石偉英

（浙江省桐鄉(xiāng)市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)春暉小學(xué)）

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，提升學(xué)生思維能力。人教版數(shù)學(xué)三年級上冊 “數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容是“重疊問題”。這一問題在日常生活中的應(yīng)用比較廣泛，涉及一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法：集合思想。集合思想是一種系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)知識，也是數(shù)學(xué)體系中最基本的思想。由于初次接觸，學(xué)生所儲備的這方面的知識比較少，對他們來說既是認(rèn)知上的一次飛越，也是思維上的一次跨越。教師應(yīng)把充足的時間和空間留給學(xué)生獨(dú)立思考。學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析問題，解決問題等一系列過程，從而建立數(shù)學(xué)模型，提升思維，培養(yǎng)能力?，F(xiàn)根據(jù)三年級上冊“重疊問題”的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勼w會和思考。

一、提供時間和空間，讓學(xué)生在親歷問題的過程中創(chuàng)新數(shù)學(xué)思維

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“提供足夠的空間和時間給學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維?！币虼耍瑧?yīng)該給學(xué)生充分的時間和空間來思考問題、經(jīng)歷問題，使其在這一過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，在發(fā)現(xiàn)和提出問題中培養(yǎng)思維。

問題和情境是相輔相成、缺一不可的。三年級學(xué)生的思維需要靠已有的經(jīng)驗(yàn)來喚醒和積累，因此，情境的創(chuàng)設(shè)非常重要。教師通過情境的創(chuàng)設(shè)，給予學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的時間，才能積累數(shù)學(xué)表象，發(fā)展形象思維。

教學(xué)片段：創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)“認(rèn)知沖突”

1.同學(xué)們，你們參加過運(yùn)動會嗎？你們都參加過哪些項(xiàng)目？

預(yù)設(shè)：我參加過跳繩比賽、我參加過跑步和踢毽子比賽……

小結(jié)：看來我們班的小朋友有些人參加過一項(xiàng)比賽，有些人還參加過兩項(xiàng)比賽，其實(shí)在我們的運(yùn)動會中還有很多數(shù)學(xué)問題。

出示：301班參加跳繩比賽4人，參加踢毽子比賽5人

2.你能根據(jù)上面的兩個數(shù)學(xué)信息，提出什么數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)：301班參加這兩項(xiàng)比賽的一共有多少人？

請學(xué)生解決問題，并板書算式：4+5=9（人）

3.一定是9人嗎？還有沒有其他的可能？

預(yù)設(shè)：有可能有人同時參加兩個項(xiàng)目

4.那會對參加這兩項(xiàng)比賽的總?cè)藬?shù)有什么影響？

預(yù)設(shè)：總?cè)藬?shù)會減少

5.如果總?cè)藬?shù)減少，那么總?cè)藬?shù)有可能是幾人？

預(yù)設(shè)：有可能是8人，7人……

通過運(yùn)動會這一話題情境，成功吸引了學(xué)生的注意力和興趣，而且從談話中學(xué)生能感受到有人會同時參加兩項(xiàng)比賽。這一話題也為接下來的學(xué)習(xí)埋下了伏筆，學(xué)生結(jié)合自己參加比賽的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)想、思考，激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知，從而發(fā)現(xiàn)、提出問題，解決問題。這個問題的答案其實(shí)是不定的。三年級學(xué)生在回答時往往是沒有經(jīng)過深層次的思考的，沒有全面、仔細(xì)地分析。這樣的問題富有挑戰(zhàn)又與生活相關(guān)，學(xué)生有了疑問，思維的發(fā)展也顯得自然而然。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，問題與生活也息息相關(guān)，既提高了學(xué)生的問題意識，又發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，一舉多得。

（二）自主表達(dá)，在問題的發(fā)展變化中激發(fā)思維

“重疊問題”的教學(xué)主要是集合思想的體現(xiàn)，而集合思想中也體現(xiàn)了一一對應(yīng)的思想。韋恩圖中把相同屬性的元素集中在一起，就是一個集合。兩個集合合起來又能產(chǎn)生一個新的集合——交集。“重疊問題”教學(xué)中，一一對應(yīng)的思想始終貫穿。從一一對應(yīng)走向一多對應(yīng)，產(chǎn)生交集，又從一多對應(yīng)再回到一一對應(yīng)，把多的“替身”去掉，這是問題產(chǎn)生、變化、發(fā)展到解決的全過程的體現(xiàn)。在這個過程中，學(xué)生的感悟和理解層層深入。教學(xué)不是簡單的貼標(biāo)簽，而是要讓學(xué)生理解并掌握本質(zhì)的內(nèi)涵。

教學(xué)片段：自主探究

有這么多的可能，那我們先慢慢來，參加兩項(xiàng)比賽的總?cè)藬?shù)一共有8人，會是怎么樣呢？你能不能把你的想法用一種既簡單又讓大家看得明白的方法表示在練習(xí)紙上？（請學(xué)生在練習(xí)本上畫圖表示自己的想法，教師巡視）

學(xué)生展示自己的作品，全班匯報(bào)交流：

一共有8人參加比賽

“有多少個學(xué)生就有多少個獨(dú)特的世界。”教學(xué)并不是一味地說教、灌輸，每一個學(xué)生都有自己獨(dú)有的思想和不斷創(chuàng)造的潛力。教師只要引領(lǐng)一下，就能激發(fā)出他們無限的潛力。學(xué)生動手畫圖表達(dá)想法，學(xué)生的作品呈現(xiàn)出來時也證明是很有價值的，其實(shí)這些作品就是“韋恩圖”，而且它的價值也高于韋恩圖。學(xué)生自己動手畫圖的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于教師直接出示韋恩圖讓學(xué)生填寫。

（三）親歷過程，在質(zhì)疑中提升思維能力

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動和富有個性的過程。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程?！币虼耍诮虒W(xué)中教師應(yīng)多放手，以學(xué)生為主體，把課堂和時間還給學(xué)生。學(xué)生親歷數(shù)學(xué)活動的過程，通過實(shí)踐、交流等活動，經(jīng)歷問題解決的過程，從而，理解韋恩圖的本質(zhì)內(nèi)涵，建構(gòu)集合思想的模型，突破教學(xué)重難點(diǎn)。如上一教學(xué)片段中，讓學(xué)生通過畫圖的方法表示出8人是怎樣的一種情況。通過讓學(xué)生圏一圈跳繩的4個人和踢毽子的5個人，慢慢得到韋恩圖的雛形。學(xué)生對自己的作品展示和交流，則是全班思維的碰撞。大家各抒己見，在學(xué)生與學(xué)生的辨析過程中，生生互動，自我提高認(rèn)識，并接納他人的意見，逐步加深對重疊問題的理解，學(xué)生在辨析中從未知到已知，從模糊到清晰，最后達(dá)成共識，真正提升思維能力。

二、探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生在不斷的建模中提升數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模的思想是相對比較新型的教學(xué)方式，也是比較重要的，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

（一）積累表象經(jīng)驗(yàn)，提升形象思維

創(chuàng)新的首項(xiàng)是問題，問題是激發(fā)思維的關(guān)鍵。本課中一共有多少人的問題，從小學(xué)生的生活場景出發(fā)，符合這個年齡段學(xué)生的認(rèn)知水平。用舊知喚起新知，循序漸進(jìn)積累新事物和新思維的問題經(jīng)驗(yàn)，引起學(xué)生們對問題的探索欲望，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為具體的問題呈現(xiàn)出來。學(xué)生有了充分的認(rèn)識和體驗(yàn)的過程，構(gòu)建了重疊問題的模型。

（二）滲透建模思想，發(fā)展邏輯思維

小學(xué)生的邏輯思維能力還較為薄弱，考慮問題容易陷入膚淺的認(rèn)知誤區(qū)。而在有效的建模過程中，學(xué)生既需要對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行細(xì)致入微的觀察和分析，又需要靈活巧妙地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識。這種運(yùn)用相關(guān)知識從實(shí)際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程既鍛煉了學(xué)生，又提升了思維能力。

教學(xué)片段：揭示韋恩圖

1.英國數(shù)學(xué)家韋恩在解決像這樣有人同時參加兩項(xiàng)比賽的問題時，與我們的做法差不多。他是用這樣兩個圈圈來表示的。

2.你看得明白這兩個圈圈表示什么嗎？

請學(xué)生把剛剛展示的學(xué)生作品填到韋恩圖中，教師隨機(jī)提問韋恩圖每一部分的含義。

一個圈表示參加跳繩的4個人，一個圈表示參加踢毽子的5個人，中間重疊部分表示同時參加兩項(xiàng)比賽。

3.只參加跳繩的是哪一部分，只參加踢毽子的又是哪一部分？

4.根據(jù)韋恩圖，列算式表示參加比賽的總?cè)藬?shù)。

5.每一個算式的不同含義。

學(xué)生親歷韋恩圖產(chǎn)生的過程，充分體驗(yàn)、感知，最后獲得韋恩圖的作用和意義，化抽象為具體，從具體到抽象。在這交流的過程中，學(xué)生的思維不斷地碰撞，生生互動，師生互動，教學(xué)也真正落到了實(shí)處，思維得到了發(fā)展。

教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于韋恩圖的體驗(yàn)和認(rèn)識不深，為此，又設(shè)計(jì)了如下圖這樣的課件，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，小組討論：各區(qū)域各代表什么？由此，學(xué)生能夠清楚地理解各部分所表示的意思，學(xué)會用各種方法計(jì)算總?cè)藬?shù)。算式①：3+1+4=8人，算式②：4+5-1=8人，算式③：3+5=8人，算式④：4+4=8人，算式⑤……這里出現(xiàn)這么多的算式并非是要體現(xiàn)算法多樣化，而是對集合思想的再次滲透建模過程。學(xué)生通過說一說，圖上指一指，數(shù)形結(jié)合，理解每個算式中的每個數(shù)字所代表的是哪一部分，是誰和誰合起來的，甚至是“月牙形”+“橢圓形”這樣的表述（如下圖）。學(xué)生經(jīng)歷整個觀察、比較、分析、推理的過程，并且結(jié)合模型抽象出算式。引導(dǎo)學(xué)生親歷了從圖形到算式，從具體到抽象的建模過程，也有效提升了學(xué)生的邏輯思維。

（三）直觀演示，創(chuàng)新抽象思維

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時,都會經(jīng)歷從具體到抽象,從簡單到復(fù)雜的過程。在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用形象直觀的模型,可以使抽象的知識具體化、形象化,有助于學(xué)生的理解和掌握。根據(jù)認(rèn)識水平,把形象直觀與發(fā)展學(xué)生思維能力結(jié)合起來,促使學(xué)生經(jīng)歷感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的階段。

教學(xué)片段：

1.請學(xué)生在練習(xí)本上用韋恩圖表示總?cè)藬?shù)的其他幾種可能。

教師展示學(xué)生作品，請學(xué)生觀察多幅韋恩圖，提問：你發(fā)現(xiàn)了什么？

2.中間重疊的人數(shù)越多，兩邊的人數(shù)會慢慢減少，總?cè)藬?shù)也在慢慢減少。

3.你覺得總?cè)藬?shù)最少是幾人？最多又會是幾人呢？請你畫一畫此時是怎樣的一幅韋恩圖。

三年級的學(xué)生，思維正從具體形象思維過渡到抽象思維，但仍以具體形象思維為主。所以，通過多幅韋恩圖的直觀展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：中間重疊的部分越多，兩邊的人數(shù)則越少，總?cè)藬?shù)也跟著變少。通過這一生動形象的展示，學(xué)生直觀認(rèn)識到這一規(guī)律，從而大膽提出：當(dāng)兩個圈圈完全重疊在一起的時候，總?cè)藬?shù)最少這一結(jié)論。主要滲透有序的思想、分類的思想。同時，集合中的交集、子集、并集的思想雖然不需要學(xué)生掌握，但通過直觀演示后，學(xué)生能有一個直觀的認(rèn)識。

總之，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識基礎(chǔ)出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，在問題解決中初步體會數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用價值，選擇最優(yōu)方案，初步體會集合思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維，提升能力。