)處,文獻(xiàn)[18]中,DMRG給出的Luttinger液體參數(shù)K=3.086±0.002.在這個(gè)參數(shù)點(diǎn)上,本文方法給出的Luttinger液體參數(shù)K=3.1275與DMRG的結(jié)果相對(duì)誤差小于2%.研究結(jié)果表明:當(dāng)系統(tǒng)具有U(1)對(duì)稱性時(shí),利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法可以提取無能隙相中的Luttinger液體參數(shù).本文研究的內(nèi)容安排如下:第2部分介紹U(1)對(duì)稱的iMPS算法[13,14];第3部詳細(xì)介紹如何提取量子XXZD模型在臨界區(qū)的Luttinger液體參數(shù)K;最后部分對(duì)本文主要工作進(jìn)行總結(jié).

2 U(1)對(duì)稱的iMPS算法

目前,張量網(wǎng)絡(luò)算法是研究量子多體系統(tǒng)的一種強(qiáng)有力的數(shù)值計(jì)算方法.本文工作在無限矩陣乘積態(tài)(iMPS)算法的基礎(chǔ)上把U(1)對(duì)稱性加到算法中,得到優(yōu)化的張量網(wǎng)絡(luò)算法,進(jìn)一步提高了計(jì)算精度,從而得到更高精度的系統(tǒng)基態(tài).下面就以平移兩個(gè)晶格不變的結(jié)構(gòu)為例說明如何把U(1)對(duì)稱性應(yīng)用到iMPS算法中并實(shí)現(xiàn)波函數(shù)部分的更新,從而得到量子自旋系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)[13,14].對(duì)于具有平移不變的一維晶格系統(tǒng),其系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)可以用幾個(gè)三階張量和二階張量刻畫的iMPS表示.系統(tǒng)具有U(1)對(duì)稱性也就意味著系統(tǒng)的粒子數(shù)是守恒的,用n來標(biāo)記,如圖1所示.圖1(a)是組成iMPS表示的一個(gè)三指標(biāo)張量Γ(圓圈表示)和奇異值矩陣λ(菱形表示),以及標(biāo)記每個(gè)鍵上的粒子數(shù)n.由于所考慮的系統(tǒng)是平移兩個(gè)晶格不變的,因此可以用這四個(gè)張量λ[0],λ[1],Γ[0]和Γ[1]來表示系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù),如圖1(b)所示,其中,nl,nr和ns分別標(biāo)記每個(gè)鍵上的粒子數(shù).每個(gè)鍵上粒子數(shù)n的符號(hào)是“±”,圖中用輸入或輸出的箭頭表示.每個(gè)格點(diǎn)張量是U(1)不變的,也就是說保證每個(gè)格點(diǎn)上的張量輸入的粒子數(shù)之和等于輸出的粒子數(shù)總和.圖1(b)中的四個(gè)張量就是我們選擇更新的最小的一個(gè)原包結(jié)構(gòu),只要更新了這個(gè)最小的原包結(jié)構(gòu),整個(gè)iMPS鏈就被全部更新.

圖1 (i)三指標(biāo)張量 Γ ,奇異值矩陣 λ和粒子數(shù)n;(ii)具有 U(1)對(duì)稱的iMPS表示Fig.1.(a)Three index tensor Γ ,singular value matrixλ and particle number n;(b)An U(1) symmetric iMPS representation.

具體的更新過程如圖2所示,由以下幾個(gè)步驟組成: 圖2(a)兩點(diǎn)U門作用于具有U(1)對(duì)稱的iMPS態(tài)上; 圖2(b)縮并張量以及兩點(diǎn)門U,從而得到一個(gè)新的張量Θ; 圖2(c)對(duì)張量Θ進(jìn)行奇異值分解,得到新的張量圖2(d)插入逆矩陣λA,從而還原原來的原胞結(jié)構(gòu); 圖2(e)得到更新的張量以及更新過的粒子數(shù)值得注意的是它與之前不加U(1)對(duì)稱性的iMPS算法的區(qū)別在于更新張量的同時(shí),也要一起更新粒子數(shù)n.不斷地交替作用兩點(diǎn)門,重復(fù)以上步驟,直到系統(tǒng)的基態(tài)能量收斂,便可以得到具有U(1)對(duì)稱的iMPS表示的系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù).有了波函數(shù)之后,便可以計(jì)算想要研究的一些物理量.

圖2 更新具有 U(1)對(duì)稱的MPS的過程(a)把U門作用在具有 U(1)對(duì)稱的MPS上;(b)吸收U門縮并(a)中的張量使之成為一個(gè)兩指標(biāo)張量 Θ;(c)對(duì)張量 Θ 進(jìn)行奇異值分解(SVD),得到新的張量X,Y和 ,同時(shí)得到新的粒子數(shù);(d)插入逆矩陣,還原原來的原胞結(jié)構(gòu);(e)得到更新的張量 ,和 及粒子數(shù)Fig.2.The process of update the U(1) symmetric MPS(a)applied gate U on the U(1)symmetric MPS,then contract the tensor network(a)into a single tensor Θ .We compute the singular value decomposition of tensor Θ ,and get the new tensor X,Y和and particle number as in(c).(d)Insert inverse matrix and restore the original tensor structure,we obtain the new tensor , ,and particle number as in(e).

為了驗(yàn)證這個(gè)算法,本文研究了不同自旋的量子 X XZD 模型.文中只考慮最近鄰兩個(gè)格點(diǎn)之間有相互作用,其系統(tǒng)哈密頓量寫成:

3 利用U(1)對(duì)稱的iMPS算法提取Luttinger液體參數(shù)

本節(jié)中討論如何利用U(1)對(duì)稱的iMPS算法提取臨界區(qū)內(nèi)的Luttinger液體參數(shù)K.根據(jù)iMPS表示,一個(gè)臨界的基態(tài),關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度和系統(tǒng)的截?cái)嗑S數(shù)滿足如下的標(biāo)度關(guān)系[19,20]

其中κ是有限糾纏標(biāo)度指數(shù).關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度被定義為其中λ1和λ2分別是轉(zhuǎn)移矩陣的第一大和第二大本征值.對(duì)于一個(gè)具有U(1)對(duì)稱的系統(tǒng),在臨界區(qū)另外一個(gè)有用的量被參數(shù)化就是Luttinger液體參數(shù)K.在量子多體系統(tǒng)中利用粒子數(shù)守恒二分量子漲落可以被定義為:

其中n是粒子數(shù),λ是二分系統(tǒng)的斯密特分解系數(shù).二分量子漲落類似于糾纏熵,在臨界處與系統(tǒng)尺寸χ滿足一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)度關(guān)系[15,16]

本文首先利用U(1)對(duì)稱的無限矩陣乘積態(tài)算法(iMPS)得到在Luttinger液體相中的基態(tài)波函數(shù).然后通過二分量子漲落F和有限糾纏標(biāo)度指數(shù)κ的關(guān)系提取出Luttinger液體參數(shù)K.

3.1 自旋S=1/2的XXZD模型

首先討論D=0 ,自旋S=1/2 的情況,此時(shí),(1)式中系統(tǒng)的哈密頓量H對(duì)應(yīng)著量子XXZ模型,這個(gè)模型的基態(tài)相圖已被廣泛地研究.自旋S=1/2的XXZ模型是精確可解的[21].XXZ模型在各向異性參數(shù)Δ=-1 處發(fā)生了一個(gè)量子相變,其對(duì)應(yīng)著各向異性鐵磁海森堡模型; 在各向異性反鐵磁點(diǎn)Δ=1 處,系統(tǒng)發(fā)生的是一個(gè)BKT相變.當(dāng)各向異性參數(shù)Δ在 [-1,1]的區(qū)域,系統(tǒng)處于無能隙的XY液體相中,此時(shí),系統(tǒng)的Luttinger液體參數(shù)K是精確可解的[17]K=(π/2)/[π-arccos(Δ)].

圖3 在不同控制參量條件下,自旋 S=1/2 的XXZD模型的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度 ξ和漲落F是截?cái)嗑S數(shù) χ 的函數(shù).其中,參數(shù)D=0Fig.3.Correlation length ξ and fluctuation F of spin S=1/2 XXZD model as a function of the truncation dimension χ for various parameters Δ .Here,fixed parameter D=0 .

固定各向異性參數(shù)D=0 ,改變各向異性參數(shù)Δ在 [ 0,1]的范圍內(nèi),如圖3所示.如圖3(左)所示,通過執(zhí)行擬合函數(shù)ξ～aχκ,分別得到不同參數(shù)Δ對(duì)應(yīng)的有限糾纏標(biāo)度指數(shù)κ: 其中(a)a=1.11,κ=1.359 ,參數(shù)Δ=0;(b)a=1.206 ,κ=1.316 ,參數(shù)Δ=0.25;(c)a=0.9428 ,κ=1.331 ,參數(shù)Δ=0.5;(d)a=0.6996 ,κ=1.356 ,參數(shù)Δ=0.75;(e)a=0.863 ,κ=1.271 ,參數(shù)Δ=1 .然后,根 據(jù)粒子數(shù)守恒的二分漲落的定義計(jì)算出漲落的大小,再通過漲落與系統(tǒng)尺寸之間存在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)度關(guān)系執(zhí)行擬合,如圖3所示,擬合函數(shù)得到如下的擬合結(jié)果:(a)Kκ/(2π2)=0.06878 ,b=0.1259 ,參數(shù)Δ=0;(b)Kκ/(2π2)=0.05707,b=0.1296,參數(shù)Δ=0.25;(c)Kκ/(2π2)=0.05077,b=0.1193,參數(shù)Δ=0.5;(d)Kκ/(2π2)=0.04436,b=0.1114 ,參數(shù)Δ=0.75;(e)Kκ/(2π2)=0.03347,b=0.1193 ,參數(shù)Δ=1 .由此,可以數(shù)值提取出自旋S=1/2 的XXZ模型在臨界區(qū)內(nèi)的Luttinger液體參數(shù)K,如表1所示.同時(shí),表1也給出了Luttinger液體參數(shù)K的精確解以及相對(duì)誤差.

表1 自旋 S=1/2的 XXZD模型在臨界區(qū)的Luttinger液體參數(shù)K,其中參數(shù)D=0Table 1. Estimates for Luttinger liquid parameter K in the critical phase of spin S=1/2 XXZD model with the parameter D=0.

從表1可以看出,我們的計(jì)算結(jié)果和精確解符合得很好,在參數(shù)Δ=1 時(shí),本文得到的結(jié)果與精確解的相對(duì)誤差小于 4 % ,其他參數(shù)點(diǎn)得到的結(jié)果與精確解相比相對(duì)誤差均小于 1 % ,這表明用U(1)對(duì)稱的iMPS算法提取Luttinger液體參數(shù)K是可行的.

3.2 自旋S=1的XXZD模型

為了檢驗(yàn)這個(gè)提取Luttinger液體參數(shù)方法的可靠性,研究了自旋S=1 的XXZD模型.自旋S=1的XXZ模型加入單粒子各向異性參數(shù)D后,這個(gè)模型呈現(xiàn)出了一個(gè)豐富的相圖[22].其基態(tài)相圖包含 H aldane 相、l arge-D相、兩個(gè)XY(XY1,XY2 相、鐵磁相和N eel 相.每?jī)蓚€(gè)相之間發(fā)生了各種類型的相變,如在 H aldane和l arge-D相之間發(fā)生的是從有能隙到有能隙的高斯相變;XY相和Haldane 相、l arge-D相之間發(fā)生的是有能隙到無能隙的BKT相變等.

在XY2相中,當(dāng)參數(shù)D≤-2時(shí),自旋S=1的XXZD模型可被映射到一個(gè)有效的1/2的XXZ自旋鏈:

其中=4Δ|D|+1 ,是自旋-1/2的算符.我們?cè)赬Y2相中選取一點(diǎn)(Δ=-0.05,D=-5 ),利用U(1)對(duì)稱的iMPS的算法提取出了Luttinger液體參數(shù)K=0.991 .通過關(guān)系式=4Δ|D|+1 ,這個(gè)參數(shù)點(diǎn)可以被映射到自旋1/2的精確可解的XXZ模型,其對(duì)應(yīng)的參數(shù)點(diǎn)就是=0 ,該點(diǎn)處的Luttinger液體參數(shù)是K=1 .利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法得到的Luttinger液體參數(shù)K與精確解的相對(duì)誤差是0.1%.在參考文獻(xiàn)[18]中DMRG在這一點(diǎn)上給出的數(shù)值結(jié)果是K=0.9976±0.0004,我們的計(jì)算結(jié)果與DMRG數(shù)值結(jié)果的相對(duì)誤差小于1%.通過與精確解以及DMRG數(shù)值結(jié)果的比較,表明我們的計(jì)算結(jié)果是可靠的.

此外,利用U(1)對(duì)稱的算法也研究了其他一些參數(shù)點(diǎn)的Luttinger液體參數(shù)K.圖4給出了自旋為1的XXZD模型的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度和二分漲落分別對(duì)不同的參數(shù)D,它們是截?cái)嗑S數(shù)χ的函數(shù).在這里,固定參數(shù)Δ=-0.5,改變參數(shù)D在[—0.3,0.6]范圍內(nèi),也即是從XY2相到XY1相變化.如圖4(左)所示,我們分別執(zhí)行擬合ξ～aχκ對(duì)不同的參數(shù)D,得到κ的擬合結(jié)果如下:(a)a=1.173,κ=1.273,參數(shù)D=-0.3;(b)a=0.9994,κ=1.321,參數(shù)D=0;(c)a=1.106,κ=1.291,參數(shù)D=0.3;(d)a=1.095,κ=1.287 ,參數(shù)D=0.5;(e)a=1.075,κ=1.287 ,參數(shù)D=0.6.圖4(右)所示為分別執(zhí)行擬合對(duì)不同的參數(shù)D,從而得到的擬合結(jié)果:(a)Kκ/(2π2)=0.2171 ,b=0.2609 ,參數(shù)D=-0.3;(b)Kκ/(2π2)=0.2093 ,b=0.1787 ,參數(shù)D=0;(c)Kκ/(2π2)=0.1755 ,b=0.207 ,參數(shù)D=0.3;(d)Kκ/(2π2)=0.1573 ,b=0.2078 ,參數(shù)D=0.5;(e)Kκ/(2π2)=0.1483 ,b=0.199 ,參數(shù)D=0.6 .結(jié)合上面的擬合結(jié)果可以得到不同控制參量D對(duì)應(yīng)的Luttinger液體參數(shù)K,如表2所示.

圖4 在不同控制參量條件下,自旋 S=1 的XXZD模型的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度 ξ和漲落F是截?cái)嗑S數(shù) χ 的函數(shù).其中,各向異性參數(shù)Δ=-0.5Fig.4.Correlation length ξ and fluctuation F of spin S=1 XXZD model as a function of the truncation dimension χ for various parameters D.Here,fixed anisotropic parameter Δ=-0.5 .

圖5 在不同控制參量條件下,自旋 S=2 的XXZD模型的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度 ξ和漲落F是截?cái)嗑S數(shù) χ 的函數(shù).其中,參數(shù)D=1.5Fig.5.Correlation length ξ and fluctuation F of spin S=2 XXZD model as a function of the truncation dimension χ for various parameters Δ .Here,fixed parameter D=1.5 .

表2 自旋 S=1 的XXZD模型在臨界區(qū)的Luttinger液體參數(shù)K,固定參數(shù)Δ=-0.5Table 2. Estimates for Luttinger liquid parameter K in the critical phase of spin S=1 XXZD model with the parameter Δ=-0.5 .

表2給出的結(jié)果是在參數(shù)D＞-2 的區(qū)域,這個(gè)區(qū)域內(nèi)的參數(shù)點(diǎn)不能夠被映射到自旋1/2的XXZ模型,其對(duì)應(yīng)的Luttinger液體參數(shù)K也就沒有精確解.文獻(xiàn)[18]中,DMRG給出的Luttinger液體參數(shù)K=3.086±0.002 在參數(shù)點(diǎn)(Δ=-0.5 ,D=0 )處,其中DMRG方法保存了 4 00 個(gè)態(tài).在這個(gè)參數(shù)點(diǎn)上,表2給出的Luttinger液體參數(shù)K的結(jié)果與DMRG數(shù)值結(jié)果的相對(duì)誤差小于 2% .通過對(duì)參數(shù)點(diǎn)(Δ=-0.05 ,D=-5 )和(Δ=-0.5 ,D=0),得到的數(shù)值結(jié)果分別與精確解和DMRG數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,相對(duì)誤差均小于 2 % .從而表明利用U(1)對(duì) 稱的iMPS的方法提取自旋S=1 的XXZD模型在其他參數(shù)點(diǎn)處的Luttinger液體參數(shù)K的結(jié)果也是可靠的.此外,由表2也可以看出在此臨界區(qū)內(nèi)隨著參數(shù)D的增加,Luttinger液體參數(shù)K是逐漸減小的.

3.3 自旋S=2的XXZD模型

此外,我們還研究了S=2 的量子XXZD自旋鏈.對(duì)于自旋S=2 的量子XXZD模型,目前還很少被研究,整個(gè)參數(shù)下的基態(tài)相圖還不是很清楚.文獻(xiàn) [23]基于 DMRG的算法給出了Δ≥0和D≥0 參數(shù)下的基態(tài)相圖.其基態(tài)相圖包括:XY相、e ven-Haldane 相和反鐵磁相.圖5分別給出了不同控制參量下自旋為2的XXZD模型的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度和二分漲落,它們是截?cái)嗑S數(shù)χ的函數(shù).其中固定參數(shù)D=1.5 ,在XY相中改變參數(shù)Δ.圖5(左)給出了關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度與截?cái)嗑S數(shù)χ之間的關(guān)系.根據(jù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合方程ξ～aχκ,得到不同參數(shù)Δ對(duì)應(yīng)的有限糾纏標(biāo)度指數(shù)κ的數(shù)值結(jié)果分別是:(a)a=0.6438,κ=1.298 ,參數(shù)Δ=0.4;(b)a=0.6199 ,κ=1.277 ,參數(shù)Δ=0.8;(c)a=0.5916,κ=1.273 ,參數(shù)Δ=1;(d)a=0.5316 ,κ=1.286 ,參數(shù)Δ=1.2;(e)a=0.458 ,κ=1.284 ,參數(shù)Δ=1.6 .圖5(右)分別給出不同控制參量Δ對(duì)應(yīng)的二分漲落與截?cái)嗑S數(shù)之間的關(guān)系.二分漲落類似于糾纏熵在臨界處與截?cái)嗑S數(shù)有一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)度關(guān)系F～通過這個(gè)標(biāo)度關(guān)系得到數(shù)值擬合結(jié)果 是:(a)Kκ/(2π2)=0.1771 ,b=0.2 ,參數(shù)Δ=0.4;(b)Kκ/(2π2)=0.1632 ,b=0.2126 ,參數(shù)Δ=0.8;(c)Kκ/(2π2)=0.1554 ,b=0.2261 ,參數(shù)Δ=1;(d)Kκ/(2π2)=0.1534,b=0.2202,參數(shù)Δ=1.2;(e)Kκ/(2π2)=0.1373,b=0.2571,參數(shù)Δ=1.6 .由此,得到自旋S=2 的 XXZD模型在XY相中的Luttinger液體參數(shù)K,如表3所示.

表3 自旋S=2的XXZD模型在臨界區(qū)的Luttinger液體參數(shù)K,固定參數(shù)D=1.5Table 3. Estimates for Luttinger liquid parameter K in the critical phase of spin S=2 XXZD model with the parameter D=1.5 .

前面已利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法提取了自旋S=1/2和S=1 的 XXZD模型的 Luttinger液體參數(shù)K,并且將所得結(jié)果分別與精確結(jié)果和現(xiàn)有DMRG結(jié)果進(jìn)行了比較,其相對(duì)誤差均小于 4% .這充分說明了利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法提取Luttinger液體參數(shù)K是可行的.因此,利用此方法提取出的Luttinger液體參數(shù)K如表3所示的結(jié)果是可靠的.

本文對(duì)各向異性量子XXZD模型的研究表明:當(dāng)系統(tǒng)具有U(1)對(duì) 稱性時(shí),利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法可以準(zhǔn)確提取出無能隙相中的Luttinger液體參數(shù)K.

4 總 結(jié)

本文將U(1)對(duì)稱性應(yīng)用到iMPS的算法中,優(yōu)化了之前的張量網(wǎng)絡(luò)算法,提高了計(jì)算效率,并根據(jù)粒子數(shù)守恒定義了二分量子漲落.二分量子漲落在臨界點(diǎn)處有類似于糾纏熵的標(biāo)度行為,與系統(tǒng)尺寸有對(duì)數(shù)函數(shù)的標(biāo)度關(guān)系,其擬合系數(shù)是Luttinger液體參數(shù)K與有限糾纏標(biāo)度指數(shù)κ的乘積.為了提取Luttinger液體參數(shù)K我們分別研究了S=1/2,1,2 的量子XXZD自旋鏈.首先,利用U(1)對(duì)稱的無限矩陣乘積態(tài)算法(iMPS)得到在Luttinger液體相中的基態(tài)波函數(shù).其次,利用關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度與截?cái)嗑S數(shù)的關(guān)系以及二分漲落與截?cái)嗑S數(shù)的關(guān)系提取出了各向異性XXZD自旋鏈在臨界區(qū)域內(nèi)的Luttinger液體參數(shù)K.對(duì)于自旋S=1/2的情況,固定參數(shù)D=0 ,此時(shí)考慮的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)著XXZ模型.在XY相中Luttinger液體參數(shù)是精確可解的,提取出的數(shù)值結(jié)果與精確解符合得很好,相對(duì)誤差小于 4 % .對(duì)于自旋S=1 的情況,量子XXZD模型具有一個(gè)豐富的基態(tài)相圖.X Y 相包含XY1和X Y2 相,在 X Y2 相中,當(dāng)D≤-2 時(shí),這個(gè)模型可以被映射到一個(gè)自旋1/2的XXZ自旋鏈.本文計(jì)算了參數(shù)點(diǎn)(Δ=-0.05,D=-5 )處的Luttinger液體參數(shù)K=0.991 .把這個(gè)點(diǎn)映射到自旋1/2的XXZ模型其對(duì)應(yīng)的精確Luttinger液體參數(shù)K=1 ,而DMRG方法給出的結(jié)果是K=0.9976±0.0004.在這個(gè)參數(shù)點(diǎn)上計(jì)算的結(jié)果分別與精確解和DMRG的結(jié)果進(jìn)行了比較,相對(duì)誤差均小于 1 % .在參數(shù)點(diǎn)(Δ=-0.5,D=0 )處,得到的結(jié)果和DMRG的結(jié)果相比相對(duì)誤差小于 2% .此外,固定參數(shù)Δ=-0.5 ,改變參數(shù)D,計(jì)算了在XY相中的其他一些點(diǎn)的Luttinger液體參數(shù)K.最后,還計(jì)算了自旋為S=2 的量子XXZD模型在一定參數(shù)下對(duì)應(yīng)的Luttinger液體參數(shù)K.研究結(jié)果表明: 當(dāng)系統(tǒng)具有U(1)對(duì) 稱性時(shí),利用U(1)對(duì)稱的iMPS的方法可以提取無能隙相中的Luttinger液體參數(shù)K,這為提取Luttinger液體參數(shù)K提供一種新的思路和研究方法.