孫 泰

(北京豐臺二中 100071)

導(dǎo)數(shù)大題是新課標(biāo)卷的壓軸大作，教學(xué)中如何突破這道難關(guān)？現(xiàn)實(shí)中，歸類題型的“套路”派和借用高等數(shù)學(xué)公式、定理的“高觀點(diǎn)”派教學(xué)方式較為普遍，取得一定的效果，但都遇到了瓶頸，甚至埋下了隱患. 本文以2017年新課標(biāo)Ⅰ導(dǎo)數(shù)題為例，談?wù)勛约旱南敕?，與大家交流學(xué)習(xí)，旨為高三解題教學(xué)做一些探索.

1 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

2 策略剖析

“對于任何學(xué)科的教學(xué)，最終都應(yīng)當(dāng)把培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科直觀作為重要的價(jià)值取向”[1]，史寧中先生這段話指明了解題教學(xué)的重要方向，那就是解決數(shù)學(xué)問題始于直觀，終于理念.

策略1幾何直觀探方向，代數(shù)直觀妙解題

由(Ⅰ)當(dāng)a≤0時，f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，從幾何直觀的角度分析函數(shù)圖象下降，不可能與x軸有兩個交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)不會存在兩個零點(diǎn).

所以要使f(x)有兩個零點(diǎn)，必有0

分析f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0=ae2x0+aex0+(-2)ex0-x0，代數(shù)直觀，從組成解析式每部分的值的正負(fù)入手，其中含參數(shù)部分ae2x0+aex0>0，不含參數(shù)部分(-2)ex0<0，-x0>0，只需要找到超越不等式(-2)ex0-x0≥0的一個解，又0-2-x0=0，轉(zhuǎn)化超越不等式存在解問題為一次方程的根的問題，得x0=-2.至此洞悉標(biāo)準(zhǔn)答案背后的秘密，得來全不費(fèi)工夫.

直觀感知圖象趨勢，x→+∞時，ae2x→+∞,(a-2)ex→-∞,-x→-∞，不易判斷f(x)的符號，遇到困難.

如何找到呢？

代數(shù)直觀，簡化函數(shù)，難點(diǎn)在于函數(shù)解析式由超越指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)組合而成，不好處理，利用ex>x(x>0)放縮為可解方程，統(tǒng)一為超越形式

f(x0)=ae2x0+(a-2)ex0-x0

>ae2x0+(a-2)ex0-ex0

策略2代數(shù)直觀巧變換，幾何直觀助解題.

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x零點(diǎn)問題的代數(shù)變換方向有：

令h(x)=1-x-ex，

則h′(x)=-1-ex<0，又h(0)=0，

當(dāng)x∈(-∞,0),h(x)>0；

當(dāng)x∈(0,+∞),h(x)<0.

所以g(x)max=g(0)=1.

直觀感知圖象趨勢，x→-∞時，ex→0,x→-∞，因此g(x)→-∞；x→+∞時，e2x→+∞,ex→+∞,x→+∞，不能直接判斷，要么函數(shù)變形

h′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)，h′(x)<0，

分析函數(shù)g(x)=a(ex+1)的圖象，參數(shù)a的幾何意義是由函數(shù)y=ex+1到g(x)=a(ex+1)的伸縮變換系數(shù).

如圖，當(dāng)a=0時及a<0時，圖象直觀看得清楚，代數(shù)論證也不困難.

當(dāng)a>0時，從幾何直觀開始.

當(dāng)0

先證明函數(shù)g(x)與h(x)圖象在(-∞,0)上有一個交點(diǎn).

至此得到函數(shù)g(x)與h(x)圖象在(-∞,0)上有一個交點(diǎn).嚴(yán)謹(jǐn)嗎？正確嗎？對于一般函數(shù)g(x)與h(x)在(-∞,0)上都是增函數(shù)，這個我們借助直觀而運(yùn)用的“定理”對嗎？當(dāng)g(x)=x且h(x)=x+sinx發(fā)現(xiàn)這個“定理”不正確.此題觀察圖象會發(fā)現(xiàn)函數(shù)g(x)與h(x)圖象一凸一凹，遞增的速度一快一慢，直觀應(yīng)當(dāng)正確，如何表述明白呢？建模構(gòu)造差函數(shù)，研究單調(diào)性質(zhì)，利用零點(diǎn)判定定理可以論證的清清楚楚了.

再證明函數(shù)g(x)與h(x)圖象在(0,+∞)上有一個交點(diǎn).

先從幾何直觀出發(fā)，借助圖象尋找那個困難的x0>0且g(x0)-h(x0)>0，

由于不知道差函數(shù)的單調(diào)特征，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明還要構(gòu)造差函數(shù)研究.

變換3.設(shè)t=ex，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x零點(diǎn)個數(shù)問題等價(jià)于g(t)=at2+(a-2)t-lnt的零點(diǎn)個數(shù)問題，換元法，實(shí)現(xiàn)函數(shù)結(jié)構(gòu)的變換，成功與否的關(guān)鍵是變換后的函數(shù)是否簡單、熟悉了.

換元后的函數(shù)由二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)組成，研究函數(shù)g(t)=at2+(a-2)t-lnt,

當(dāng)a≤0，g′(t)<0，則g(t)單調(diào)遞減；

換元后函數(shù)g(t)由二次型函數(shù)和對數(shù)函數(shù)構(gòu)成，一動一靜凸凹有別，導(dǎo)函數(shù)熟悉、親切.

對于此函數(shù)同上面函數(shù)類型相似的變換，得到一系列解決方法，不贅述.

3 教學(xué)啟示

3.1 回歸教材，筑牢根基，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)

課本是試題的根本來源，高考試題題在卷面上，根在課本內(nèi)，高考命題原則是：考查基礎(chǔ)，立足穩(wěn)定的基礎(chǔ)上創(chuàng)新，那么靠什么保證基礎(chǔ)，靠什么決定穩(wěn)定，不是試題不變，題型不變，而是課本，課本中不僅有穩(wěn)定的知識，經(jīng)典的方法，引申的結(jié)論，同時蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法.回歸課本，不是拘泥于課本，單一的回顧知識、方法，而是站在整體的高度詮釋系統(tǒng)的知識，讓不同的知識交匯，建構(gòu)起知識的立體網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生思維騁馳在四通八達(dá)的立體高速公路上，最終到達(dá)數(shù)學(xué)的巔峰.

3.2 深化思想，提高能力，優(yōu)化思維品質(zhì)

教學(xué)重視知識、技能、方法的同時，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想、經(jīng)歷數(shù)學(xué)的思維分析、解決數(shù)學(xué)問題過程，以數(shù)學(xué)思想為魂，統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí)，這樣才能參透通性通法，而不是陷入同型同法的簡單重復(fù)和模仿，解題僵化，縱使刷題無數(shù)，遇到新問題，還是遭遇無法解決的囧地.如在函數(shù)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程、數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化化歸思想和極限思想的運(yùn)用，加強(qiáng)空間想象能力、抽象概括能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、推理論證能力和分析問題解決問題能力的提升，加強(qiáng)形象思維、抽象思維(形式思維和辯證思維)、直覺思維和創(chuàng)造思維培養(yǎng).

3.3 落實(shí)素養(yǎng)，積累經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建深度學(xué)習(xí)

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本涵義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過教學(xué)活動幫助學(xué)生學(xué)會思維，并能使他們逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理. 不可忽視教學(xué)活動中，不斷積累、濃縮、升華基本活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)既有形象性、可視性又有整體性的數(shù)學(xué)直觀(幾何直觀、代數(shù)直觀)，形成直觀—抽象—推理—直觀的螺旋發(fā)展模式，真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí). 而現(xiàn)實(shí)教學(xué)，解題中遇到難以突破的關(guān)口，諸如套用題型“通性通法”，蒙混過關(guān)，借用高等數(shù)學(xué)公式、定理工具，表面完美解決，實(shí)則不解其意，這樣的教學(xué)，以分?jǐn)?shù)為目標(biāo)，到頭來終是難得高分，更可惜的是斷送學(xué)生面對思維受阻，山窮水復(fù)疑無路，不斷探索，攻堅(jiān)克難百折不撓后，柳暗花明又一村的寶貴心路體驗(yàn)，養(yǎng)成追求簡捷與形式優(yōu)美的思維方式和行為習(xí)慣的機(jī)會.

4 結(jié)束語

著名數(shù)學(xué)家柯朗在《什么是數(shù)學(xué)》一書開篇寫道：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非? 它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個別性，雖然不同的傳統(tǒng)強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用以及它們綜合起來的努力才構(gòu)成了數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、用途和它的崇高價(jià)值”，這段激蕩人心的文字啟示我們展示數(shù)學(xué)基本要素和人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非蟮臄?shù)學(xué)教學(xué)，不僅是高效的教學(xué)，更是愉悅我們心智的精神饕餮，學(xué)會思考的教學(xué)才最有價(jià)值.