藍(lán)益鵬，劉 欣

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，沈陽 110870)

0 引言

現(xiàn)代制造技術(shù)正朝著高加速度、超精密方向發(fā)展，對(duì)加工和測(cè)量設(shè)備的精度要求不斷提高，其中，影響高加速度，超精密運(yùn)動(dòng)控制精度的主要因素之一是非線性摩擦，傳統(tǒng)的伺服系統(tǒng)大多采用“滾珠絲杠”驅(qū)動(dòng)方式，不可避免的會(huì)在導(dǎo)軌與平臺(tái)，以及傳動(dòng)環(huán)節(jié)之間產(chǎn)生粉塵，彈性形變，引起定位精度誤差[1]，制約了進(jìn)給平臺(tái)的高精度控制。與傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)相比，磁懸浮系統(tǒng)利用法向電磁力與進(jìn)給平臺(tái)重力相平衡，實(shí)現(xiàn)進(jìn)給平臺(tái)的直接懸浮，從根本上消除了機(jī)械環(huán)節(jié)所帶來的非線性摩擦，提高了加工精度，減小了對(duì)環(huán)境的污染，在高精密數(shù)控技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛的重視[2]。但是由于磁懸浮平臺(tái)自身具有高度非線性，外界擾動(dòng)和參數(shù)變化的不確定性，大大降低了磁懸浮平臺(tái)的控制精度，因此，增加了對(duì)磁懸浮平臺(tái)控制器設(shè)計(jì)的難度。

近年來，國內(nèi)外不少學(xué)者對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的控制問題[3]進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[4]對(duì)磁懸浮微進(jìn)給機(jī)構(gòu)采用PID控制，通過控制線圈電流的大小實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁阻尼的控制，提高了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度，但是存在振蕩；文獻(xiàn)[5]針對(duì)斥力型磁懸浮平臺(tái)，采用不完全微分PID調(diào)節(jié)，能夠有效抑制微分振蕩；文獻(xiàn)[6]采用模糊PD混合控制方法，有效提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，但是當(dāng)系統(tǒng)不確定性過大時(shí)，將降低對(duì)輸入信號(hào)的跟蹤精度。文獻(xiàn)[7]提出H∞魯棒控制，對(duì)于外界擾動(dòng)，參數(shù)攝動(dòng)，系統(tǒng)具有良好的魯棒性，但是需要被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[8]針對(duì)磁懸浮控系統(tǒng)控制精度不高的問題，提出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反饋補(bǔ)償控制方法，有效提升系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能，但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算量過大，導(dǎo)致收斂速度慢。

LMMLS具有高度非線性，擾動(dòng)不確定性以及隨負(fù)載質(zhì)量而變化的參數(shù)不確定性的特點(diǎn)，本文提出采用DFC算法[9-10]，以保證系統(tǒng)對(duì)這些不確定性具有良好的控制性能。同時(shí)，由于LMMLS以運(yùn)動(dòng)平臺(tái)懸浮的高度值作為系統(tǒng)的輸入，這是一個(gè)確切值，要將其作為單點(diǎn)模糊集合來處理，而DFC算法對(duì)輸入變量為單點(diǎn)模糊集合的非線性系統(tǒng)具有很強(qiáng)的針對(duì)性，有效提高系統(tǒng)的控制精度。為驗(yàn)證該控制策略的有效性，與PI控制方法做比較，仿真結(jié)果表明，DFC控制策略對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)變化具有極強(qiáng)的不敏感性，能夠明顯改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，提高控制精度，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。

1 LMMLS數(shù)學(xué)模型

圖1為LMMLS進(jìn)給平臺(tái)示意圖。主要由運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與輔助導(dǎo)軌組成，當(dāng)勵(lì)磁線圈通入直流電流，氣隙中產(chǎn)生勵(lì)磁磁場(chǎng)，動(dòng)子鐵心在該磁場(chǎng)力的作用下，當(dāng)垂直方向的電磁力與平臺(tái)的重力相平衡時(shí)，動(dòng)子鐵心穩(wěn)定懸浮，通過調(diào)節(jié)勵(lì)磁電流的大小，可以控制運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的懸浮高度。

圖1 LMMLS進(jìn)給平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖

d-q坐標(biāo)系下，直線電機(jī)電壓方程：

(1)

(2)

(3)

磁鏈方程：

ψd=(Lσ+Lmd)id+Lmdif

(4)

ψq=(Lσ+Lmq)iq

(5)

ψf=Lmdid+(Lσf+Lmd)if

(6)

其中，下標(biāo)dq分別表示相應(yīng)物理量在d軸q軸的分量，v為同步速度，τ為極距，uf為勵(lì)磁電壓if為勵(lì)磁電流；ψf為磁極磁鏈；Lmd、Lmq分別是直軸和交軸的主電感；Lσ為電樞繞組漏感；rs為電樞繞組電阻；rf為磁極勵(lì)磁繞組的電阻。

進(jìn)給系統(tǒng)采用傳統(tǒng)id=0的解耦方式，使交、直軸磁場(chǎng)互不影響，此時(shí)，沿d軸方向只有勵(lì)磁線圈產(chǎn)生的勵(lì)磁磁場(chǎng)。則法向電磁力公式簡化為[11]：

(7)

LMMLS運(yùn)動(dòng)方程為[12]：

(8)

其中，m為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)及負(fù)載的質(zhì)量，δ為平臺(tái)懸浮的高度，fy為外界擾動(dòng)。

d軸電樞反應(yīng)電抗的計(jì)算公式：

(9)

其中，n為電機(jī)相數(shù)，N為每一相的串聯(lián)匝數(shù)，kw1為電樞繞組基波系數(shù)，bE為電樞鐵芯的有效寬度，Kc為卡特系數(shù)，p為磁極對(duì)數(shù)。

將式(7)、式(9)帶入式(8)中，進(jìn)一步可得懸浮方向的運(yùn)動(dòng)方程為：

(10)

將式(6)、式(9)帶入式(3)中可得：

(11)

綜上所述，令x1=δ,x2=δ·,x3=if，則CELM磁懸浮系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(12)

由式(12)可知，磁懸浮系統(tǒng)具有狀態(tài)變量乘積的非線性、擾動(dòng)的不確定性以及隨負(fù)載質(zhì)量而變化的參數(shù)的不確定性的特點(diǎn)。因此，采用DFC控制具有很強(qiáng)的針對(duì)性。

2 DFC控制器的設(shè)計(jì)

2.1 輸入輸出語言變量的設(shè)計(jì)

定義δ*為懸浮高度給定值，δ為懸浮高度實(shí)際值，則運(yùn)動(dòng)平臺(tái)懸浮高度的誤差為：

e=δ*-δ

(13)

懸浮高度誤差e、懸浮高度誤差變化率ec、輸出量u的語言變量分別為E、Ec和U，其對(duì)應(yīng)的模糊論域?yàn)閇-6,6]，[-6,6]，[-2,2]，將該論域集合均勻化分為5個(gè)等級(jí):{NB,NS,Z,PS,PB}={負(fù)大，負(fù)小，零，正小，正大}。則輸入輸出語言變量的隸屬度，如圖2、圖3所示，模糊控制規(guī)則如表1 所示。

圖2 誤差e/誤差變化率ec的隸屬度函數(shù)曲線

圖3 輸出u的隸屬度函數(shù)曲線

uecNBNSZEPSPBeNBNSZEPSPBNBNBNBNSZENBNBNSNSPBNBNBZEPBPBPBPBPBPBPBPBPBPBPBPB

2.2 單點(diǎn)模糊集與模糊規(guī)則間的距離

DFC推理采用模糊集合理論中的距離概念來匹配規(guī)則間的相似程度并進(jìn)行推理運(yùn)算。在傳統(tǒng)模糊控制中，通常采用三角型模糊集作為系統(tǒng)輸入語言變量的模糊集。但實(shí)際輸入并非為模糊集合，通常是來自傳感器測(cè)量得到的電壓、位置、速度等具體的數(shù)值而非三角型模糊集合。

CELM懸浮系統(tǒng)中，輸入的是運(yùn)動(dòng)平臺(tái)懸浮的高度值，是一個(gè)確切值而非模糊集合，要將其作為單點(diǎn)模糊集合來處理如圖4所示。

圖4 三角型模糊集和單點(diǎn)模糊集

下面給出三角型模糊集合Aij和模糊單點(diǎn)A的距離公式。

(14)

2.3 DFC計(jì)算方法

DFC計(jì)算方法主要有如下3個(gè)步驟：

(1)基于式(15)，計(jì)算規(guī)則庫中每條規(guī)則前件A與給定事實(shí)Aij模糊集合間的距離d1,...,dn。

(15)

其中，i=1,2,...,n。

(2)根據(jù)以下步驟，求出推理結(jié)果B的模糊集合。其中，式(17)為推理結(jié)果，式(18)為推理結(jié)果上確界值，式(19)為推理結(jié)果下確界值。

Bα=[inf(Bα),sup(Bα)]

(16)

(17)

(18)

(3)根據(jù)分離原則，求出推理結(jié)果。

(19)

2.4 CELM磁懸浮系統(tǒng)的DFC算法

在表1中選擇其中的一條控制規(guī)則，可采用如下表達(dá)形式：

IFeisA11,ecisA12, THENuisB1；

事實(shí)：e=A1，ec=A2，

結(jié)論：u=B

(20)

其中，A11，A12，B1的隸屬度函數(shù)分別為如圖2、圖3所示的等腰三角形，A1，A2為控制系統(tǒng)的單點(diǎn)型輸入。

假設(shè)時(shí)刻t，輸入事實(shí)為e=-4.5，ec=1.5，分別如圖5、圖6所示。

圖5 t時(shí)刻輸入模糊集合e 圖6 t時(shí)刻輸入模糊集合ec

模糊規(guī)則如表1所示，分別計(jì)算A1，A2與每一條規(guī)則前件的距離，由式(15)～式(20)，可計(jì)算出推理結(jié)果B，其模糊集合如圖7所示。由去模糊化重心法可得，當(dāng)輸入事實(shí)為e=-4.5，ec=1.5時(shí)，推理結(jié)果為B=-0.1893。

圖7 推理結(jié)果B模糊集合

由圖7可知，此時(shí)求得的推理結(jié)果為凸模糊集，符合DFC算法具備的凸集性，即當(dāng)模糊規(guī)則為凸模糊集時(shí)，經(jīng)過DFC推理運(yùn)算，求得的推理結(jié)果仍為凸模糊集。

3 仿真分析

為驗(yàn)證DFC控制方法的有效性，用MATLAB仿真工具進(jìn)行仿真分析，并與PI控制進(jìn)行比較。其中基于DFC控制器的LMMLS原理框圖如圖8所示，LMMLS參數(shù)設(shè)置見表2。

圖8 LMMLS原理框圖

參數(shù)數(shù)值單位RS1.2Ωm30kgLd0.018HLq0.018HLmd0.095Hτ0.048Hp3—

圖9 懸浮高度響應(yīng)曲線

首先，給LMMLS輸入信號(hào)施加一個(gè)為單位階躍信號(hào)，由于系統(tǒng)具有不確定性外界擾動(dòng)，因此在0.75s時(shí)突加大小為20N的外界擾動(dòng)，仿真結(jié)果如圖9～圖11所示。

圖9顯示了分別在DFC，PI控制下的懸浮高度的響應(yīng)曲線?；贒FC控制的CELM磁懸浮系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間僅為0.18s，比PI控制提高了42.3%，其超調(diào)量明顯小于PI控制，說明DFC控制策略動(dòng)態(tài)性能好，平穩(wěn)性高。

圖10 速度響應(yīng)曲線

為了驗(yàn)證DFC控制器的抗干擾能力，在0.75s，系統(tǒng)突加階躍擾動(dòng)后，相比于PI控制，DFC控制系統(tǒng)能夠有效抑制擾動(dòng)，其動(dòng)態(tài)降落最大幅值僅為PI的1/5，恢復(fù)時(shí)間比PI控制系統(tǒng)提高了0.12s。因此，DFC控制對(duì)負(fù)載擾動(dòng)的抑制能力優(yōu)于PI控制，具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖11 勵(lì)磁電流響應(yīng)曲線

圖10、圖11分別為系統(tǒng)響應(yīng)過程中懸浮速度，勵(lì)磁電流的響應(yīng)曲線。DFC控制策略下，懸浮系統(tǒng)速度響應(yīng)能夠快速到達(dá)穩(wěn)態(tài)值，且動(dòng)態(tài)過程無超調(diào)。加入擾動(dòng)后，能夠很好的抑制擾動(dòng)，其動(dòng)態(tài)降落和恢復(fù)時(shí)間都比PI控制系統(tǒng)小。電流響應(yīng)曲線具有同樣的特征，在突加階躍擾動(dòng)后動(dòng)態(tài)過程調(diào)節(jié)快，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后與負(fù)載平衡。

為了驗(yàn)證LMMLS對(duì)給定輸入信號(hào)的跟蹤能力，令給定值呈階梯變化，如圖12中虛線所示，仿真結(jié)果如圖12所示。

圖12 給定值階躍變化時(shí)DFC、PI控制懸浮高度曲線

由圖12可知，DFC，PI控制均能夠良好的跟蹤上信號(hào)指令的變化，但是DFC響應(yīng)速度快，恢復(fù)時(shí)間短，穩(wěn)定性優(yōu)越，可見DFC控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能明顯優(yōu)于PI控制，能夠更快的適應(yīng)外界不確定性因素的變化。

4 結(jié)論

鑒于LMMLS是一個(gè)輸入變量為單點(diǎn)模糊集合的非線性系統(tǒng)，容易受到參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)等非線性干擾降低系統(tǒng)控制性能，提出采用DFC算法。

仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)PI控制方法相比，DFC控制策略能夠明顯改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，提高控制精度，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。證明了DFC控制策略的可行性。

DOI:10.1016/j.adhoc.2015.05.003.