黃穗

摘 要：集合論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，在幾乎所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有其身影。實(shí)變函數(shù)論在本科數(shù)學(xué)專業(yè)中對(duì)集合論的研究最為詳細(xì)，尤其是對(duì)集合基數(shù)的討論是其他專業(yè)課程沒有涉及的。正是在此問題中，我們看到了集合最本質(zhì)但是又與我們直覺最相悖的性質(zhì)結(jié)果，從而凸顯出數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與邏輯性。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù);集合;基數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.3;O174 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 收稿日期：2019-04-02 文章編號(hào)：1674-120X（2019）20-0107-02

集合論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。集合論主要研究的是集合的結(jié)構(gòu)、運(yùn)算及性質(zhì)。從Cantor在19 世紀(jì)七八十年代首先創(chuàng)立集合論后，經(jīng)過一百年的發(fā)展，其理論越來越完善，越來越嚴(yán)密。

一、集合論的表示

實(shí)變函數(shù)作為分析數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，仍然研究的是函數(shù)的三大分析性質(zhì)，包括函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性。在學(xué)習(xí)集合的表示中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這并不是一個(gè)基本而簡(jiǎn)單的問題。通過集合可以刻畫函數(shù)的有界性、極限的存在性、連續(xù)性。

在實(shí)變函數(shù)中，將集合的運(yùn)算從有限個(gè)集合推廣到無限個(gè)集合、任意個(gè)集合，其結(jié)果發(fā)生了質(zhì)的改變。

單調(diào)遞增的閉區(qū)間列的并集變成了一個(gè)開區(qū)間，而單調(diào)遞減的開區(qū)間列的交集變成了一個(gè)開區(qū)間。類似于數(shù)列的上、下極限，集合論中引入了集合列的上、下極限，進(jìn)一步定義了集合列的極限，并且得到了與單調(diào)有界數(shù)列有極限類似的結(jié)果：?jiǎn)握{(diào)集合列有極限。

例3 ： 如果是一列單調(diào)遞增的集合列，則。而可以看作是的“上確界”，也就是包含每個(gè)集合An的最小集合。

如果是一列單調(diào)遞增的集合列，則。而可以看作是的“下確界”，也就是包含在每個(gè)集合的最大集合。

這個(gè)結(jié)論是集合測(cè)度論的重要基礎(chǔ)之一。

二、集合基數(shù)

在對(duì)集合性質(zhì)的研究過程中，我們必須回答其中最為根本的問題：集合元素的個(gè)數(shù)。從有限集元素的個(gè)數(shù)到無限集的基數(shù)的比較，使學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)既是一個(gè)顛覆又是一個(gè)飛躍。在關(guān)于無限集基數(shù)的討論中，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在著與其基數(shù)相等的真子集。這種情況在有限集的情形下絕不可能發(fā)生，而這正是有限集與無限集最本質(zhì)的區(qū)別。自然數(shù)集與偶數(shù)集、奇數(shù)集的基數(shù)相同，那么意味著在偶數(shù)集中加入無限多個(gè)奇數(shù)后并沒有改變集合中元素的個(gè)數(shù)。這對(duì)學(xué)生的理解來說是一種沖擊，同時(shí)也意味著將有限數(shù)的加法推廣到無窮大的加法中，完全可能出現(xiàn)兩個(gè)相同的無窮大相加得到的仍是同一個(gè)無窮大。另外還有一個(gè)典型的例子：任何一個(gè)半圓周上的點(diǎn)與其直徑上的點(diǎn)個(gè)數(shù)一樣。而幾何知識(shí)告訴我們：兩點(diǎn)距離直線段最短。上例中半圓周的長(zhǎng)度顯然大于直徑。那么綜上兩個(gè)結(jié)果，我們可以得到一個(gè)結(jié)論：曲線的長(zhǎng)度與其上點(diǎn)的個(gè)數(shù)沒有必然的關(guān)系。這與我們的直覺相悖。我們的直觀感知會(huì)告訴我們：曲線的點(diǎn)越多，長(zhǎng)度越長(zhǎng)，反之亦然。

例4： 孤立點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度為零。

由這個(gè)結(jié)論可知，自然數(shù)集、整數(shù)集合、有理數(shù)點(diǎn)集這些經(jīng)典的可數(shù)集的測(cè)度為零，那么利用勒貝格測(cè)度的可加性可得，無理數(shù)集的測(cè)度跟整個(gè)實(shí)數(shù)集的測(cè)度相同。

例5： Cantor三分集的勒貝格測(cè)度為零。

Cantor三分集是一個(gè)完備集（無孤立點(diǎn)的閉集），是一個(gè)不可數(shù)集。通過其經(jīng)典構(gòu)造，我們可以證明這是一個(gè)不可數(shù)集，但是其測(cè)度仍然為零。

例6：? 區(qū)間[a，b]的勒貝格測(cè)度為b-a。

區(qū)間[a，b]是一個(gè)不可數(shù)集，其勒貝格測(cè)度與區(qū)間的長(zhǎng)度相同。

由以上兩個(gè)例題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)集合的基數(shù)與集合的長(zhǎng)度是兩個(gè)不同的問題，其間沒有必然的聯(lián)系。

三、集合論發(fā)展歷史

關(guān)于有限集基數(shù)，其性質(zhì)是顯而易見的，包括其子集的有限性。但是如何確定無限集的基數(shù)，用何種方式確定，這是一個(gè)問題。對(duì)無限集而言，其基數(shù)都是無窮大。對(duì)無窮大的研究討論直到20世紀(jì)四五十年代都充滿了爭(zhēng)議。在微積分建立并發(fā)展的兩百多年里，涉及無窮大的運(yùn)算時(shí)，數(shù)學(xué)家們都慎之又慎。關(guān)于無限集的研究，必然無法回避一個(gè)問題：兩個(gè)無限集的基數(shù)如何比較？這實(shí)際上是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，與數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。Cantor在建立樸素集合論時(shí)，就著眼于對(duì)無窮大的研究。他證明了實(shí)數(shù)的基數(shù)嚴(yán)格大于有理數(shù)的基數(shù)，這意味著實(shí)數(shù)中的無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，同樣的超越數(shù)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于代數(shù)數(shù)。而在當(dāng)時(shí)，人們只能寫出兩個(gè)代數(shù)數(shù)和。

雖然Cantor在研究過程中取得了眾多成果，但是在1900年左右，由數(shù)理邏輯學(xué)家羅素提出了著名的“理發(fā)師悖論”：如果在一個(gè)村子里，我們規(guī)定理發(fā)師只能給不會(huì)理發(fā)的人理發(fā)，那么請(qǐng)問誰來給理發(fā)師理發(fā)？我們來分析這個(gè)問題。如果把所有的人分為兩類：會(huì)理發(fā)的人即理發(fā)師、不會(huì)理發(fā)的人。按照問題的題設(shè)，理發(fā)師顯然不能給理發(fā)師理發(fā)，剩下的不會(huì)理發(fā)的人也不能給理發(fā)師理發(fā)。如果用集合的語言，我們將此問題刻畫為：

例7：設(shè)，請(qǐng)問：中哪種關(guān)系成立？

分析：如果設(shè)S∈S，按照S的定義，，矛盾。如果設(shè)，按照S的定義，S∈S，也矛盾。因此以上問題無解。

這個(gè)悖論揭示了集合論中關(guān)于集合的描述和元素與集合的屬于關(guān)系的刻畫存在著問題（自屬集與非自屬集）。這個(gè)漏洞使嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中，數(shù)學(xué)迎來了第三次危機(jī)。眾多數(shù)學(xué)家投入解決此問題的研究中。策梅羅（Zermelo）在1908年提出了公理化集合論。弗蘭克爾（Fraenkel）在策梅羅的基礎(chǔ)上，對(duì)公理化集合論加以完善和補(bǔ)充，嚴(yán)格化了Cantor建立的樸素集合論，改進(jìn)成我們現(xiàn)在使用的集合論——ZF公理系統(tǒng)（此系統(tǒng)實(shí)際上受到結(jié)構(gòu)主義邏輯學(xué)家的反對(duì)）。ZF公理系統(tǒng)包含了包括著名的選擇公理在內(nèi)的9個(gè)公理，首先對(duì)集合的表示進(jìn)行了嚴(yán)格要求，不能使用悖論中的集合表示。

Cantor以自然數(shù)集為參照系（究其原因是我們?cè)谟?jì)數(shù)的過程中，自然而然將自然數(shù)集與計(jì)數(shù)的事物作了一個(gè)一對(duì)一的映射），定義了可數(shù)集，得到一個(gè)基本結(jié)論：無限集中可數(shù)集的基數(shù)最小，進(jìn)一步討論了可數(shù)集的各種運(yùn)算性質(zhì)。如果設(shè)可數(shù)集的基數(shù)為a，則我們證明了na=a，an=a等結(jié)果，這與有限數(shù)的運(yùn)算截然不同。在可數(shù)集的基礎(chǔ)上定義了不可數(shù)集，實(shí)數(shù)集、區(qū)間等均是不可數(shù)集。如果從集合基數(shù)的角度出發(fā)，我們看到無窮大是不一樣大的。相比之前在數(shù)學(xué)分析、復(fù)分析中規(guī)定的關(guān)于無窮大的運(yùn)算，這使得利用集合的基數(shù)來刻畫的關(guān)于無窮的計(jì)算更具有直觀性，其邏輯推理也更嚴(yán)密。其中最為典型的例子是可數(shù)集的基數(shù)絕對(duì)小于不可數(shù)集的基數(shù)。這說明無窮大的大小比較與有限數(shù)的比較一樣，也就是說有且僅有大于、等于、小于中的一種關(guān)系。那么如何比較兩個(gè)無限集的基數(shù)大小呢？為解決這類問題，我們定義了集合的對(duì)等關(guān)系，建立集合與集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。直觀的解釋就是“一個(gè)蘿卜一個(gè)坑”，那么我們即使不知道“蘿卜”與“坑”的個(gè)數(shù)，也能推導(dǎo)出兩者的個(gè)數(shù)相同。從兩個(gè)集合對(duì)等的關(guān)系出發(fā)，如果對(duì)等，則基數(shù)相等;如不對(duì)等，則基數(shù)不等。然而要證明兩個(gè)集合對(duì)等，按照對(duì)等的定義需要作兩個(gè)集合之間的一個(gè)一一映射，這顯然不是一件容易的事，技巧性非常高。

例8： 證明長(zhǎng)度為1的區(qū)間與整條直線的基數(shù)是相同的。

另一個(gè)經(jīng)典的例題是通過投影將球面去掉一點(diǎn)后，剩下的點(diǎn)所成的集合與整個(gè)平面對(duì)等。以上兩個(gè)例題中關(guān)于映射的構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，僅用基本初等函數(shù)就能得到。這兩個(gè)例題實(shí)際上是有悖于我們的直覺的。直線上的一小段直線段所包含的點(diǎn)竟然與整條直線上的點(diǎn)是一樣多的。但是在公理系統(tǒng)的假設(shè)之下，通過嚴(yán)格的邏輯推導(dǎo)，其結(jié)果正如我們看到的，集合基數(shù)的大小與集合的大小也沒有必然的大小關(guān)系。

關(guān)于不可數(shù)集還有一個(gè)重要結(jié)論：沒有基數(shù)最大的集合。也就是說我們總是可以根據(jù)任何一個(gè)集合M，構(gòu)造出其冪集，其基數(shù)嚴(yán)格大于，這也說明沒有最大的無窮大，只有更大的無窮大。

四、集合論

實(shí)變函數(shù)關(guān)于集合論的研究中，除了從元素個(gè)數(shù)討論了集合的基本性質(zhì)，還從集合中點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系、點(diǎn)與集合的關(guān)系討論了集合的結(jié)構(gòu)。首先我們將歐氏距離抽象成一般的度量， 從而在集合上添加度量結(jié)構(gòu)，使其成為一般的度量空間。集合上有了度量以后，我們就可以類比歐式空間，由度量誘導(dǎo)出點(diǎn)的鄰域、點(diǎn)列的收斂、集合的有界性等概念。在這些概念的基礎(chǔ)上，按照點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與集合的關(guān)系，將集合中的點(diǎn)進(jìn)行分類，再根據(jù)集合中點(diǎn)的類型將開區(qū)間、閉區(qū)間的定義推廣成開集、閉集，討論它們的運(yùn)算性質(zhì)，并得到了直線上開、閉集的結(jié)構(gòu)。

五、結(jié)語

綜上所述，在集合論的教學(xué)中，會(huì)涉及在數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的關(guān)于點(diǎn)集的基本性質(zhì)及極限的理論及其思想方法，因此我們既要注重與已有的知識(shí)相結(jié)合，又需要在討論過程中進(jìn)行嚴(yán)密的推導(dǎo)。讓學(xué)生既感受到數(shù)學(xué)邏輯與抽象的美，又能夠接受新的知識(shí)、新的方法以及新的技巧，從中看到數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展進(jìn)程。

參考文獻(xiàn)：

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