吳士亮，仲 琴，張慶民

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210023)

1 引言

21世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)提速，一種通過因特網(wǎng)交付計(jì)算能力的新型業(yè)務(wù)模式-云服務(wù)得到快速發(fā)展[1-2]。按照該模式，服務(wù)提供商(以下簡稱廠商)將各類計(jì)算資源(如：網(wǎng)絡(luò)、服務(wù)器、存儲能力及應(yīng)用軟件等)進(jìn)行虛擬化處理，形成可動(dòng)態(tài)配置的共享資源池，進(jìn)而運(yùn)用市場機(jī)制向客戶銷售，客戶通過向廠商訂閱獲得計(jì)算資源使用權(quán)，利用各類客戶端對所訂閱資源進(jìn)行訪問。云服務(wù)模式采用基于訂閱的訪問許可，許可有效期通常較短(如按月、季度、年)，客戶需要向廠商按期訂閱并支付訂閱費(fèi)，這與傳統(tǒng)的購買軟件產(chǎn)品取得永久使用權(quán)的模式有顯著區(qū)別[3-4]。現(xiàn)實(shí)中，廠商出于對市場戰(zhàn)略及盈利需要，常常對訂閱價(jià)格進(jìn)行調(diào)整。顯然，如何確定訂閱價(jià)格是廠商面臨的一項(xiàng)重要決策。隨著云計(jì)算應(yīng)用深化，云服務(wù)定價(jià)作為一項(xiàng)重要課題，已引起廠商與學(xué)界關(guān)注[5-7]。

云服務(wù)具有2項(xiàng)突出特性：(1)云服務(wù)是訪問服務(wù)。客戶只有訪問計(jì)算資源才能實(shí)現(xiàn)價(jià)值，客戶價(jià)值與客戶的個(gè)性化訪問需求及價(jià)值轉(zhuǎn)化能力密切相關(guān)[8]。(2)計(jì)算資源虛擬化及托管性。虛擬化意味著計(jì)算資源可被變換、共享及傳遞，顯然云服務(wù)具有信息產(chǎn)品的典型特性，如：高研發(fā)成本、低邊際成本[9]。托管性指云基礎(chǔ)設(shè)施構(gòu)建、應(yīng)用運(yùn)行與維護(hù)工作轉(zhuǎn)移到廠商一方，通常由廠商全權(quán)負(fù)責(zé)，而傳統(tǒng)的信息產(chǎn)品(如音樂CD、計(jì)算機(jī)軟件)交付模式中廠商在產(chǎn)品售出后通常只提供有限的有償服務(wù)。我們基于對廠商定價(jià)實(shí)踐的觀察發(fā)現(xiàn)，按用量定價(jià)和按固定價(jià)格定價(jià)(以下簡稱固定定價(jià))是目前最常用的兩種定價(jià)方式。按用量定價(jià)時(shí)幾乎都采用階梯計(jì)價(jià)，用量越高，單位用量價(jià)格越低。這兩種定價(jià)方式在3種云服務(wù)模式中都存在。特別地，對于基礎(chǔ)設(shè)施即服務(wù)(infrastructure as a service，IaaS)及平臺即服務(wù)(platform as a service，PaaS)情形，云服務(wù)訪問特性突出，訪問需求個(gè)性化、客戶價(jià)值與資源用量關(guān)系明顯，多采用按用量定價(jià)；對于軟件即服務(wù)(software as a service，SaaS)情形，云服務(wù)的信息產(chǎn)品屬性及托管性突出，計(jì)算資源需求相對穩(wěn)定，多采用固定定價(jià)。綜合看，云服務(wù)定價(jià)是一個(gè)針對虛擬資源的訪問定價(jià)問題，決策中須兼顧客戶價(jià)值差異與資源能力約束。

本文理論基礎(chǔ)是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的非線性定價(jià)理論，這方面成果已很豐富[10]，這里僅梳理與本文緊密相關(guān)的信息產(chǎn)品及信息服務(wù)定價(jià)成果?；诋a(chǎn)品角度的成果主要有：Sundararajan[11]研究了信息產(chǎn)品的兩種定價(jià)方式，在固定定價(jià)中不考慮交易成本，按用量定價(jià)時(shí)考慮與用量相關(guān)的交易成本，得出廠商最優(yōu)方案是組合使用這兩種定價(jià)方式，該研究是對Maskin和Riley[12]理論成果在信息產(chǎn)品定價(jià)中的拓展。Huang和Sundararajan[13]研究了數(shù)字產(chǎn)品的最優(yōu)定價(jià)方法，其中廠商可按階段對計(jì)算基礎(chǔ)設(shè)施能力擴(kuò)容并考慮擴(kuò)容成本，以最大化廠商利潤為目標(biāo)給出兩階段擴(kuò)容數(shù)量的決策方法，該研究通過引入能力約束拓展了Sundararajan[11]研究。區(qū)別于假設(shè)客戶需求是連續(xù)的相關(guān)研究[11,13]，Spulber[14]針對離散型的客戶需求，就三種定價(jià)方式(參考點(diǎn)定價(jià)、拍賣定價(jià)、優(yōu)先級服務(wù)定價(jià))分別給出實(shí)現(xiàn)廠商利潤最大化的方法，研究中考慮廠商可用能力約束，且不限于信息產(chǎn)品定價(jià)情形。周木生和張玉林[15]在信息產(chǎn)品定價(jià)策略研究中基于非線性邊際支付意愿假設(shè)，證明了每位消費(fèi)者都存在理想消費(fèi)量且理想消費(fèi)量是偏好參數(shù)的嚴(yán)格遞增函數(shù)，建立了消費(fèi)者和廠商行為的動(dòng)態(tài)博弈模型，得出了廠商最優(yōu)定價(jià)策略，該研究考慮產(chǎn)品版本質(zhì)量，適于傳統(tǒng)軟件產(chǎn)品，不涉及使用量及用量約束。竇一凡和肖勇波[16]對比了傳統(tǒng)的按版權(quán)定價(jià)和云計(jì)算中按用量定價(jià)這兩種模式的最優(yōu)定價(jià)策略的市場份額并分析產(chǎn)品質(zhì)量的影響，研究中未考慮用量約束。如上研究[11-16]針對壟斷市場。Bala和Carr[17]面向競爭市場探討傳統(tǒng)軟件廠商選擇按用量定價(jià)及固定定價(jià)的策略，研究中考慮了客戶價(jià)值轉(zhuǎn)化能力及服務(wù)用量因素，客戶價(jià)值能力與服務(wù)用量均服從均勻分布，按用量定價(jià)中價(jià)格為用量的線性函數(shù)，但沒考慮服務(wù)能力約束?；诜?wù)角度的成果主要有：Essegaier等[8]研究了一般訪問服務(wù)的三種定價(jià)方式(包括固定價(jià)格、按用量定價(jià)以及兩部制定價(jià))，研究中區(qū)分重度及輕度使用者并考慮廠商服務(wù)能力約束。Wu和Banker[18]針對信息服務(wù)研究了這三種定價(jià)方式，考慮客戶使用服務(wù)的峰谷時(shí)間需求差異，但沒考慮廠商服務(wù)能力約束。Altmann和Chu[19]結(jié)合案例研究了網(wǎng)絡(luò)服務(wù)提供商的定價(jià)方案，廠商通過向市場提供固定定價(jià)及按用量定價(jià)的方案，有助于廠商聚焦細(xì)分市場以及降低網(wǎng)絡(luò)服務(wù)訪問的高峰期負(fù)載，該研究沒有給出具體定價(jià)方法。Zhang和Seidmann[20]基于固定定價(jià)策略，考慮客戶質(zhì)量偏好及外部性因素但不考慮使用量因素，分析了質(zhì)量不確定性與網(wǎng)絡(luò)外部性對壟斷廠商定價(jià)決策的影響，得出當(dāng)網(wǎng)絡(luò)效應(yīng)顯著時(shí)廠商采用混合模式(即產(chǎn)品+服務(wù))獲益最大。Basu等[21]研究了網(wǎng)絡(luò)帶寬質(zhì)量對云廠商按固定定價(jià)及按用量定價(jià)決策的影響，分析了影響客戶選擇不同定價(jià)方式的條件。

綜上，雖然針對信息產(chǎn)品非線性定價(jià)問題已取得較豐富成果，然而對云服務(wù)定價(jià)尤其是針對云服務(wù)特性深入探討按用量定價(jià)的成果尚很缺乏?；谖覀兡壳八莆盏馁Y料，尚未見到針對云服務(wù)模式較全面地探討按固定定價(jià)與按用量定價(jià)方法的研究；另外，雖然這兩種定價(jià)方式已被云服務(wù)廠商廣泛采用，但由于缺乏系統(tǒng)化總結(jié)，已有定價(jià)實(shí)踐復(fù)制到其他廠商時(shí)其適用性和可操作性難以把握。

本文選取云服務(wù)模式中固定定價(jià)以及按用量定價(jià)這兩種最常見的定價(jià)方式，在綜合考慮客戶價(jià)值差異與資源能力基礎(chǔ)上，以廠商利潤最大為目標(biāo)建立優(yōu)化模型，通過模型求解并進(jìn)一步結(jié)合數(shù)值算例獲得對這兩種定價(jià)方式的較全面認(rèn)識。模型中關(guān)于客戶效用、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及客戶能力的假設(shè)具有一般性，算例部分通過具體化模型假設(shè)并針對資源能力不同情形進(jìn)一步揭示這兩種定價(jià)方式的管理意義。本文貢獻(xiàn)在于：在分析云服務(wù)定價(jià)關(guān)鍵特性基礎(chǔ)上，基于一般性假設(shè)建立了非線性的、以最大化壟斷廠商利潤為優(yōu)化目標(biāo)的按用量定價(jià)模型，給出模型解并對模型解的含義進(jìn)行揭示，數(shù)值算例表明模型具有可操作性，本研究有助于深化云服務(wù)定價(jià)理論研究并有應(yīng)用指導(dǎo)意義。相較于如上相關(guān)成果，如：Maskin和Riley[12]以及Spulber[14]針對傳統(tǒng)一般產(chǎn)品或共享產(chǎn)品和設(shè)施研究按用量定價(jià)，Sundararajan[11]雖研究固定定價(jià)與按用量定價(jià)兩種方式，但沒考慮資源量約束，Huang和Sundararajan[13]在研究計(jì)算基礎(chǔ)設(shè)施分階段投資決策中雖考慮資源約束，但基本上不考慮固定定價(jià)。另外，針對訪問服務(wù)某一特性(如文獻(xiàn)[17,19])或其他模式(如文獻(xiàn)[18])的定價(jià)研究中，通常采用線性效用或只考慮一種定價(jià)方式。本文考慮云服務(wù)關(guān)鍵特性針對兩種常見定價(jià)方式開展研究，在研究對象設(shè)定及方法整合方面具有創(chuàng)新性。

本文其他部分安排：第2部分給出模型描述；第3部分針對兩種情形(考慮資源約束、不考慮資源約束)的兩種定價(jià)方式(固定定價(jià)、按用量定價(jià))分別建立模型、模型求解及分析；第4部分為數(shù)值實(shí)驗(yàn)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析；第5部分為結(jié)束語；附錄部分給出命題1及命題2證明。

2 模型描述

考慮由1個(gè)壟斷廠商和多個(gè)客戶組成的市場。廠商正式向市場提供服務(wù)前，需投資建設(shè)IT基礎(chǔ)設(shè)施及研發(fā)應(yīng)用軟件，假設(shè)這部分投入為沉沒成本。廠商前期投入情況決定了提供云服務(wù)的計(jì)算資源量，用K表示計(jì)算資源量并假設(shè)K短期內(nèi)無法改變。廠商通過充分利用IT來降低服務(wù)支持成本，假設(shè)當(dāng)K足夠滿足客戶需求時(shí)廠商為客戶提供云服務(wù)的邊際成本為零。

廠商向市場公開價(jià)格方案，客戶依據(jù)價(jià)格方案決定是否向廠商訂閱云服務(wù)?？紤]兩種定價(jià)方式：一是固定定價(jià)，即面向所有客戶實(shí)施統(tǒng)一價(jià)格，客戶訂閱付費(fèi)后可無限量使用計(jì)算資源；二是按用量定價(jià)，即根據(jù)客戶預(yù)期使用計(jì)算資源的數(shù)量情況制定差異化價(jià)格，客戶從廠商公布的價(jià)格表中選擇使用量與價(jià)格組合。用L表示廠商價(jià)格表，客戶選擇為(q,p)∈L，q表示該客戶選擇的預(yù)期資源用量，q≥0，支付價(jià)格為p?？蛻粜в煤瘮?shù)為U(q,θ)，θ為客戶類型，θ∈[0,1]且連續(xù)。

在Maskin和Riley[12]和Spulber[14]工作基礎(chǔ)上，給出如下假設(shè)：

假設(shè)1：U(q,θ)連續(xù)且在q及θ上滿足非減性、凹性，即：

?θ,?q有：

U1(q,θ)≥0,U11(q,θ)<0；

U2(q,θ)≥0,U22(q,θ)≤0。

特別地，

q=0時(shí)，U(q,θ)=0，U2(q,θ)=0；

q>0時(shí)，U2(q,θ)>0。

U(q,θ)取值有限性，即：

v(θ)≡maxq{U(q,θ)}<∞

這里用下標(biāo)指示對函數(shù)中相應(yīng)次序的參數(shù)求導(dǎo)，下同。

假設(shè)2：相對于低類型訂閱客戶，高類型訂閱客戶從資源使用中獲得效用的能力更強(qiáng)，即：

對于?q，U12(q,θ)>0

即滿足斯賓塞-莫里斯條件。

并且，這種效用增加量關(guān)于客戶類型具有非增性，即：

U122(q,θ)≤0

假設(shè)3：客戶風(fēng)險(xiǎn)厭惡關(guān)于θ遞減，即：

即θ值越大的用戶越傾向于接受風(fēng)險(xiǎn)。

假設(shè)廠商在客戶訂閱云服務(wù)之前無法得知客戶個(gè)體的需求q，也無法得知客戶個(gè)體的θ值。但廠商可通過市場研究估算出市場總需求Q。

假設(shè)4：廠商可通過市場研究等手段掌握客戶類型分布。用F(θ)表示客戶類型θ的分布函數(shù)，f(θ)為其密度函數(shù)，f(θ)>0且連續(xù)，逆風(fēng)險(xiǎn)率H(θ):

H(θ)≡[1-F(θ)]/f(θ)，H1(θ)≤0。

該假設(shè)在價(jià)格歧視研究中常見[11]，易驗(yàn)證當(dāng)服從一般均勻分布或指數(shù)分布時(shí)符合該假設(shè)。

本文探討廠商的短期定價(jià)決策?？蛻翎槍S商公布的價(jià)格方案，結(jié)合自身類型、需求量及預(yù)期效用等相關(guān)信息，選擇是否訂閱云服務(wù)，根據(jù)選擇情況向廠商支付相應(yīng)訂閱費(fèi)。從廠商角度，可選擇固定定價(jià)或按用量定價(jià)方式，目標(biāo)是最大化預(yù)期利潤。

3 模型分析

本節(jié)針對兩種情形對模型進(jìn)行求解：(1)不考慮計(jì)算資源約束；(2)考慮計(jì)算資源約束。區(qū)分這兩種情形有其現(xiàn)實(shí)意義：當(dāng)廠商在進(jìn)入云服務(wù)市場的早期階段，或者在對已有計(jì)算資源進(jìn)行大規(guī)模擴(kuò)容后，廠商的計(jì)算資源相對現(xiàn)有客戶需求來說通常存在明顯富裕，此時(shí)廠商通常重點(diǎn)關(guān)注客戶增長，價(jià)格制定中可暫不考慮計(jì)算資源容量約束，這符合情形一。隨著市場逐步成熟、訂閱客戶增多及客戶需求提升，已有計(jì)算資源可能會(huì)成為影響定價(jià)決策的重要因素，此時(shí)廠商需要甄選客戶以充分利用有限資源從市場獲最大收益，這符合情形二。另外，現(xiàn)實(shí)中廠商會(huì)權(quán)衡多項(xiàng)因素(如：IT市場規(guī)律、自身發(fā)展戰(zhàn)略、現(xiàn)有技術(shù)及資金條件等)分階段擴(kuò)展計(jì)算資源，每次擴(kuò)展計(jì)算資源的結(jié)果，會(huì)帶來一定時(shí)期內(nèi)的資源相對剩余。

3.1 不考慮計(jì)算資源約束情形

3.1.1 固定定價(jià)

用P表示廠商選擇的固定價(jià)格，類型為θ的客戶的剩余為r(θ)。對訂閱客戶有：

r(θ)=v(θ)-P≥0。

θp表示無差異客戶類型，無差異客戶可獲得的最大效用P=v(θp)。由假設(shè)1，?θ∈[θp,1]的客戶會(huì)選擇訂閱。用ΠP表示廠商預(yù)期利潤，廠商價(jià)格決策目標(biāo)為：

maxθpΠP=v(θp)(1-F(θp))

(1)

式(1)為無約束優(yōu)化問題，相應(yīng)一階條件為：

v1(θp)(1-F(θp))-v(θp)f(θp)=0

由上式解得θp，進(jìn)而可得廠商最大利潤ΠP。

3.1.2 按用量定價(jià)

按用量定價(jià)時(shí)，廠商可利用直接機(jī)制設(shè)計(jì)價(jià)格表?；舅悸罚?θi∈[0,1]，相應(yīng)價(jià)格項(xiàng)記為：(q(θi),p(θi))，且對于?θi,θj∈[0,1]滿足：

[IC]U(q(θi),θi)-p(θi)≥U(q(θj),θi)-p(θj)

[IR]U(q(θi),θi)-p(θi)≥0

如上條件分別稱激勵(lì)相容條件(IC)和個(gè)體理性條件(IR)。價(jià)格表L為價(jià)格項(xiàng)的合集。若價(jià)格表中任一價(jià)格項(xiàng)都滿足IC及IR條件，稱該價(jià)格表是可實(shí)施的，這意味著客戶一旦從中作出選擇，即向廠商顯示了該客戶的類型信息。

給出如下引理。

引理1：若(q(θ),p(θ))為相應(yīng)于θ的價(jià)格項(xiàng)，r(θ)≡U(q(θ),θ)-p(θ)為客戶剩余，則：

q1(θ)≥0,p1(θ)≥0,r1(θ)≥0。

證明：

價(jià)格項(xiàng)(q(θ),p(θ))滿足IC條件，也即：?θ∈[0,1]，θ是maxt∈[0,1]U(q(t),θ)-p(t)的解。相應(yīng)一階及二階條件如下：

U1(q(θ),θ)q1(θ)-p1(θ)=0，

U11(q(θ),θ)(q1(θ))2+U1(q(θ),θ)q11(θ)-p11(θ)≤0

對一階條件求θ的全導(dǎo)，得：

U11(q(θ),θ)(q1(θ))2+U12(q(θ),θ)q1(θ)+U1(q(θ),θ)q11(θ)-p11(θ)=0,

結(jié)合二階條件得：U12(q(θ),θ)q1(θ)≥0，

結(jié)合假設(shè)2得：q1(θ)≥0。

由一階條件得：

p1(θ)=U1(q(θ),θ)q1(θ)，

又：U1(q,θ)≥0(見假設(shè)1)，得：p1(θ)≥0。

對客戶剩余r(θ)求導(dǎo)得：

r1(θ)=U1(q(θ),θ)q1(θ)+U2(q(θ),θ)-p1(θ)

結(jié)合一階條件得：r1(θ)=U2(q(θ),θ)

結(jié)合假設(shè)1得：r1(θ)≥0。

以上表明：(q(θ),p(θ))滿足IC條件等同于：

p1(θ)=U1(q(θ),θ)q1(θ)，q1(θ)≥0。

結(jié)合引理1，廠商定價(jià)決策問題可表示為：

(2)

s.t[IC],[IR],p(θ)≥0,q(θ)≥0,?θ∈[0,1]

對該約束優(yōu)化問題求解，得命題1。

命題1：廠商不考慮計(jì)算資源約束、按用量定價(jià)時(shí)，可利用直接機(jī)制設(shè)計(jì)可實(shí)施的、預(yù)期利潤最大化的價(jià)格表Lo,其中價(jià)格項(xiàng)(q*(θ),p*(θ))按如下方法確定：

(q*(θ),p*(θ))=(q(θ),p(θ))。

其中：

q(θ)由下式確定：

U1(q(θ),θ)=U12(q(θ),θ)H(θ)

進(jìn)而，可確定p(θ)：

基于命題1，得如下推論。

推論1： 當(dāng)廠商不考慮計(jì)算資源約束、按用量定價(jià)時(shí)，針對高類型訂閱客戶的計(jì)算資源單位價(jià)格不高于針對低類型訂閱客戶的計(jì)算資源單位價(jià)格。

證明:

等同于論證p(θ)/q(θ)關(guān)于θ非增。

方便起見，分別記U(q(θ),θ),H(θ),p(θ)和q(θ)為U,H,p,q。有：

前已得出，對訂閱用戶，q>0，p1≥0(見引理1)。另根據(jù)Lo中：

可得：

dp/dq=p1/q1=U1≥0

顯然只需證明符合dp/dq-p/q≤0，即轉(zhuǎn)化為證明p為q的凹函數(shù)。不難得：

d2p/dq2=U11+U12/q1

又命題1論證中已得：

q1={U12(1-H1)-U122H}/{U112H-U11}

進(jìn)一步得：

結(jié)合式(A.6)，得：U11=U112H，進(jìn)而得：d2p/dq2≤0，即p為q的凹函數(shù)。

3.2 考慮計(jì)算資源約束情形

3.2.1 固定定價(jià)

由假設(shè)1，U(q,θ)關(guān)于q滿足凹性，意味著?θ，相應(yīng)客戶價(jià)值v(θ)存在最佳用量q(θ)。因而，當(dāng)計(jì)算資源量受限時(shí)，廠商可通過價(jià)格手段把一部分利潤貢獻(xiàn)較低的客戶逐出市場，所節(jié)約的資源可用來服務(wù)高價(jià)值客戶?？梢?，廠商通過價(jià)格手段將能夠在滿足計(jì)算資源總量約束前提下，實(shí)現(xiàn)利潤最大化。

使用固定定價(jià)方式，考慮計(jì)算資源約束，此時(shí)價(jià)格決策可表示為如下問題：

maxθpv(θp)(1-F(θp))

(3)

這里，θp為無差異客戶類型，K為廠商擁有的計(jì)算資源總量，q(θ)為相應(yīng)于類型θ的客戶最佳用量。不難得出：q(θ)是由U1(q,θ)=0確定的隱函數(shù)，廠商選擇的價(jià)格P=v(θp)，有效市場為[θp,1]。利用拉格朗日定理進(jìn)行求解。

L(θp,λ)=v(θp)(1-F(θp))

(4)

由庫恩-塔克定理，如果θp在滿足約束下最大化目標(biāo)函數(shù)，且約束規(guī)格成立(即?θ使得q(θ)f(θ)≠0)，則存在一個(gè)值λ，滿足：

(5)

利用式(5)及互補(bǔ)松弛定理，可得廠商價(jià)格。

3.2.2 按用量定價(jià)

借鑒不考慮計(jì)算資源約束情形的思路，把考慮計(jì)算資源約束、按用量定價(jià)的價(jià)格決策問題轉(zhuǎn)化為在θ∈[0,1]上尋找滿足IC,IR以及計(jì)算資源約束的價(jià)格項(xiàng)(q(θ),p(θ))確定問題，即：

(6)

s.t. [IC],[IR],p(θ)≥0,q(θ)≥0

對如上約束優(yōu)化問題求解，得命題2。

命題2：廠商按用量定價(jià)，目標(biāo)為利潤最大化，考慮計(jì)算資源總量約束。廠商利用直接機(jī)制設(shè)計(jì)可實(shí)施的價(jià)格表Lc，其中價(jià)格項(xiàng)(q*(θ),p*(θ))按如下方法確定：

(q*(θ),p*(θ))=(qc(θ),pc(θ))。

其中：

qc(θ)由下式確定；

U1(q(θ),θ)-U12(q(θ),θ)H(θ)-λ=0

進(jìn)而，可確定pc(θ)：

U(qc(θ),θ)-U2(qc(θ),θ)H(θ)=λqc(θ)

(證明見附錄)

進(jìn)而，得如下推論。

推論2：當(dāng)λ>0時(shí)，也即計(jì)算資源產(chǎn)生約束作用，有：

證明:

該情形下K=Q(λ)。針對式(B.5)，令：

W≡U1-U12H-Q-1(K)

由隱函數(shù)定理得：

參考命題2證明過程，已得：

dQ(λ)/dλ<0，

也即：dQ-1(K)/dK<0。

另已得Λ11<0，因而有dqc/dK>0，表明廠商若增加計(jì)算資源供應(yīng)，會(huì)使得qc(θ)增加。

進(jìn)一步得：

檢查上式符號，只需檢查dpc/dqc-pc/qc。借鑒引理1論證思路，易得pc是qc上的凹函數(shù)，即：d(pc/qc)/dK≤0。

另由dqc/dK<0，得：

推論2表明：當(dāng)廠商計(jì)算資源增加使得單位資源價(jià)格降低時(shí)，會(huì)吸引一部分低類型客戶進(jìn)入市場，因而可提升市場覆蓋；同時(shí)，計(jì)算資源拓展增加了訂閱客戶的使用量?？梢姼哳愋涂蛻羰菑S商的戰(zhàn)略客戶。

4 數(shù)值算例

云服務(wù)市場中，通常，低端客戶群體規(guī)模較大，高端客戶群體規(guī)模較小。這里低端客戶指使用云服務(wù)的頻度較低，每次使用所需計(jì)算資源量較少，從服務(wù)使用中所得效用往往較低的客戶，這類客戶如：云存儲普通用戶、使用云平臺服務(wù)開發(fā)應(yīng)用的個(gè)體開發(fā)者、使用在線ERP/CRM等管理軟件的小微企業(yè)用戶等；高端客戶指使用云服務(wù)的頻度較高，每次使用所需計(jì)算資源量較大，從服務(wù)使用中所得效用通常較高的客戶，這類客戶如：云存儲VIP用戶、使用云平臺服務(wù)開發(fā)應(yīng)用的軟件企業(yè)、使用在線ERP/CRM等管理軟件的大中型企業(yè)用戶等。鑒于指數(shù)分布密度函數(shù)形態(tài)上呈右偏且f1(θ;β)<0，適于描述云服務(wù)市場中客戶類型分布，故本算例中取客戶類型服從指數(shù)分布。

假設(shè)客戶效用函數(shù)為：

U(q,θ)=θq-q2/2，

分布函數(shù)及密度函數(shù)分別為：

F(θ;β)=1-e-θ/β，f(θ;β)=e-θ/β/β。

其中：β為外生參數(shù)。按本文模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果整理至表1。

表1 計(jì)算結(jié)果

圖1給出了β取兩種不同值時(shí)的客戶類型密度函數(shù)f(θ)。β取值較小時(shí)低類型客戶在市場中所占比例更大，相應(yīng)f(θ)曲線更陡。經(jīng)計(jì)算，F(xiàn)(1;0.1)=0.99995，F(xiàn)(1;0.2)=0.99326，說明β=0.1及β=0.2都可覆蓋99%以上的客戶，因此，本文選取β=0.1及β=0.2兩個(gè)取值來進(jìn)一步揭示不同定價(jià)方式下的廠商利潤、客戶剩余及計(jì)算資源量之間的關(guān)系。

圖1 客戶類型分布密度

(1)計(jì)算資源(K)與影子價(jià)格(λ)

計(jì)算資源量K與影子價(jià)格λ的關(guān)系見圖2。

圖2 計(jì)算資源與影子價(jià)格

圖2顯示：1)K值逐增過程中，λ值遞減，直到λ=0，此后繼續(xù)增加K值不再影響λ值；2)β越小，相應(yīng)λ(K)曲線越靠近左下方；3)針對β任一取值情形，固定定價(jià)時(shí)的λ(K)曲線斜率與按用量定價(jià)時(shí)的λ(K)曲線斜率不同，前者小于后者。

如上揭示的現(xiàn)實(shí)意義：1)客戶類型結(jié)構(gòu)影響計(jì)算資源供給。若低類型客戶在市場中所占比重越多，此時(shí)計(jì)算資源需求主要來自低端客戶，市場所需的總計(jì)算資源量較小，說明廠商在計(jì)算資源建設(shè)方面的投入要求相對較低；反之，若高類型客戶在市場中所占比重增加，則市場所需的總計(jì)算資源量較大，說明廠商在計(jì)算資源建設(shè)方面的投入要求較高。2)當(dāng)計(jì)算資源起約束作用時(shí)，對計(jì)算資源擴(kuò)容會(huì)降低影子價(jià)格，即計(jì)算資源邊際收益下降，表明云服務(wù)仍遵循一般意義上產(chǎn)品生產(chǎn)的經(jīng)濟(jì)規(guī)律，這一點(diǎn)區(qū)分于其他信息產(chǎn)品的交付方式，如：傳統(tǒng)的基于永久版權(quán)的軟件產(chǎn)品銷售、數(shù)字音樂下載服務(wù)等，提供這類產(chǎn)品或服務(wù)的成本可忽略故一般不作為價(jià)格決策的依據(jù)。本文認(rèn)為，計(jì)算資源的這一經(jīng)濟(jì)規(guī)律是由云服務(wù)廠商負(fù)責(zé)托管、運(yùn)營、維護(hù)計(jì)算服務(wù)這一特點(diǎn)決定的。

(2)廠商利潤(Π)與客戶剩余(r)

計(jì)算資源量K、客戶類型分布β與廠商利潤Π及客戶剩余r的關(guān)系見圖3、圖4。

圖3 廠商利潤

針對圖3，概括如下：

1)廠商利潤隨計(jì)算資源量增加而增加，直到到達(dá)某個(gè)閾值，之后即使計(jì)算資源進(jìn)一步增加也不會(huì)使利潤增加，表明此時(shí)計(jì)算資源能充分滿足市場需求。

圖4 客戶剩余

針對圖4，概括如下：

1)給定β不同取值，廠商無論采用哪種定價(jià)方式，資源受限時(shí)客戶總剩余隨資源量增加而增加，當(dāng)資源充分滿足市場需求時(shí)客戶總剩余達(dá)到最大，之后即使再增加資源，客戶總剩余不變。

2)資源充足情形，廠商按固定定價(jià)時(shí)客戶總剩余相對較高。資源受限情形，廠商按用量定價(jià)時(shí)客戶總剩余相對較高。注意：本算例中客戶剩余是β及K的非線性函數(shù)且具較高復(fù)雜性，該結(jié)果僅針對特定情形，對于β其他取值情形需另行計(jì)算及分析。

所揭示的現(xiàn)實(shí)意義：1)關(guān)于廠商利潤。廠商擁有計(jì)算資源情況影響廠商利潤，不同定價(jià)方式對應(yīng)不同資源量閾值，超量資源不能增加利潤；計(jì)算資源充足時(shí)廠商按用量定價(jià)可實(shí)現(xiàn)利潤最大；資源受限時(shí)，客戶類型結(jié)構(gòu)會(huì)影響利潤，此時(shí)廠商應(yīng)計(jì)算后再選擇定價(jià)方式。2)關(guān)于客戶剩余及廠商定價(jià)策略。資源受限時(shí)，廠商增加計(jì)算資源會(huì)提高市場中客戶總剩余從而增加客戶粘性；資源量充足時(shí)客戶總剩余達(dá)到最大，此后增加資源不能繼續(xù)增加客戶粘性。在市場培育期(此時(shí)廠商資源相對充足)，廠商為搶占市場應(yīng)采用固定定價(jià)方式。當(dāng)市場壯大及市場壟斷地位確立后，廠商應(yīng)綜合資源供需及客戶類型結(jié)構(gòu)情況選擇利潤最大的定價(jià)方案。

5 結(jié)語

本文以云服務(wù)壟斷廠商利潤最大化為目標(biāo)，給

出4項(xiàng)一般性假設(shè)，分別針對不考慮計(jì)算資源約束、考慮計(jì)算資源約束兩種情形，給出按固定定價(jià)及按用量定價(jià)的方法，進(jìn)一步結(jié)合數(shù)值算例并從市場范圍、廠商利潤、客戶剩余、社會(huì)福利及計(jì)算資源影子價(jià)格等多方面對兩種定價(jià)方式進(jìn)行對比?；谒憷玫饺缦鹿芾韱⑹荆?)客戶類型分布差異影響廠商利潤、客戶剩余及計(jì)算資源需求，廠商應(yīng)努力掌握客戶類型構(gòu)成信息，這是價(jià)格決策的基礎(chǔ)工作；2)計(jì)算資源充足時(shí)，廠商為實(shí)現(xiàn)利潤最大應(yīng)采用按用量定價(jià)，計(jì)算資源受限且市場中高類型客戶占比較明顯時(shí)，需做進(jìn)一步計(jì)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果作出選擇；3)兩種定價(jià)方式的市場范圍與客戶類型分布及可用計(jì)算資源量有關(guān)，按用量定價(jià)的市場覆蓋更大；4)增加計(jì)算資源有利于提升社會(huì)福利，政府通過投資云服務(wù)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、鼓勵(lì)技術(shù)創(chuàng)新等措施有助于降低廠商計(jì)算資源建設(shè)成本。

本文針對單邊壟斷市場，沒有探討其他市場形態(tài)(如寡頭等)，也沒有考慮影響定價(jià)決策的其他因素(如網(wǎng)絡(luò)外部性、捆綁服務(wù)、跨期定價(jià)等)，另外，本文中廠商決策目標(biāo)是利潤最大化，現(xiàn)實(shí)中也存在其他情形(如針對公共資源的壟斷組織通常追求社會(huì)福利最大化)。這些問題有待后續(xù)研究。

附錄1：

(命題1證明)

不考慮計(jì)算資源約束、按用量定價(jià)的價(jià)格決策問題轉(zhuǎn)錄如下：

(A.1)

s.t. [IC],[IR],p(θ)≥0,q(θ)≥0,?θ∈[0,1]

(A.2)

廠商總利潤為：

(A.3)

(A.4)

結(jié)合引理1論證過程，式(A.1)價(jià)格決策問題轉(zhuǎn)化為：如何選擇用量函數(shù)q(θ)，在服從相關(guān)約束下，實(shí)現(xiàn)廠商預(yù)期利潤最大化，即：

(A.5)

令：Λ(q(t),θ)=U(q(t),θ)-U2(q(t),θ)H(θ)，可證明：可確定用量函數(shù)q(t)，t∈[0,1]，符合如下兩個(gè)條件：

(a)?θ，Λ(q(t),θ)在t=θ處取得最大值，即：θ是maxt∈[0,1]Λ(q(t),θ)的解；

論證如下：

首先考察條件(a)。

若θ是maxt∈[0,1]Λ(q(t),θ)的解，則如下一階條件成立：?Λ(q(θ),θ)/?q(θ)=0，也即：

U1(q(θ),θ)-U12(q(θ),θ)H(θ)=0

(A.6)

(A.7)

經(jīng)計(jì)算得：

(A.8)

綜上知：式(A.6)確定隱函數(shù)q(θ)。顯然：?θ，當(dāng)選取用量q(θ)時(shí)，式(A.6)及式(A.8)皆滿足，表明Λ(q(θ),θ)在q(θ)處取得極大值；同時(shí)，式(A.8)表明Λ(q(t),θ)關(guān)于用量q(t)(t∈[0,1])是嚴(yán)格(向下)凹的。說明用量取q(θ)時(shí)Λ(q(θ),θ)即最大值，θ是下式解：

maxt∈[0,1]Λ(q(t),θ)。

其次，驗(yàn)證條件(b)。

對式(A.6)求θ的全導(dǎo)，整理后得：

結(jié)合式(A.8)以及模型假設(shè)2和4，顯然有：q1(θ)>0。

附錄2：

(命題2證明)

考慮計(jì)算資源約束、按用量定價(jià)的價(jià)格決策問題轉(zhuǎn)錄如下：

(B.1)

采用命題1式(A.2)-式(A.4)的相同方法，式(B.1)問題轉(zhuǎn)化為：選擇用量q(θ)，遵循相關(guān)約束，實(shí)現(xiàn)廠商預(yù)期利潤最大化，即：

(B.2)

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(B.3)

存在λ，滿足：

(B.4)

廠商實(shí)現(xiàn)利潤最大化需滿足：

(B.5)

(B.6)

由式(B.5)確定用量，記qc(θ)=q(θ,λ)。

由式(A.2)確定價(jià)格：

最優(yōu)價(jià)格項(xiàng)即：

(1)確定qc(θ)。

方便起見，把q(θ)和H(θ)分別記為q和H。令：

Λ(q,θ)=U(q,θ)-U2(q,θ)H，

相應(yīng)有：Λ11(q,θ)=U11(q,θ)-U112(q,θ)H，結(jié)合式(B.5)有：

Λ11(q,θ)=U11(q,θ)-U112(q,θ)(U1(q,θ)-λ)/U12(q,θ)

結(jié)合模型假設(shè)，可得：λ>0且U1(q,θ)≠0時(shí)，Λ11(q,θ)<0，表明Λ(q,θ)關(guān)于q是向下凹的。因而，給定?λ，式(B.5)能唯一確定qc(θ)。

令：Λ(q,θ)=U(q,θ)-U2(q,θ)H，經(jīng)計(jì)算得：

(B.7)

U(qc(θ),θ)-U2(qc(θ),θ)H(θ)=λqc(θ)。

(3)確定λ。

前已得出式(B.5)隱式確定q(θ,λ)。在式(B.5)基礎(chǔ)上，令：Γ(q,θ,λ)=U1(q,θ)-U12(q,θ)H-λ。

由Γ(q,θ,λ)=0可得q=q(θ,λ)。

表明q(θ,λ)關(guān)于λ單調(diào)減。

由dq(θ,λ)/dλ<0可得dQ(λ)/dλ<0，說明Q(λ)關(guān)于λ單調(diào)減，資源約束情形λ=Q-1(K)。