鐘蘭花，陳靜元，劉家盈，凌彩寧，符栩銘，蔡馬趙，黃 貞

(嶺南師范學院 物理科學與技術學院，廣東 湛江 524048)

聲子晶體是20世紀90年代提出的新型聲學功能材料，一般由1種或幾種彈性材料(散射體)周期排列在另一種材料(基體)中所構成，至今仍是聲學中的研究熱點之一[1-3]. 聲子晶體與傳統(tǒng)晶體和光子晶體類似，當聲波(或彈性波)在其中傳播時，產(chǎn)生彈性波的分立能帶、禁帶和帶隙[4-5]. 禁帶是指聲波在聲子晶體中傳播時，由于受周期結構的調制作用，在一定頻率范圍(帶隙)內被禁止傳播. 而在具有周期結構的聲子晶體中引入缺陷，如改變某些散射體的大小、形狀、材料等，則可能在原來無缺陷晶體的帶隙中出現(xiàn)聲子能帶，稱之為缺陷能帶，相應的狀態(tài)稱為缺陷態(tài). 正如電子在含缺陷的天然晶體中傳播出現(xiàn)Anderson局域現(xiàn)象一樣，缺陷態(tài)聲波的分布也具有局域性，即聲波被限制在缺陷附近傳播[4-6]. 聲子晶體缺陷態(tài)的局域性有實用價值，如可用于聲波濾波器和聲波波導[6]. 如果聲子晶體中的缺陷分布在1條線上，則稱為線缺陷聲子晶體，此時可能存在聲波只沿線缺陷傳播的缺陷能帶，缺陷模的能量被局域在線缺陷中傳播，因而構成聲波導[7-9].

本文采用同種規(guī)格的花崗巖柱體按周期排列在空氣中構成二維聲子晶體，通過移除1排柱體產(chǎn)生線缺陷. 先通過數(shù)值模擬來確定最佳的實驗參量以及缺陷帶的大致頻率范圍，然后測量通過聲子晶體的聲波，結果表明在缺陷帶的頻率范圍內具有明顯的聲波導效果.

1 模型理論

對于無限多平行無限長固體柱子放入氣體中所組成的二維周期結構，由于固體與空氣兩者的聲學阻抗差異大，在交界處可發(fā)生全反射，因而可以只考慮縱波. 根據(jù)波在周期介質中傳播的Bloch定理以及平面波展開法，聲波波動方程可在波矢空間表示為本征值方程的形式[4-5,10]

(1)

圖1所示為一線缺陷聲子晶體橫截面示意圖，由方形散射體按正方晶格排列(晶格常量為a)構成，移除中間1列柱體即形成了線缺陷. 該模型可采用5×5超元胞平面波展開法進行數(shù)值求解，求解時將波矢k限制在第一Brillouin區(qū)(如圖2所示)，對無限多個倒格矢求和. 在計算中取了625個倒格矢代替，比較了取7×7的超元胞和一千多個倒格矢的計算結果，發(fā)現(xiàn)此時已具有較好的收斂性，前20條能帶的相對誤差均小于3%. 此時，(1)式變?yōu)楹?25×625個矩陣元的標準本征值方程，解此方程可求出本征值頻率及其對應的本征向量. 令波矢k掃描第一Brillouin區(qū)中不可約三角形的邊界，即可得出本征頻率ωkn,其中n為不同能帶的標志. 從而可作出一系列以無量化綱頻率

(2)

為縱坐標，以波矢k為橫坐標的能帶圖，其中cl為基體材料中的縱波波速.

圖1 二維線缺陷聲子晶體5×5超元胞橫截面示意圖

圖2 第一Brillouin區(qū)圖

圖3 填充比F=0.4時,花崗巖方柱體按正方晶格排列于空氣中的能帶結構圖

(a)無缺陷聲子晶體

(b)線缺陷聲子晶體圖4 聲子晶體沿ΓX方向的能帶結構圖

圖5 缺陷能帶的聲壓強分布圖

2 實驗裝置

聲子晶體的左側放置發(fā)射聲波的聲源，右側放置聲波接收裝置. 聲源部分主要包括信號發(fā)生器(RIGOL，型號：DG4062)、功放(多媒體有源音箱，型號：GS-6000)、高頻喇叭(SIREN HORN，型號：ES-626)，接收裝置主要包括間隔1 cm均勻排列的8個微型麥克風(咪頭)及其放大器模塊(Risym，型號：MAX9812)、USB數(shù)據(jù)采集器(研華USB-4716)、PC機. 喇叭離聲子晶體約0.6 m，入射聲波可近似看作平面波，1排微型麥克風盡量靠近聲子晶體.

圖6 實驗裝置截面示意圖

圖7 實驗裝置實物圖

3 測量結果

為了測量線缺陷聲子晶體的聲波導效果，取2個對照組進行對比：空氣組(移走聲子晶體使聲波在空氣中傳播)和非缺陷組(方柱體按9×9完整排列). 當聲波頻率取為6 440 Hz和7 300 Hz時，8個微型麥克風(分別用M1～M8表示)的聲壓分布分別如圖8(a)和(b)所示，分別重復3次測量.

圖8中最明顯的區(qū)別是紅色線表示的缺陷組在圖8(a)中M4和M5麥克風(對著線缺陷位置)的壓強特別大，甚至大于空氣組的聲壓. 這說明6 440 Hz頻率的聲波屬于缺陷帶頻率范圍，該聲子晶體對該頻率的聲波起聲波導作用，即聲波在其中傳播幾乎無衰減. 而在圖8中空氣組(綠色線)的聲壓基本為均勻分布(由于麥克風的準確度有限而帶來實驗誤差)，非缺陷組(藍色線)在兩圖中的聲壓也都比較弱，說明上述2個頻率在無缺陷聲子晶體中都屬于禁帶范圍，聲波不能通過(但測量結果包含環(huán)境本底噪聲). 圖8(b)中的缺陷組和非缺陷組的聲壓同樣低，說明7 300 Hz在線缺陷的聲子晶體中也屬于禁帶范圍.

(a)缺陷頻率

(b)禁帶頻率圖8 聲波頻率為6 440 Hz和7 300 Hz時8個麥克風的聲壓分布

為了找出缺陷帶的頻率范圍，即該線缺陷聲子晶體能起波導作用的頻率范圍，改變輸入聲波的頻率，從6 000～7 500 Hz每隔10 Hz測量1次. 由圖8可知，主要是中間M4和M5麥克風采集缺陷處出射的聲壓，所以給出了3種情況下這2個麥克風的的聲壓分布，如圖9所示，每種情況都重復測量了2次. 在圖9虛線框中部分，缺陷組的聲壓和空氣組的聲壓接近，而在其他頻率范圍缺陷組的聲壓明顯小于空氣組. 可以判斷，虛線框中頻率范圍(6 400～7 100 Hz)，為缺陷帶的頻率范圍，而非缺陷組的聲壓在此范圍內都低，因為處在非缺陷聲子晶體的禁帶范圍.

(a)M4麥克風

(b)M5麥克風圖9 入射聲波頻率為6 000～7 500 Hz時M4和M5麥克風的聲壓分布

可以看出，測得缺陷帶頻率范圍與仿真結果相比有一定的差距，主要是因為數(shù)值計算的平面波展開法假設聲子晶體柱體無限長、橫截面無限大、入射聲波為平面波的情況，而這些條件在實驗中只是近似地滿足.

測量結果有較大的波動、線不夠平直主要有兩方面的原因：

1)微型麥克風的靈敏度、精確度和準確度不夠高；

2)測量過程中環(huán)境噪聲的波動干擾了測量結果.

另外，圖9中右邊緣的曲線數(shù)值明顯都偏高，主要是因為測量聲波的頻率接近麥克風的特征頻率，出現(xiàn)了共振現(xiàn)象.

4 結束語

根據(jù)聲子晶體中缺陷態(tài)能量的分布主要局限在缺陷處這一特征以及數(shù)值模擬的結果，設計了由花崗巖柱體按周期排列在空氣中形成的二維線缺陷聲子晶體. 對比了不含缺陷的聲子晶體、線缺陷聲子晶體和聲波直接在空氣中傳播3種情況，發(fā)現(xiàn)線缺陷聲子晶體對缺陷態(tài)聲波明顯具有聲波導的效果. 設計的模型中花崗巖和空氣也可換為其他2種密度差異較大的固體和流體，而其聲波導效果和缺陷帶頻率范圍幾乎不受影響. 此模型不僅適用于可聞聲波，如果按比例縮小尺寸還適用于更短波長的聲波，如超聲波.