袁 超，張慧梅，孟祥振，楊更社，吳祿源

內(nèi)摩擦角對凍融巖石損傷本構(gòu)模型的影響探討

袁 超1，張慧梅2，孟祥振1，楊更社1，吳祿源3

(1. 西安科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，陜西 西安 710054；2. 西安科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710054；3. 中國礦業(yè)大學(xué)深部巖土與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221116)

基于Weibull隨機(jī)分布和損傷力學(xué)理論，從巖石變形全過程的特點(diǎn)入手，選用Drucker-Prager準(zhǔn)則，建立能反映凍融巖石各變形階段特征的損傷本構(gòu)模型。通過凍融砂巖常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，運(yùn)用Mohr應(yīng)力圓，獲得不同凍融循環(huán)次數(shù)下砂巖的黏聚力和內(nèi)摩擦角；由模型理論曲線與凍融砂巖試驗(yàn)曲線對比分析，驗(yàn)證模型的合理性；通過變動內(nèi)摩擦角，分析摩擦角對模型是否存在影響。結(jié)果表明：基于Drucker-Prager準(zhǔn)則獲得的理論曲線與試驗(yàn)曲線吻合較好，驗(yàn)證了模型的合理性；內(nèi)摩擦角對分布變量的影響較大，且是線性關(guān)系，但對損傷本構(gòu)模型沒有影響或影響不大。研究成果對巖石本構(gòu)關(guān)系的建立有較好的參考價(jià)值。

Drucker-Prager準(zhǔn)則；損傷本構(gòu)模型；黏聚力；內(nèi)摩擦角；凍融實(shí)驗(yàn)

自然界巖石隨著自身所處應(yīng)力場及其他環(huán)境的變化而變化，其內(nèi)部或多或少地出現(xiàn)損傷，利用損傷理論來研究含有缺陷的巖石材料，已被認(rèn)為是最有效的研究方法之一。

目前，對巖石應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的描述成果眾多。單因素情況下，韓建新等[1]基于巖體強(qiáng)度參數(shù)隨最大塑性主應(yīng)變的增加而逐漸演化這一力學(xué)行為，采用廣義Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則，通過理論推導(dǎo)給出巖體應(yīng)變軟化行為模型；黃海峰等[2]為了反映巖石應(yīng)變軟化現(xiàn)象，基于Weibull隨機(jī)分布，假定巖石微元強(qiáng)度服從Drucker-Prager準(zhǔn)則，結(jié)合連續(xù)損傷理論，建立巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化模型；張德等[3]通過引入修正Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則來描述凍土微元強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則，假設(shè)微元強(qiáng)度服從Weibull隨機(jī)分布，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)和連續(xù)損傷力學(xué)理論，建立能反映破損全過程的損傷本構(gòu)模型；王蘇生等[4]基于Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則以及巖石微元強(qiáng)度服從Weibull函數(shù)隨機(jī)分布假設(shè)，構(gòu)建了統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型；房智恒[5]在Mohr-Coulomb準(zhǔn)則及巖石微元強(qiáng)度服從對數(shù)正態(tài)隨機(jī)分布的基礎(chǔ)上，結(jié)合巖石三軸應(yīng)力應(yīng)變試驗(yàn)曲線，建立了能反應(yīng)巖石破裂全過程的三維損傷本構(gòu)模型；熊良宵等[6]簡述了Mohr- Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則、拋物線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則和雙曲線型Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則，并采用3種高應(yīng)力下巖石的真三軸試驗(yàn)結(jié)果對這3種強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行對比分析；LI Xiang等[7]、CHEN Xin等[8]通過引進(jìn)巖石微元強(qiáng)度，利用其服從隨機(jī)分布并根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價(jià)原理，建立了能反映巖石應(yīng)變軟化過程的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型。多因素情況下，虞松濤等[9]、張慧梅等[10]基于統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論及損傷力學(xué)原理，分別以Hoek-Brown準(zhǔn)則和Mises準(zhǔn)則為巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，構(gòu)建考慮溫度與荷載共同作用的巖石損傷演化；ZHOU Shuwei等[11]、HUANG Shibing等[12]和張慧梅等[13]采用靜態(tài)彈性模量法對巖石凍融損傷進(jìn)行了表征，以Drucker-Prager準(zhǔn)則為巖石強(qiáng)度準(zhǔn)則，并假設(shè)微單元強(qiáng)度滿足Weibull分布，通過統(tǒng)計(jì)理論得到加載損傷，在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出凍融和載荷作用下的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)方程。

對以上巖石損傷本構(gòu)模型中微元強(qiáng)度準(zhǔn)則的選取主要有Drucker-Prager準(zhǔn)則、Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Mises準(zhǔn)則及Hoek-Brown準(zhǔn)則，而Hoek-Brown是一種經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則；Mises準(zhǔn)則則是Drucker-Prager準(zhǔn)則簡化形式；Mohr-Coulomb準(zhǔn)則相對較為保守。在各種準(zhǔn)則之中，大多涉及到內(nèi)摩擦角及黏聚力等參數(shù)的確定，內(nèi)摩擦角及黏聚力的準(zhǔn)確性確定，影響準(zhǔn)則的正確性，從而可能影響到損傷本構(gòu)模型的合理性；以往本構(gòu)模型并沒有對內(nèi)摩擦角等參數(shù)進(jìn)行探討?；诖?，筆者基于Weibull分布和損傷力學(xué)理論，選用Drucker-Prager準(zhǔn)則，通過設(shè)定不同內(nèi)摩擦角，應(yīng)用于巖石微元強(qiáng)度準(zhǔn)則，進(jìn)而分析內(nèi)摩擦角對凍融巖石損傷本構(gòu)模型的影響。

1 凍融巖石受荷微元強(qiáng)度的度量

根據(jù)巖石在細(xì)觀結(jié)構(gòu)上的非均質(zhì)性，其內(nèi)部微元體力學(xué)性質(zhì)的分布具有隨機(jī)性，巖石未損傷部分連續(xù)加載時(shí)，導(dǎo)致其內(nèi)部受荷損傷也是一個連續(xù)過程，當(dāng)假定巖石微元強(qiáng)度服從Weibull隨機(jī)分布時(shí)，受荷損傷變量d可表示為：

式中為巖石微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量；0、為模型參數(shù)。

巖石受荷損傷變量能否更好地反映一定條件下巖石的損傷變形特征，其關(guān)鍵之處在于巖石微元強(qiáng)度的合理度量。

為此，假定凍融巖石受荷時(shí)微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量服從Drucker-Prager準(zhǔn)則，則可表示為：

2 本構(gòu)模型及其模型參數(shù)的確定

2.1 本構(gòu)模型的建立

巖石應(yīng)變軟化變形全過程可分為壓密、線彈性、塑性硬化變形、應(yīng)變軟化、完全破壞5個階段，因此，在建立巖石損傷模型時(shí)要充分考慮巖石上述各個階段的變形特征。首先作如下假設(shè)：

①巖石內(nèi)部的微元破壞，其力學(xué)性質(zhì)在宏觀上為各向同性。

③未損傷部分服從廣義胡克定律，并依據(jù)巖石物理參數(shù)泊松比的意義以及巖石各部分的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，等圍壓下可得：

基于上述假定，通過巖石各部分微觀受力與幾何條件分析可得：

式中、1、2分別為巖石總面積、未損傷面積和損傷面積，因此=1+2，其中損傷面積由凍融損傷面積n和受荷損傷面積d組成。

巖石微元破壞損傷是由凍融損傷、受荷損傷兩部分組成，此時(shí)定義巖石凍融、受荷總損傷變量表達(dá)式為：

單獨(dú)從巖石面積方面考慮，凍融損傷變量n可定義為凍融損傷面積與整體面積的比值；受荷損傷變量d可定義為受荷損傷面積與去除凍融損傷面積后整體面積(–n)的比值，因此可得：

由式(7)—式(8)并結(jié)合②、③假定可得軸向方向的損傷本構(gòu)模型：

2.2 模型參數(shù)的確定

將式(1)、式(8)代入式(9)可得：

將該條件代入式(10)得模型參數(shù)的一個表達(dá)式：

同時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變峰值點(diǎn)處還應(yīng)該滿足條件

將該條件應(yīng)用于式(10)可得模型參數(shù)的另一個表達(dá)式：

本文假定了凍融巖石受荷時(shí)微元強(qiáng)度隨機(jī)分布變量服從Drucker-Prager準(zhǔn)則，結(jié)合②、③假定，可得：

因此，由式(13)可得：

聯(lián)立式(11)、式(12)、式(14)可確定模型參數(shù)和0，即：

3 計(jì)算實(shí)例與討論

為了探討內(nèi)摩擦角對巖石損傷本構(gòu)模型是否有影響，先進(jìn)行了紅砂巖凍融循環(huán)實(shí)驗(yàn)和常規(guī)三軸壓縮力學(xué)特性試驗(yàn)。試驗(yàn)先將紅砂巖加工成直徑50 mm、高100 mm的圓柱體試樣，并對試件進(jìn)行注水達(dá)到真空飽和；凍融循環(huán)溫度為–20~20℃，對飽和試樣進(jìn)行凍融0次、5次、10次、20次及40次實(shí)驗(yàn)，之后對紅砂巖進(jìn)行圍壓0 MPa、2 MPa及4 MPa三軸壓縮試驗(yàn)。試驗(yàn)得到了不同圍壓及不同凍融作用下巖石的力學(xué)參數(shù)，如表1所示。

將式(13)、式(15)、式(16)代入式(10)之后，利用表1和表2試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得基于Drucker-Prager準(zhǔn)則凍融受荷巖石本構(gòu)模型理論曲線，如圖1所示，以此來證明基于Drucker-Prager準(zhǔn)則建立的模型合理性。由圖1可知，基于Drucker-Prager準(zhǔn)則建立的模型獲得的理論曲線和試驗(yàn)曲線吻合較好，能夠較好的反映巖石各變形階段特征。

表1 不同凍融循環(huán)及圍壓下紅砂巖的力學(xué)參數(shù)

表2 不同凍融循環(huán)次數(shù)下的內(nèi)摩擦角和黏聚力

4 內(nèi)摩擦角的影響分析

將非凍融及凍融后砂巖內(nèi)摩擦角分別選取0°、45°、90°，分別獲得不同凍融循環(huán)情況下的分布變量曲線、不同圍壓和不同凍融循環(huán)次數(shù)與峰值點(diǎn)處分布變量值的關(guān)系曲線以及損傷本構(gòu)模型理論曲線，如圖2—圖5所示。由此可知：

圖2 內(nèi)摩擦角對分布變量F的影響

圖3 不同圍壓下內(nèi)摩擦角對分布變量值的影響(n=1)

a.內(nèi)摩擦角對分布變量的影響較大，且呈線性關(guān)系，同一應(yīng)變下，隨著內(nèi)摩擦角的增大，分布變量逐步增大，但增大的幅度有所減緩。

b.相同的內(nèi)摩擦角下，隨著圍壓的增大，峰值點(diǎn)處的分布變量值逐漸增大，但增大速率減緩；同一圍壓下，峰值點(diǎn)處的分布變量值隨著內(nèi)摩擦角的增大而增大，且增大速率減緩。說明了圍壓和內(nèi)摩擦角隨著自身的增大對分布變量值的影響度降低。

圖4 不同凍融循環(huán)下內(nèi)摩擦角對分布變量值的影響(σ3=2 MPa)

圖5 內(nèi)摩擦角對本構(gòu)模型的影響

c.相同的內(nèi)摩擦角下，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增大，峰值點(diǎn)處的分布變量值逐漸減小，曲線趨于平緩，說明凍融循環(huán)隨著次數(shù)的增大對分布變量值的影響度降低。

d.內(nèi)摩擦角的變動對基于Drucker-Prager準(zhǔn)則確定的損傷本構(gòu)模型沒有影響，或影響不大。因此，為了能夠建立更好的反映巖石變形破壞全過程的本構(gòu)模型，可自由選取內(nèi)摩擦角的取值，或不考慮內(nèi)摩擦角的影響。

5 結(jié)論

a.采用彈性模量對巖石凍融損傷進(jìn)行了表征，通過Drucker-Prager準(zhǔn)則來描述凍融巖石微元強(qiáng)度破壞，以此建立了能反映凍融巖石破損全過程的損傷本構(gòu)模型。由凍融砂巖常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)，運(yùn)用Mohr應(yīng)力圓，獲得不同凍融循環(huán)下砂巖的黏聚力和內(nèi)摩擦角；模型理論曲線與凍融砂巖試驗(yàn)曲線對比分析，基于Drucker-Prager準(zhǔn)則獲得的理論曲線與試驗(yàn)曲線吻合較好，驗(yàn)證了模型的合理性。

b.內(nèi)摩擦角對分布變量的影響較大，且是線性關(guān)系，同一應(yīng)變下，隨著內(nèi)摩擦角的增加，分布變量逐步增大，但增大的幅度有所減緩；相同的內(nèi)摩擦角下，圍壓及凍融循環(huán)對峰值點(diǎn)處的分布變量值的影響度隨自身的增加有所弱化。

c.探討了不同內(nèi)摩擦角對巖石損傷本構(gòu)模型的影響。內(nèi)摩擦角的變動對基于Drucker-Prager準(zhǔn)則確定的損傷本構(gòu)模型沒有影響，或影響不大。因此，為了能夠建立更好的反映巖石變形破壞全過程的本構(gòu)模型，可自由選取內(nèi)摩擦角的取值，或不考慮內(nèi)摩擦角。

[1] 韓建新，李術(shù)才，汪雷，等. 基于廣義Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則的巖體應(yīng)變軟化行為模型[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，44(11)：4702–4706. HAN Jianxin，LI Shucai，WANG Lei，et al. Model for strain- softening behavior of rock mass based on generalized Hoek- Brown strength criterion[J]. Journal of Central South University(Natural Science)，2013，44(11)：4702–4706.

[2] 黃海峰，巨能攀，藍(lán)康文，等. 巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化模型及其參數(shù)反演[J]. 長江科學(xué)院院報(bào)，2018，35(6)：102–106. HUANG Haifeng，JU Nengpan，LAN Kangwen，et al. Statistical damage softening model for rock and back analysis of its parameters[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2018，35(6)：102–106.

[3] 張德，劉恩龍，劉星炎，等. 基于修正Mohr–Coulomb屈服準(zhǔn)則的凍結(jié)砂土損傷本構(gòu)模型[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2018，37(4)：978–986. ZHANG De，LIU Enlong，LIU Xingyan，et al. A damage constitutive model for frozen sandy soils based on modified Mohr-Coulomb yield criterion[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2018，37(4)：978–986.

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[6] 熊良宵，虞利軍. 三種Mohr強(qiáng)度準(zhǔn)則的對比分析[J]. 長江科學(xué)院院報(bào)，2016，33(4)：81–85. XIONG Liangxiao，YU Lijun. Comparative study of three Mohr strength criteria[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2016，33(4)：81–85.

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[9] 虞松濤，鄧紅衛(wèi)，張亞南. 溫度與圍壓作用下的巖石損傷本構(gòu)關(guān)系研究[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2018，15(4)：893–901. YU Songtao，DENG Hongwei，ZHANG Yanan. The constitutive relationship of rock damage considering the effect of temperature and confining pressure[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2018，15(4)：893–901.

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[11] ZHOU Shuwei，XIA Caichu，ZHAO Haibin，et al. Statistical damage constitutive model for rocks subjected to cyclic stress and cyclic temperature[J]. Acta Geophysica，2017，65(5)：893–906.

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[13] 張慧梅，孟祥振，彭川，等. 巖石變形全過程凍融損傷模型及其參數(shù)[J]. 西安科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，38(2)：260–265. ZHANG Huimei，MENG Xiangzhen，PENG Chuan，et al. freeze-thaw damage model and parameters rock deformation in whole process[J]. Journal of Xi’an University of Science and Technology，2018，38(2)：260–265.

Influence of internal friction angle on damage constitutive model of freeze-thaw rock

YUAN Chao1, ZHANG Huimei2, MENG Xiangzhen1, YANG Gengshe1, WU Luyuan3

(1. College of Architecture and Civil Engineering, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China; 2. Department of Mechanics, Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054, China; 3. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China)

Based on Weibull random distribution and damage mechanics theory, starting from the characteristics of rock deformation process, the Drucker-Prager criterion was used to establish a damage constitutive model that can reflect the characteristics of rock various deformation stages. Through the conventional triaxial compression test of frozen-thawed sandstone, the Mohr stress circle was used to obtain the cohesion and internal friction angle of the sandstone under different freeze-thaw cycles. The model theoretical curve and the test curve of freeze-thaw sandstone were compared to verify the model rationality. By varying the internal friction angle, whether the friction angle has an effect on the model was analyzed. The results showed that the theoretical curve obtained by the Drucker-Prager criterion agreed well with the experimental curve, which verified the rationality of the model. The internal friction angle had big influence on the distribution variable and was linear, but had no effect on the damage constitutive model or had little effect. The research results have a good reference value for the establishment of rock constitutive relations.

Drucker-Prager criterion; damage constitutive model; cohesion; internal friction angle; freeze-thaw test

TU443

A

10.3969/j.issn.1001-1986.2019.04.021

1001-1986(2019)04-0138-06

2019-01-22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172232，51774231，11872299，41772333)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2018JQ4026)；中國礦業(yè)大學(xué)未來科學(xué)家“雙一流”計(jì)劃資助項(xiàng)目(2019WLKXJ076)

National Natural Science Foundation of China(11172232，51774231，11872299，41772333)；Natural Science Basic Research Plan of Shaanxi Province of China(2018JQ4026)；Future Scientists Program of “Double First Rate” of China University of Mining and Technology(2019WLKXJ076)

袁超，1989年生，男，陜西銅川人，博士，研究方向?yàn)閹r土力學(xué)與工程應(yīng)用. E-mail：yuanchao828@163.com

袁超，張慧梅，孟祥振，等. 內(nèi)摩擦角對凍融巖石損傷本構(gòu)模型的影響探討[J]. 煤田地質(zhì)與勘探，2019，47(4)：138–143.

YUAN Chao，ZHANG Huimei，MENG Xiangzhen，et al. Influence of internal friction angle on damage constitutive model of freeze-thaw rock[J]. Coal Geology & Exploration，2019，47(4)：138–143.

(責(zé)任編輯 周建軍)