安徽省樅陽(yáng)縣第二中學(xué) (246700) 榮光輝安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué) (246700)

江保兵

一、一道競(jìng)賽試題和它的解法

這是2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第7題，這是一道條件最值問題，題面簡(jiǎn)潔，內(nèi)容豐富.從公布的參考答案來(lái)看，本題主要考察多元均值不等式的應(yīng)用.

二、利用均值不等式平衡系數(shù)

事實(shí)上我們假設(shè)存在實(shí)數(shù)M和λ>0，使得下面這個(gè)不等式成立：

我們可以看到，平衡系數(shù)法是一種非常精致的待定系數(shù)法，系數(shù)的確定難度較大，運(yùn)用的技巧較高，不僅要求熟練地使用代數(shù)變形，熟練地使用一些常用的不等式，而且要求這些系數(shù)能夠和諧地融入一個(gè)復(fù)雜的環(huán)境中，這時(shí)我們必須使用額外的變量來(lái)求解方程或者方程組找到原始的最終系數(shù)，這就是平衡系數(shù)法的關(guān)鍵和精髓.

例2 (2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽高一、高二第7題)已知正實(shí)數(shù)a,b滿足ab(a+b)=4，則2a+b的最小值為.

三、利用柯西不等式平衡系數(shù)

這是2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第11題，試題結(jié)構(gòu)工整、對(duì)稱，由結(jié)構(gòu)中根號(hào)，聯(lián)想到柯西不等式，相關(guān)系數(shù)的確定，又想到平衡系數(shù)法.

四、利用嵌入不等式平衡系數(shù)

這是2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽省初賽第11題，我們現(xiàn)在利用嵌入不等式平衡系數(shù).

首先介紹一下嵌入不等式：設(shè)A,B,C為任意三角形的三個(gè)內(nèi)角，x,y,z為任意實(shí)數(shù).則有x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.

簡(jiǎn)證：x2+y2+z2-(2xycosC+2yzcosA+2zxcosB)=(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0.

一道好題，猶如一塊璀璨的碧玉，讓人愛不釋手.而對(duì)試題的分析、探究更象一次奇妙的精神之旅，精致的解題技巧，豐富的數(shù)學(xué)思想，不一樣的風(fēng)景，總是讓人流連忘返.