施宇軒, 郝成紅,黃耀清,尹亮亮

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院,上海 201418)

顆粒物質(zhì)是一類特殊的物質(zhì),表現(xiàn)出與固、液、氣不同的性質(zhì). 許多自然災(zāi)害(如泥石流、雪崩、山崩、地震等)都與顆粒物質(zhì)的崩塌有緊密聯(lián)系. 因此,顆粒物質(zhì)崩塌現(xiàn)象的研究就顯得十分重要. 已有的關(guān)于顆粒物質(zhì)崩塌現(xiàn)象的研究[1],認(rèn)為顆粒物質(zhì)在崩塌過程中存在2個(gè)特征角:剛發(fā)生崩塌時(shí)的特征角被稱為崩塌角,崩塌停止時(shí)的特征角被稱為休止角(又稱靜止角、安息角). 文獻(xiàn)[2-4]研究了顆粒群的質(zhì)量或顆粒群堆積高度對(duì)休止角的影響,本文研究了傾倒使用的漏嘴對(duì)休止角的影響.

1 物理模型的建立

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)已經(jīng)形成如圖1所示的堆積結(jié)構(gòu)[5],圖中a為崩塌層,b為錐形結(jié)構(gòu)上原有的1層顆粒群. 顆粒群a下落到圖中位置時(shí)的速度為v1,此時(shí)顆粒群b靜止.

分別對(duì)顆粒群a和b作受力分析,如圖2所示. 圖2中m1g和m2g分別為顆粒群a和b的重力,f1和f2分別為顆粒群a和b所受的摩擦力,N1和N2分別為坡面對(duì)顆粒群a和b的支持力,F1和F2分為顆粒群a和b之間的相互作用力.

圖2 受力分析

設(shè)顆粒群b下滑h高度后到達(dá)坡面低端,由動(dòng)能定理可得:

(1)

式中μ為動(dòng)摩擦因數(shù),h為顆粒群b最低端所在高度,θ為顆粒群b所在母線與平面的夾角. 從式(1)以及圖1可以看出,當(dāng)圖示中顆粒群a從漏嘴下落到錐形堆積結(jié)構(gòu)的坡面后,會(huì)發(fā)生2種情況:

1)速度不夠大時(shí),顆粒群a對(duì)顆粒群b的作用力F2不足以克服摩擦力f2,而后顆粒堆積直到F2克服f2,顆粒群a和b會(huì)下滑至底部；

2)速度足夠大時(shí),顆粒群a和b會(huì)一起下滑(也就是發(fā)生了崩塌),一直沿斜面下滑到底部.

以上2種情況的共同點(diǎn)為最終結(jié)果是顆粒下滑到底部,而同時(shí)因?yàn)轭w粒群a上面還會(huì)有顆粒繼續(xù)落下,并會(huì)沿斜面堆積起來,達(dá)到自組織臨界態(tài),繼續(xù)堆積便會(huì)崩塌到外面1層,再循環(huán)之前所描述的過程.

從式(1)中,能找到以θ為因變量的函數(shù). 將式(1)化簡(jiǎn)可得

(2)

式(2)中m1+m2與總質(zhì)量正相關(guān),h與堆積高度正相關(guān),v1與漏嘴的高度正相關(guān),可以對(duì)此做實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

1.2 流體力學(xué)模型

大量實(shí)驗(yàn)可以得出結(jié)論:錐形堆積結(jié)構(gòu)的休止角在各個(gè)母線上是不同的，可以使用流體力學(xué)的物理模型解釋.

因?yàn)榱鲃?dòng)的顆粒群符合流體的定義,所以可將從漏嘴流出的顆粒群理想化為流體來分析. 顆粒群從橫截面積為A的漏斗流出,假設(shè)其流量為Q,則其流速為

(3)

根據(jù)伯努利方程

(4)

式中p是顆粒群所受到的壓強(qiáng),ρ是顆粒群密度. 將式(3)代入式(4)可以得出

(5)

式(5)即是流體壓強(qiáng)與管道橫截面積的關(guān)系.

2 實(shí)驗(yàn)探究

使用控制變量法對(duì)式(2)和式(5)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究. 針對(duì)下落的高度(即漏嘴與平面的垂直距離)與漏嘴的口徑[6]進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖3所示,鐵架臺(tái)可減少顆粒群傾倒時(shí)整個(gè)裝置的晃動(dòng),使用平口漏斗作為傾倒顆粒的槽道. 該裝置優(yōu)點(diǎn)在于可改變漏斗與高度. 實(shí)驗(yàn)中,使用垂直傾倒的方式，傾倒結(jié)束后利用投影法分別測(cè)量投影圖案的左右角度.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置

2.2 下落高度與形成的休止角的關(guān)系

使用直徑為0.5 mm的白砂和直徑為1.5 mm的小米[7-8],兩者質(zhì)量都為150 g,從85 mm的下落高度開始每50 mm進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量休止角,實(shí)驗(yàn)結(jié)果用Matlab 2014a軟件擬合分析. 多次實(shí)驗(yàn)后得到表1和表2中的數(shù)據(jù).

表1 使用白沙的下落高度與休止角數(shù)據(jù)

表2 使用小米的下落高度與休止角數(shù)據(jù)

圖4～5為Matlab 2014a軟件的擬合結(jié)果. 從圖4～5可以看出,休止角隨下落高度的增加呈非線性變化. 再從擬合結(jié)果可以得出結(jié)論:休止角θ隨下落高度h的增加成反比的趨勢(shì).

(a)左側(cè)

(b)右側(cè)圖4 白沙的休止角

(a)左側(cè)

(b)右側(cè)圖5 小米的休止角

2.3 漏嘴口徑與形成的休止角的關(guān)系

因?yàn)槁┳爝^小時(shí),小米不能自然流出,實(shí)驗(yàn)材料使用直徑為0.5 mm的白砂,其質(zhì)量為150 g. 采用的實(shí)驗(yàn)方法與之前相仿,傾倒的高度(即漏嘴與平面的垂直距離)為200 mm. 表3是不同漏嘴口徑的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),通過取差值的絕對(duì)值可以研究漏嘴口徑對(duì)顆粒在不同母線上形成的休止角的影響. 圖6是Matlab 2014a軟件的擬合結(jié)果,從圖中可以看出,休止角的差值|Δθ|隨漏嘴口徑r的增加成負(fù)相關(guān)的趨勢(shì).

表3 不同漏水口徑的休止角

圖6 休止角差值隨漏斗口徑的變化曲線

3 結(jié) 論

漏斗對(duì)于休止角也是重要的影響因素之一,本文研究了下落高度和漏嘴口徑對(duì)休止角的影響. 在能形成休止角的情況下,下落高度影響了堆積結(jié)構(gòu)與地面形成的休止角的大小,而漏嘴口徑影響了在不同母線上休止角的大小. 從數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果可以看出,下落高度與休止角成反比,漏嘴口徑與休止角的差值的倒數(shù)成正比,仿真計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.